神奇的1和0
本系列贡献者：与你的缘
［知识要点］
1．我们用字母α表示除0以外的任何数，则有 ⑴ α×1=1×α=α； α÷1=α。
⑵ α＋0=0＋α=α； α－0=α； α×0=0×α=0； 0÷α=0。 ⑶ α÷0无意义。
2．掌握含0的数的读法，规定末尾的0不读；中间有一个0或几个0连在一起都只读一个0。
［范例解析］
例1 计算下面由数字1组成的“金字塔”，把所有的1都加起来，看谁算得快。
1111111111111111111111111111111111111111111111111111111
解 “金字塔”每层的和分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。
它们的总和是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
例2 请回答：数字3最少是几个数字相乘的积？最多呢？
解 由于3×1=3，所以3最少是两个数字的积，最多可看成是一个数3和无穷多个数1的积。
例3 我们做一个数字计算游戏。任取一个不是1的数，如果是双数就除以2（如取18，就18÷2）；如果是单数就乘以3加上1后再除以2[如取7，就（7×3＋1）÷2]。现在我们取数3，反复用这两种方法计算，最后的结果怎样？任取数7呢？ 解 将数3按这两种方法计算有：
3×3＋1=10 10÷2=5 5×3＋1=16 16÷2=8 8÷2=4 4÷2=2 2÷2=1 简记为：3→10→5→16→8→4→2→1 同样，对于数7有：
7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1 数3和数7经过用规定的两种方法反复计算，最后的结果都是1。这种计算方法称“角谷猜想”。
例4 2÷0得几？说明理由。
解 假定2÷0=α，根据除法的意义，应有α×0=2。但α×0=0，所以α×0不能等于2。这说明，找不到一个数与0的积等于2，故2÷0无意义。 例5 把两个“9”和两个“0”拿来组成四位数，那么： ⑴ 两个0都不读出来的数是什么数？ ⑵ 只读出一个0的数是什么数？ ⑶ 四位数中最大的一个数是什么数？ ⑷ 四位数中最小的一个数是什么数？
解 ⑴ 9900 ⑵ 9090 ⑶ 9009 ⑷ 9900
例6 计算：⑴ 1300×3 ⑵ 1600×5 ⑶ 470×3 ⑷ 5008×5 解
［思路技巧］
任何一个数中间或末尾的0，都占一个数位。因此，用乘数去乘被乘数时，不管乘数中间有几个0，都要一个一个地同乘数相乘；遇到被乘数末尾有0的时候，可以先用乘数去乘0前面的数，然后在乘得的数的末尾填写0，填写0的个数要与被乘数末尾的0的个数相同。
总之，0和1有许多奇妙的性质，用途很广，例如，电子计算机所采用的二进制数，就只用1和0来表示。随着数学知识的增长，你会越来越感到它们重要。
［习题精选］
1．填空。
1×（ ）=1 1＋（ ）=1 1－（ ）=1 2－（ ）=1 1÷（ ）=1 7÷（ ）=1 2．计算。
⑴ 617×0×4 ⑵ 5783×9×0 ⑶ 80×3×1 ⑷ 2030×3×4 ⑸ 3020×2×3 ⑹ 7010×1×2 3．用“角谷猜想”计算方法填数。
⑴ 6→□→□→□→□→□→□→□→
⑵ 18→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□
→□→1
4．在6的后面添上一个0，这个数是原来的几倍？比原来的数多多少？ 5．1400末尾的两个0可以不读，也可以不写，对吗？为什么？ 6．1005中间的两个零只读一个，也可以只写一个，对吗？为什么？
7．0、2、4、6、8五个数字的和与2、4、6、8、0五个数字的积相比，不用计算，你说是和大？还是积大？
8．比比看，谁做得又对又快？
1＋0 0＋1 1×1 1×0 1－1 0＋0 1÷1 0×0 1－0 0÷1 1＋1 6×1 6÷1 7＋0 0＋7 7－0 0÷7 7－7 7×7 （6－6）×4 （8－8）×0 0÷（8－4） 1×1＋1÷1＋0×1＋0÷1
9．用四个3、三个0写成七位数，按下面的要求写出各多位数：
一个零都不读出来 （ ） 只读出一个零 （ ） 读出两个零 （ ） 读出三个零 （ ） 10．数字迷。
下面每个题里都有一组数，请你从中找出一个适合各问条件的数： ⑴ 7 6 25 53 19 这个数被3除余1；
这个数比最小的两位数大；
这个数加上1，再乘以5正好是最小的三位数； 这个数的几？
⑵ 30500 53010 400200 7003000 这个数只读出一个零； 这个数的最高位在二节中；
这个数各个数位上的数的和为8； 这个数是几？
11．用1、0、0、4四个数字写出两个四位数，要使它们是差是99，这两个四位数分别是（ ）和（ ）。
余数的妙用
本系列贡献者：与你的缘
［知识要点］
1．被除数=除数×商＋余数；
2．余数要比除数小；
3．会解有余数除法的应用题。
［范例解析］
例1 如图1-1。把14个乒乓球平均分给三个班，每班分得几个？还余下几个？
解 14÷3 = 4余2
每班分得4个还余2个。
例2 下面三个竖式，哪个对？哪个不对？为什么不对？
解 第一个竖式不对，它的余数8比除数5还大，还可商1，即商应为8； 第二个竖式也不对，因商和除数的积不能大于被除数； 第三个竖式是对的，余数3小于除数5。
说明 计算有余数的除法，余数一定要比除数小。这时被除数、除数、商和余数的关系
是：
被除数 = 除数×商＋余数 被除数－余数 = 除数×商
例3 把11、12、13、14、15、16、17分别除以3时，各得哪些余数？
解 11÷3 = 3余2； 12÷3 = 4余0； 13÷3 = 4余1； 14÷3 = 4余2；
15÷3 = 5余0； 16÷3 = 5余1； 17÷3 = 5余2。
说明 一串连续数除以同一个数，因为它们的余数小于除数，所以余数重复出现。 “余数”在我们生活中还有不少的用处呢！
例4 国庆节挂彩灯，用六种颜色的灯泡，按红、黄、蓝、白、绿、紫的次序装配，总共要装50只灯，每种颜色的灯泡各需要多少只？
解 可以这样想，六种颜色的灯泡作为一组，50只灯泡可以分成 50÷6 = 8（组）余2（只）
于是，其中有四种颜色的灯泡各配8只，另两种颜色的灯泡各配9只。 例5 今天是星期三，再过20天是星期几？
解 今天是星期三，因为一个星期有7天，以星期一为星期的第一天计算，因已经过了
3天。所以有
（20＋3）÷7 = 3余2 即再过20天是星期二。
例6 把4、7、18、2四个数填入下式的括号中。
（ ）÷（ ） = （ ）余（ ） 分析 第一个括号是被除数，它必须填最大的一个数18。其次，除数比余数要大，因此，
第二个括号中的数必须比最后一个括号中的数要大，但是7×4大于18，所以最后一个括号中只能填数4。即题中式子填数如下： （ 18 ）÷（ 7 ） = （ 2 ）余（ 4 ）
［思路技巧］
１．正确理解余数的性质，是正确解决有关余数问题的关键。 ２．计算有余数的除法，余数一定要比除数小。
［习题精选］
１．看图填数。
⑴ 11÷3 = ______( 根 )……______（ 根 ）
⑵ 14÷4 = ______( 份 )……______（ 个 ） 14÷3 = ______( 个 )……______（ 个 ）
２．下面各题的计算对吗？把不对的改过来。
⑴ 38÷5 = 6……8 49÷6 = 7……7 49÷8 = 5……9 33÷4 = 8……1 2÷1 = 1……1 17÷3 = 5……2
３．（ ）里最大能填几？
（ ）×8＜55 （ ）×5＜19 （ ）×7＜33 （ ）×9＜62 （ ）×6＜50 （ ）×4＜14 ４．55除以7，商几余几？除以8呢？除以9呢？ ５．
被4除没有余数的：________________ 被9除没有余数的：________________
６．⑴ 用下面各数除以2时，得到哪些余数？除以4时，得到哪
些余数？
11、13、14、15、17、19
⑵ 用下面各数分别除以5、6时，各得到哪些余数？ 11、12、13、14、15、16、17
７．把23、7、3、2填入两个式子中，使它们的余数相同。
（ ）÷（ ） = （ ）……（ ） （ ）÷（ ） = （ ）……（ ） ８．下面三个算式的被除数相同，你能填出来吗？
（ ）÷7 = （ ）……1 （ ）÷6 = （ ）……5 （ ）÷5 = （ ）……4 ９．在□里填上适当的数。
１０．在机场上停着20架飞机，准备每3架编为一组起飞，可以编成几组？还声几架？ １１．⑴ 把16张风景画片平均分给5个同学，每人分得几张？还剩几张？
⑵ 把16张风景画片分给同学，每人分得5张，可以分给几个同学？还剩几张？ １２．⑴ 一件衬衣前面要钉5个纽扣，袖口要钉2个纽扣，一共要钉几个纽扣？
⑵ 现有45个纽扣，每件钉7个，够钉几件衬衣？还剩几个纽扣？
１３．有30千克水果糖，每盒装4千克，剩下的装在纸袋里，纸袋里装多少千克糖？ １４．一个星期有7天，十月份有31天，十月份里有几个星期零几天？ １５．⑴ 学校开会庆“六一”，有9面彩旗，平均插在会场两边，每边插几面？还剩几面？
⑵ 学校开会庆“六一”，有9面彩旗，会场两边各插4面旗，中间插1面旗，共插了几面旗？