周期现象
本系列贡献者：与你的缘
［知识要点］
自然界里有许多现象，如春、夏、秋、冬年复一年地交替；白天与黑夜反复出现；我国民间流传着“初三、初四娥眉月，十五、十六月团圆”的说法；七天一个星期，等等，都是周期现象。
算术中也有一些有趣的周期问题。例如，一串连续的自然数被3除的余数是： 1、2、0、1、2、0、1、2、0、……
它是1、2、0重复出现的一列数，即周期是3。
本节就是要让学生初步了解周期现象，并会用周期解某些较简单的问题。
［范例解析］
例1 有一串黑白珠子排列如图1-4所示。
○●○○○●○○○●○○○●○○○●○…… 图1-4
其中黑珠与白珠共有70个，那么最后一个是黑珠还是白珠？共有几个白珠？
解 我们由图1-4可知○●○○四个珠子是一个周期，又70÷4=17余2，即这一串珠子经过17次重复后还余2个珠子○●，因此，最后一个是黑珠子。
一个周期的4个主张中有3个白珠，最后2个主张中有一个白珠，白珠一共应有： 3×17＋1 = 51＋1 = 52（个）
说明 对于周期问题，关键是要抓住周期规律这一重要环节，问题才好解决。 例2 1994年4月10日是星期六，那么这一年的7月5日是星期几？ 解 从4月10日至7月5日的天数是： （30－9）＋31＋30＋5 = 87（天） 又一个周期的周期是7，所以 87÷7 = 12余3
即87天经过12个星期又3天，这3天应是星期六、星期日、星期一。 我们推算出7月5日是星期一。
例3 1、2、0、1、2、0、1、2、0……第1995个数字是多少？ 解 这一列数中，它的一个周期是：1、2、0，即周期是3。又 1995÷3 = 665
故这一列数按12、0重复665次，所以第1995个数字是0。 例4 1＋2＋3＋4＋…＋1992＋1993被5除的余数是多少？
分析 这个问题如果先求和，就比较麻烦。我们知道，这1993个数被5除的余数周期性的出现，组成下面一列数：
1、2、3、4、0、1、2、3、4、0、1、2、3、4、0……
我们知道，1、2、3、4、0是一个周期，周期是5。并且一个周期的5个余数的和是：
1＋2＋3＋4＋0 = 10
又10÷5 = 2，即是一个周期中5个数字之和可被5 除尽。这就是说，前5个数字
的和能被5整除，接着的5个数字的和同样也能被5整除，等等。这样，有多少个5个数字的和可以被5整除呢？ 我们知道，1993÷5 = 398余3。
即应有398个5个数字的和可以被5整除。只考虑最后三个数的余数是1、2、3。 又1＋2＋3 = 6，6÷5 = 1余1
所以，它们的和被5除的余数是1。
［思路技巧］
１．对于周期问题，解决的关键是要正确观察出周期的规律。
２．有些问题，虽然不是周期问题，我们可以巧妙地将它转化为周期问题来解决。
［习题精选］
１．2、1、1、3、5、2、1、1、3、5……，第273个数字是多少？ ２．某年3月5日是星期四，那么这一年的10月1日是星期几？ ３．某年的9月15 日是星期五，那么这一年的5月5日是星期几？ ４．同样大小的红、白、黑三色球共193个，它们按如图1-5规则排列，其中红球有多少个？最后一个球是什么颜色？
５．1＋2＋3＋4＋……＋1993＋1994的和被9除的余数是多少？
６．有14个数排成一横排，每个数写在一个方格子里，它们具有这样的性质：任何三个相邻的数加起来都是10；另外从左边算起的第4个数等于5，第12个数等于4，问第8和数“？”等于多少？ 5 ？ 4 ７．1＋2＋3＋……＋9999＋10000被7除的余数是多少？ ８．1994年的1月5日是星期三，问这一年的7月1日是星期几？
９．1、2、0、3、1、2、0、3、1、2、0、3……这一列数的第186个数字是多少？这186个数的和是多少？
１０．拼音字母A、B、C按下面的规律排列：A、B、A、A、C、A、B、A、A、C……共有178个字母。请填下列空格：
⑴ 一个周期A、B、A、A、C它有（ ）个字母； ⑵ 一个周期中A有（ ）个，余数中A有（ ）； ⑶ 共有（ ）×（ ）＋（ ） = （ ）个A； ⑷ 最后一个字母是（ ）。
加减巧算
本系列贡献者：与你的缘
［知识要点］
１．加法的交换律与结合律，用字母表示则有：
α＋b = b ＋α, α＋(b＋c) = (α＋b)＋c ２．减法的性质，用字母表示则有：
α－(b＋c) = α－b－c
反之， α－b－c = α－(b＋c)
［范例解析］
例1 简便计算下列各题。
⑴ 129＋84＋71 ⑵ 83＋135＋65 ⑶ 34＋75＋66 ⑷ 128＋73＋27＋17 解 ⑴ 129＋84＋71 ⑵ 83＋135＋65
= （129＋71）＋84 = 83＋（135＋65） = 200＋84 = 83＋200 = 284 = 283 ⑶ 34＋75＋66 ⑷ 128＋73＋27＋17 =（34＋66）＋75 = （128＋17）＋（73＋27） = 100＋75 = 145＋100 = 175 = 245
例2 你能巧算297＋65的和吗？
分析 我们发现，第一个加数只要加上数3就凑成整数300，这样计算就方便多了。 解法一 297＋65 解法二 297＋65
= 297＋65＋3－3 = 297＋62＋3 = （297＋3）＋（65－3） = （297＋3）＋62 = 300＋62 = 300＋62 = 362 = 362
说明 “凑整”是速算中最常见、简单易行的方法，计算时，若凑成10、100、1000、……计算自然方便。但“凑整”不是任意凑，而是有目的地进行，才能起到速算的效果。再看例3。
例3 速算下面两题。
⑴ 3471＋5899 ⑵ 3891－1992 解 ⑴ 3471＋5899 ⑵ 3891－1992
= 3471＋（5899＋101）－101 = （3891－2000）＋8 = 3471＋6000－101 = 1891＋8 = 9471－101 = 1899 = 9370
例4 速算下面两题。
⑴ 280－（80＋92） ⑵ 297－173－27 解 ⑴ 280－（80＋92） ⑵ 297－173－27
= 280－80－92 = 297－（173＋27） = 200－92 = 297－200
= 108 = 97
［思路技巧］
“凑整”是速算中最常见的方法，有目的地把数凑成10、100、1000、……，可以使问题简化。
［习题精选］
１．简便计算下面各题。
⑴ 74＋29＋26 ⑵ 153＋29＋171 ⑶ 58＋47＋42＋13 ⑷ 149＋32＋151＋68 ⑸ 2608＋529＋392＋27 ２．看谁算的快。
⑴ 36－12－6 ⑵ 75－36－19 ⑶ 129－（29＋40） ⑷ 1995－（1001＋895） ３．速算。
⑴ 5789＋2011 ⑵ 1832－997 ⑶ 6801＋345＋3199 ⑷ 362＋345＋638＋655 ４．看谁算的快。
⑴ 57＋78＋43＋42 ⑵ 249＋132＋151＋68 ⑶ 405＋997 ⑷ 298＋87 ５． 下面有这样几排数。
1 6 11 16 21 2 7 12 17 22 3 8 13 18 23 4 9 14 19 24 5 10 15 20 25
⑴ 第一竖行各个数的和是15，请你很快算出其余四个竖行各个数的和； ⑵ 第一横行各个数的和是55，请你很快算出其余四个竖行各个数的和。
乘法巧算
本系列贡献者：与你的缘
［知识要点］
１．用乘法口诀计算减法；
２．乘法的交换律、结合律。用字母表示为：
α×b = b×α， α×(b×c) = (α×b)×c； ３．乘法对加法的分配律，用字母表示为：
α×(b＋c) = α×b＋α×c； α×b＋α×c = α×(b＋c)
［范例解析］
例1 下面有一组减法计算题，想一想，能找出它们的计算规律吗？
21－12 = 9 31－13 = 18 41－14 = 27 51－15 = 36 61－16 = 45 71－17 = 54 81－18 = 63 91－19 = 72 分析 首先看被减数和减数的关系，它们正好是被减数的十位数字与个位数字的位置交换了一下就得到减数；其次，它们的差正好是9的倍数。即9的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍、6倍、7倍、8倍，也即是9的乘法口诀的得数。这是说明道理？
因为十位上的数变成个位上的数，就要相差几个9，如10→1，差1个9；20→2，差2个9；30→3，差3个9；……反过来也一样，1→10，差1个9；2→20，差2个9；3→30，差3个9；……
所以，一个两位数交换它的个位与十位上的数字的位置后，得一新的两位数，然后将大数减去小数，它们的差就是这两个数字的差与9的乘积。即可用的乘法口诀计算。 例2 下面一组减法题，看谁算得快。
⑴ 72－27 = （ ） ⑵ 43－34 = （ ） ⑶ 83－38 = （ ） ⑷ 53－35 = （ ）
⑸ 94－49 = （ ） ⑹ 63－36 = （ ） ⑺ 87－78 = （ ） ⑻ 73－37 = （ ） 解 ⑴ 五九四十五 ⑵ 一九得九 ⑶ 五九四十五 ⑷ 二九一十八
⑸ 五九四十五 ⑹ 三九二十七 ⑺ 五九四十五 ⑻ 四九三十六 例3 简便计算下列各题。
⑴ 214×5×8 ⑵ 6×586×5 ⑶ 1607×4×5 ⑷ 25×8×125×4 解 ⑴ 214×5×8 ⑵ 6×586×5
= 214×（5×8） = （6×5）×586 = 214×40 = 30×58 = 8560 = 17580 ⑶ 1607×4×5 ⑷ 25×8×125×4 = 1607×（4×5） = （25×4）×（125×8） = 1607×20 = 100×1000 = 32140 = 100000
例4 下面有一组乘法算式，看谁算得快。
1×99 = 2×99 = 3×99 = 4×99 = 5×99 = 6×99 = 7×99 = 8×99 = 9×99 =
分析 我们首先找规律。从2×99看起，它可以靠成是： 2×99 = 2×（100－1）
= 2×100－2×1 = 200－2 =198
照这样计算，3×99 = 300－3 = 297，即几乘以99可看成是几百减去几就得结果，因此，我们可很快算出各式的结果。
解 1×99 = 99 2×99 = 200－2 = 198 3×99 = 300－3 = 297 4×99 = 400－4 = 396 5×99 = 500－5 = 495 6×99 = 600－6 = 594 7×99 = 700－7 = 693 8×99 = 800－5 = 792 9×99 = 900－9 = 891