2 单频率信号的数字化：
采样导致信号的数字化：
Tx?t????x?nT????x?n?
x?n?表现为有限数字序列。
根据频谱分析，x?t?由单频率信号ej?t的组合表达；采样后，作为基本单元的单频率
信号会发生什么变化呢？是否还能唯一的表达独立的信息呢？
对单频率信号采样，可以得到：
ej?tT???ej?nT???ej?dn
可以看到，经过采样后，单频率信号任然保持其表观形式；若将其仍然看做单频率信号，与模拟单频率信号对应，则可以定义数字频率?d与模拟频率?的关系如下：
?d???T
根据上述关系，可以得到数字频率的以下特点：
采样过程中，模拟单频率分量与数字单频率分量具有一一对应关系； 对于给定的模拟频率，对应的数字频率与采样周期有关；
模拟频率为有量纲的物理量，数字频率为没有量纲的抽象数据。
模拟单频率信号均为周期信号，具有独立性，可以作为信息的基本单元； 然而容易证明，数字单频率信号通常不为周期信号，也不具有独立性。
例：sin4t与sin4n的周期性表现
例：数字单频率信号在频谱中的周期性
数字单频率信号在频谱中具有周期性，任何单频率信号都可以在?-?，???区间中拥有其代表，因此在考虑信息表达的独立性时，可以将数字频谱只局限于?-?，???之内，该区间内的频谱称为真实频谱，该区域外的频谱可以看做是周期化的镜像频谱，是?-?，???内真实频谱的周期性复制。
当考虑采样过程中模拟频率与数字频率的对应关系时，必须确保数字频率的真实性。
例：当采样周期为T?0.012时，对于模拟频率?1?256和?2?783，对应的数字频率应该为多少? 对于数字频率?3d?2.583和?4d?7.359，对应的模拟频率应该为多少？
3 频谱分析的数字化：DTFT
对于一般信号，计算频谱的关系为连续时间付氏变换CTFT：
X?????x?t??e??N??j?tdt
利用数字技术进行分析时，将上述关系式右边采样，可以得到数字信号的频谱表达：
X??d???x?n??e?j?dn
n?0该关系式称为离散付氏变换表达（DTFT）。该关系式确立了数字信号与数字频谱间的一一对应关系：
DTFTx?n?????X??d?
在DTFT的定义式中，数字序列x?n?为对x?t?进行有限次测量得到的有限数字序列，其中每个数字经过量化归一后表现为纯小数，以x?0?表达第1个测量数据；数字频谱X??d????区间内，该区间外为真实频谱的周期性镜像复制。 的真实值局限于?-?，
例：信号的频谱分析（DTFT）
对给定信号波形，选定不同周期进行采样，得到对应数字序列x?n?和频谱表达：
X??d???x?n??e?j?dn
n?0N
习题：利用DTFT的定义，推导与CTFT对应的时移定理、共轭定理的表达形式。
通过例题分析可以看出，在数字频谱的范围内，采样周期增大可以使频谱细节更丰富；在模拟频谱的范围内，采样周期增大可以使频谱范围更宽广。
4 频谱的数字化计算（DFT）
DTFT频谱为连续频谱，计算只能通过离散频率分量计算来实现； 在标准频谱内采用N点等距采样计算，可以得到N个频率分量； 当计算点足够密集时，将计算结果光滑连接就可以得到连续频谱。
如果在?-?，???区间内进行M点等距计算，可以先将标准区间等分为M份，计算点间距为：?0?2? M若计算从?d?0的点开始，按照上述间距进行计算，则计算点的频率可以表达为： ?dm?m??0?m2? M?j2?mnM 将计算点频率带入到DTFT计算公式中，可以得到： X??dm???x?n??en?0N?X?m?
这一关系式称为离散付氏变换DFT。
DFT利用N个信号测量值计算M个频率分量，为了避免计算过程中可能产生的数据混叠现象，要求N不得大于M；目前典型的DFT计算采用对称计算，即通过N个信号测量值产生N个频率分量，这样的DFT计算称为N点DFT：
X?m???x?n??en?0N?1?j2?mnNm?0,1,2...N?1
注意上式计算的频谱是表现在?0，2??频率区间中的。可以利用数字频谱的周期性将得到的结果转化为?-?，???区间的频谱。
由于计算前后数据量相当，DFT也被看做是对数据的一种变换手段：将数据从一种形式变换到另一种形式；这种变换在数据压缩系统中具有重要意义。
例：对给定信号的DFT计算
由例题看出，对于同一组测量值，计算点数越多，频谱细节就表现得越清楚。
5 频谱的快速算法（FFT）
根据定义关系，N点DFT需要N2次复数乘法和N(N+1)次复数加法；由于数字系统中的乘法复杂度远大于加法，可以采用乘法次数来粗略表达DFT的计算量。
将计算中与测量值相乘的因子称为旋转因子：WmnN?e?j2?mnN
该因子表现为幅度为1的复数，在复平面上分布在单位圆上，表现为单位圆上的N等分点（从相位为0开始）。
旋转因子具有以下特点：
W?eWN/2N0N?j2?0N?1 W?e?j2?2MM?K?e?j2?MM?K?e?j2?K1 ?WK?e?j2?N?N2?W21??1
由以上关系可以看出，并不是每个旋转因子的使用都需要乘法；
例：8点DFT的乘法计算量分析
将上述分析推广到N点DFT，可以得到，当N?2时，实际需要的乘法计算量为： N2??k?1??N
由该关系式可以看出，DFT的点数越少，乘法计算量减少的比例就越大； 为此，需要考虑对N点DFT进行分解运算；
例：当 N?6?2?3时，进行分解运算
分解运算的步骤可以归纳为：
k
将原始数据排列为3行2列；
对每行进行2点DFT，得到3行2列结果；
lk 对每个阵列元素Xlk对应乘以WN；
再对每列进行3点DFT，得到3行2列的最终结果；
考虑到2点旋转因子的使用不需要乘法，若将运算全部分解为2点运算单元，则运算量可以大幅降低：
基于2点分解的FFT架构：
当N?2?K时，可以将原始数据分为2行，先做行DFT，乘以相应的旋转因子后再进行列DFT。此时旋转因子相乘以及列DFT可以表达为标准的蝶形运算架构：