对差分方程进行变换，得到系统函数的多项式表达形式：
b0?b1z?1?b2z?2?... H?z???1?21?a1z?a2z?...该表达式的分子分母均表现为变量z的多项式，而递归差分方程中的a系数和b系数分别成为分母多项式和分子多项式的系数。显然，对于有限运算系统，系统函数分子分母均表现为有限阶多项式。
FIR系统的系统函数可以看做上述关系的特例：若上述关系中所有a系数（反馈系数）都为0，则系统表现为FIR系统，此时b系数对应为冲激响应系数。
H?z??b0?b1z?1?b2z?2?...?h0?h1z?1?h2z?2?...
对于系统函数，可以定义零点和极点。
若变量z?zk能够使系统函数为零：H?zk??0，则zk称为系统零点。
系统零点可以看做是其分子多项式的根，将系统所有零点排列，可以构成系统的零点序列
?z1
z2...?；由于多项式阶数有限，系统零点数量有限。
若变量z?pk能够使系统函数为无限大：H?pk???，则pk称为系统极点。
系统极点可以看做是其分母多项式的根，将系统所有极点排列，可以构成系统的极点序列
?p1
p2...?；由于多项式阶数有限，系统极点数量有限。
利用系统的零点序列和极点序列，可以将系统函数表现为下列形式： H?z??b0?z?z1??z?z2?...
?z?p1??z?p2?...这种形式称为系统的零极点增益表达。由该表达式可以看出，系统也可以由零点序列、极点序列和增益b0唯一确定。
系统函数的变量z为复变量，表现于复平面上。可以将系统的零点和极点标记于复平面上，形成对系统的一种直观表达，这种表达称为系统零极图：
系统零极图表现了系统的所有零点和极点，与系统的完全表达之间只相差一个增益b0（比
例系数）。可以认为系统的结构和性能可以由系统零极图表达。
当系统采用零极图（或零极点）表达时，系统的因果性体现为系统零点不能多于系统极点，因此系统的阶数由系统极点数量确定：N阶系统具有N个极点，零点数量不多于N个。
系统的稳定性则表现于系统任何极点的模pk必须小于1，或系统所有的极点都应该处于单位圆（复平面上以原点为中心半径为1的圆）以内。
系统多项式系数均为系统系数，结构设计时要求为实数。系统零极点表现为实系数多项式的根。因此系统零极点满足以下特性：
零极点可以为实数，位于复平面的实轴上；
当零极点不为实数时，一定相对于实轴保持上下对称：当系统某个零（极）点为复数时，其共轭复数一定也是该系统的零（极）点； 系统的零点和极点位置（数值）不能相同。
4 系统零极图与系统频率响应关系
系统函数可以通过对系统冲激响应求z变换得到，而系统频率响应也可以通过对系统冲激响应求付氏变换得到： H?z???h?k??zk?0??k H??d???h?k??ek?0??jk?d
由上述关系对比可以看出，对系统函数进行简单代换：z?e表达为频率响应。
利用系统函数的零极点增益表达式进行代换：
j?d ，就可以将系统函数
??z?z1??z?z2?...ej? H??d??b0j?H?z??b0?z?p1??z?p2?...?e
dd?z1ej?d?z2... j?d?p1e?p2...??????将频率响应表达式中各括号表达的复数运算采用复矢量形式表达，可以得到如下形式：
图中各矢量分别从零（极）点出发，指向单位圆上的ej?d点；这些矢量称为零（极）点
矢量。矢量长度表达其幅度，而与实轴正向间的角度表达其相位。 当数字频率?d发生变化时，ej?d点在单位圆上移动，每个矢量的长度和角度也随之变化，
表现为数字频率的函数。
系统频率响应的幅频特性和相频特性可以由零极点矢量的幅度和相位表达如下： H??d??b0Z1?Z1...P1?P1... ?H??d????Z1??Z2?...????P1??P2?...?
通过上述关系，可以根据系统的零极图，逐点计算每个频率位置的系统增益和相位。
这种计算关系也很容易通过计算机编程实现。
下一章将主要利用这种关系分析简单系统的频率响应特点，从而建立简单系统设计的基本方法。
第五章作业
1 证明：因果系统y?n???h?k??x?n?k?稳定性的充分必要条件为 ?h?k???。
k?0k?0??2 证明：若实系数系统的某个零（极）点为复数，则该复数的共轭必定也为该系统的零（极）点。
3 有两个FIR系统分别表现为：h1?n??序列为x?n??2?1,1,1,1,1?，h2?n??2?1,?1,1,?1,1? ；若输入信号551?1,?1,7,?7,1,?1?，分别求两个系统的输出序列y1?n?和y2?n?。 8 在相同坐标条件下分别画出x?n?、y1?n?和y2?n?，说明2个系统对信号处理的特点。
4 对上题的2个系统，画出对应的零极图，并画出各自的幅频特性。
第六章 简单数字滤波系统分析
1 一阶数字系统分析
一阶FIR系统：H?z??b0?b1z?1?b0z?b1 z极点 p?0 在单位圆中心，对系统幅频特性不起作用； 零点z1??b1/b0 只能取实数值。
将零点在实轴上变动，研究对应系统的频率特性：
当零点小于0时，表现为低通系统，在-1处效果最好； 当零点大于0时，表现为高通系统，在+1处效果最好；
系统结构：不需要采用乘法器，结构简单，成本低； 系统性能：3dB带宽为?/2，不可调节；
零点作用：放置单位圆上，用于阻塞特定频率分量，形成阻带。
b0?b1z?1b0z?b1一阶IIR系统：H?z?? ??1z?a11?a1z 极点 p??a1 单位圆内实数 零点 z1??b1/b0 只能取实数值
使用零点于z1??1，形成阻塞点，可以构成低通（高通）系统。 系统的归一化：使系统最大增益为1,；可以使系统函数单纯依赖于极点P
将极点P在单位圆内实轴上变动，研究对应系统的频率特性： 极点位置影响系统带宽（3dB截止频率）；
表达式推导说明：建立3dB截止频率与极点位置的关系；
近似关系：对于窄带系统，带宽与极点到单位圆上1点的距离相等。
极点作用：调节系统带宽
例：模拟信号的高低频信号分离
先对模拟问题进行分析，确定模拟的截止频率和最高频率； 确定采样周期，将模拟截止频率对应为数字截止频率；
根据截止频率确定极点位置；
带入标准方程得到滤波器系数，完成设计； 进行仿真验证。
2 二阶数字系统分析
二阶系统一般表达：
b0?b1z?1?b2z?2b0z2?b1z?b2?z?z1??z?z2?
H?z????b0?z?p1??z?p2?1?a1z?1?a2z?2z2?a1z?a2 根据限制条件，2个零点（极点）均为实数，或为共轭复数
若零极点均为实数，可以分解为2个一阶系统分别讨论：
零点形成各自阻塞，极点调节各自带宽；2个子系统级联，频率特性相乘； 例：构成宽带低通和窄带高通，整体构成带通系统
对不能分解的情况：分别考虑零点的位置和极点的位置
考虑零点的阻塞作用：应该在单位圆上
零点放置于 ?1 阻塞高低频信号，形成带通滤波器； 零点放置于e?j?0 阻塞特定频率（阻带中心频率），形成带阻滤波器；
极点的放置方式：
极点放置于原点：形成FIR系统 系统带宽不可调整 极点放置于ae?j?0：通过对极点幅度的变动分析，可以利用极点的幅度调节系统带宽
近似关系：对于窄带系统，带宽为极点到单位圆上1点的距离的2倍。
数字谐振器： 带通滤波器 对应零级图 频率特性图
H?z??b0?z?ae??z?ae?j?0?j?0?z?1??z?1?b0z2?1 ?2z?2acos?0z?a2?? 特点：零点阻塞高低频，极点相位决定通带中心频率，极点幅度调节通带宽度； 增益常数由归一化条件确定；
可通过多个滤波器并联，对不同频带进行选通。
阻塞滤波器： 带阻滤波器 对应零级图 频率特性图
?z?e??z?e??z?2cos?z?1H?z???z?ae??z?ae?z?2acos?z?aj?0j?020j?0?j?0202
特点：零点阻塞特定频率，其相位决定阻带中心频率； 极点相位与零点相同，其幅度决定阻带宽度