将上述架构进行扩展，可以将DFT运算全部采用蝶形运算单元实现：
例：8点FFT架构
推广上述结果，当N?2时，N点DFT只需要使用
kNlog2(N)次蝶形运算就可以完成。 2
软件计算时，并不是每个蝶形运算都需要采用乘法，在N点DFT的上述运算中，有N-1次蝶形运算不需要乘法，可以使计算量进一步下降。
基于2点的FFT架构特别适用于硬件流水设计，采用该设计可以使运算并行流水进行，以极高速率进行大量数据运算，在音频和视频领域中得到广泛采用。
第3章 作业：
1 对于一段给定的时间信号，进行16点等间距测量，并进行3位量化；对得到的数字序列计算16点DFT，画出对应的幅谱特性和相频特性。
2 4点DFT的选转因子也可以不用乘法，利用这一点，建立基于4点的FFT算法。详细说明单元运算架构，当N?4时所使用的单元数量以及乘法计算量。
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第4章 数据压缩系统
数据中通常包含有大量的冗余信息，使数据传输和存储的效率降低。 通过保留有效信息，去除冗余信息，可以改善数字系统的效率。
数据压缩通常指对于已经采集形成的数字信号进行压缩，压缩可以直接对采样数据进行，也可以从改变量化，编码方式等角度进行。通过改变数据的表达形式以方便压缩也是数据压缩中常用的做法。
根据数据压缩后是否可以复原，可以分为有损压缩和无损压缩2种不同的压缩方式。 有损压缩：去除非重要信息，保留有效信息；原始数据不可恢复； 无损压缩：通过改变信号表达方式去除冗余信息，原始数据可以恢复。 通常用于保存和传输的数据采用无损压缩方式以提高存储和传输效率，而服务性数据（如广播音响或直接面向人耳的音频通信等）则会采用各种压缩技术结合以实现最大压缩，从而达到降低成本的目的。
数据压缩的效果通常采用压缩率表达： C?原始数据量-压缩后数据量
原始数据量 有时也采用压缩倍数表达： B?原始数据量
压缩后数据量
根据信号种类的不同，可以采用的压缩方案也不尽相同。本章以音频信号为例，简要介绍一些典型的数据压缩技术。
1 对数据采样的压缩
音频信号的最终接受者为人耳，而通常人耳能够听到的声音限于20Hz到20kHz ；
对音频信号进行采样时，如果希望保留能够分辨的所有细节，则应该进行完整的采样，采样率应该在40kHz左右。这也是专业的音响系统所使用的采样率。
但在实际应用的很多场合，或者由于音响设备的限制（扬声器的频响或现场环境噪声影响），或者出于应用的目的（只需要分辨基本的音频信息），不需要设置如此高的采样率。通过对采样率进行压缩，能够有效降低数据量。但需要注意的是，采样压缩属于有损压缩，以牺牲音质为代价，原始数据不可恢复。
对于已经采样得到的数据，降低采样率通常采用直接数据抽取方式进行。抽取本身可以看做是再采样，会导致信号频谱出现周期性复制，有可能出现频谱混叠失真（也可以认为是由于采样率降低导致频谱混叠），因此抽取前应该按照预定的抽取率，对数据进行相应的抗混叠滤波处理（设置抽取滤波器）。
压缩后的数据在重建时（使用该音频信号时）可以通过插值进行恢复，常用的插值可以采用补0插值、0阶保持插值、理想插值（设置抗镜像滤波器）等方式进行。
2 数字压扩技术
音频信号的接受器官为人耳，由于耳蜗的对数形态，人耳对音频信号幅度的感知灵敏度表现为对数关系：信号幅度增强一个数量级，感知响度只是增强一倍。
考虑到这一现象，在对音频信号进行量化时，对信号的变化范围不再采用线性分区，而是根据响度进行等响度分区，由此可以更有效地提高量化效率。这一技术称为对数压扩技术。 在信号存储或传输前通过压缩变换减少数据量，而使用时通过反变换进行数据扩张，恢复数据。
目前在语音压扩技术中主要采用μ律压扩（美日）和A律压扩（欧洲、中国），体现于对数曲线的相关参数。
典型的数字压扩技术采用13折线法实现：
以信号正值区域为例，将信号变换区域逐次折半，经过7次折半分割为8个区域，每个区域与一个等响度区域建立线性对应关系（折线关系）。利用该折线进行压缩或扩张。
在数据处理上，压缩过程可以采用对数据高位进行优先编码实现，而扩张过程则可采用将压缩编码对应到线性区域的中值高位部分即可。处理方式简单快捷，容易实现。
考虑到人耳对于频率信号的高低分辨同样具有对数效应，上述技术也可以用于对音频信号的频谱表现进行压缩。
例：以下音频信号的数据经过13折线压缩后应该表现为什么值：
3 霍夫曼编码
数据量化时，对出现在同一量化区域的数据采用相同的编码表示，这种编码可以称为数据对象。数据对象的量化字长可以根据数据精度要求确定。在同一个信号采集系统中，对不同的数据对象采用相同的量化字长（数据精度一致）。这种编码称为等字长编码。
然而，在实际的信号中，不同数据对象出现的概率可能是不同的。如果对出现概率大的数据对象采用较短的编码，而对出现概率小的数据对象采用较长的编码，则有可能增强编码效率，减少信号数据的平均字长，从而实现数据压缩。这种编码方式称为变字长编码。
霍夫曼编码就是一种典型的变字长编码。以下简单介绍其基本编码原理。
1 对于待编码的数据（已有二进制编码），区分数据对象种类；
2 检测不同数据对象在信号中出现的概率，并按照概率大小顺序进行排布； 3 用折线将最小概率的2个对象合并，折线上分别标记对应编码（0或1）； 4 重复上述2、3步，直到所有对象合并完毕。 5 由最后端点通向每个对象，将路径上经过的折线编码顺序排布，即为该对象的霍夫曼编码。
例：已知8种不同测量数据在100次测量中出现次数如下，对其进行霍夫曼编码，并计算压缩率（或平均字长）。
平均字长：n??n?p?piii?43?31?2?12?3?7?4?3?5?2?6?2?7210??2.1
43?31?12?7?3?2?2100压缩率：r?3?2.1?23.3% 3
霍夫曼编码采用二分支编码方式，短字长编码绝不会成为长字长编码的前缀，在译码恢复数据时很容易进行不同码字的区分。所以采用该方式进行数据压缩属于无损压缩，压缩数据可以完整重建。
例：采用上述编码方式得到的一组二进制数据如下，分析该数据内容，给出原始数据。 110001111000101000101110011101010
霍夫曼编码的压缩效果取决于数据对象概率的非均匀性，如果不同数据对象出现的概率相同（或相差不大），则该编码无法实现数据压缩。因此，使用该编码进行压缩的前提条件是对数据进行变换，尽量扩大数据对象出现的概率差别。
4 差分变换
信号变化具有连续性，多数时候信号的频率远小于最高频率。对于相对频率较低的信号，相继测试得到的信号值之间的差距常常小于信号的幅度变化范围。
差分变换就是将信号数据序列采用其差分序列表达。 设信号序列表达为：x?n?n?0,1,2...N?1
n?1,2...N?1
其差分序列y?n?可以表达为：y?0??x?0? y?n??x?n??x?n?1?差分序列可以有效改变数据对象出现的概率，从而为变字长编码压缩创造条件。
例：对一段音频信号进行差分变换，并对变换结果进行霍夫曼编码压缩。
5 离散余弦变换DCT与数据压缩
音频信号的频率通常具有一段时间的持续性，在短时间内稳定于少数频率分量。对时域分布较为分散的数据进行频率变换，可以起到使数据分布集中的效果。因此，压缩技术中经常采用频率变换方式。
例：对一段音频信号进行离散付氏变换，并对变换结果的幅频特性进行霍夫曼编码压缩。
由上例可以看到，DFT可以极大改变数据的分散度，结合霍夫曼编码得到很大压缩率。但DFT是复变换，就其变换本身而言，数据量是增加的；此外尽管DFT的幅频特性能够表现出很好的压缩效果，但其相频特性的压缩效果却未必令人满意。若能够将DFT由复变换改变为实变换，直接由幅度表达变换结果，则能够保留DFT在数据压缩上的优点，去除其不利之处。
根据付氏变换的基本性质，要使DFT表现为实函数，只需要使变换前的信号具备实偶信号的性质就可以了。这种想法构成了离散余弦变换DCT的基础。