命题角度 2 数列的极限
1．（典型例题）已知数列{xn}满足x2=( )
A． B．3 C．4 D．5
[考场错解] C. ∵x1=4.∴x2=2,x3=(x1+x2)=3,x4=(2+3)=,x5=(3+)=n??，由趋势可知xn?2，故选C
[专家把脉] 通过有限项看趋势，并不能准确描述极限。
[对症下药] B由xn=(xn-1+xn-2)可得2x3=x2+x1,2x4=x3+x2,2x5=x4+x3,?,2xn=xn-1+xn-2,两边相加得：2xn+xn-1=2x2+x1,两边取极限，2x1=4+2， ∴x1=3.
2.(05，浙江高考卷)lim1?2?3???nn212n??x11,xn=(xn-1+xn-2),n=3,4,?.若limxn.=2,则x1= 22n??32121252125211,?.当412= （ ）
A．2 B．4 C． D．0 [考场错解] D lim1?2?3???nn2n??=lim(n??1n2?2n2?1121???)?lim?lim???lim?0.
n??n2n??n2n??nnn23[专家把脉] 无穷数列的和的极限不能求极限的和。 [对症下药] lim(1?n)n2n2n???limn?11?.
n??2n23．（典型例题）已知数列{log2(an-1)}(n∈N*) 为等差数列，且a1=3,a2=5,则
n??lim(111????)= ( ) a2?a1a3?a2an?1?an3212A．2 B． C．1 D．
[考场错解] D ∵a1=3,a2=5. ∴log2(a1-1)=1.log2(a2-1)=2. ∴an-1=2n.an=2an+1. ∴
n??lim1an?1?a.
11111????)?? a2?a1a3?a2an?1ana2?a12故lim(n??[专家把脉] 无限项数列和的极限应变成有限项数列的极限，不能求极限的和。
[对症下药] C ∵a1=3,a2=5.∴log2(a1-1)=1,log2(a2-1)=2. ∴an-1=2n,an=2n+1.
111????a2?1a3?a2an?1?an∴?122?212n?1?2n11[1?()n]1112??2???n?212221?2?12?22???1
∴lim(n??111????) a2?a1a3?a2an?1?an11[1?()n]2 =lim2=1 1n??1?24 (典型例题) 计算：lim3n?1?2n3n?2n?1n??=___________。
23?()n3?23[考场错解] limnn?1=lim=1
2nn??3?2n??1?2?()3n?1n[专家把脉] lim()n?0，而不是1。
n??23[对症下药] lim3n?1?2nn??3n?2n?1=lim1?n??12n?()33=3 12?()n?1335 （典型例题）已知un=an-1b+an-2b2+?+abn-1+bn(n∈N*,a>0,b>0). (Ⅰ)当a=b时，求数列{un}的前项n项和Sn。 （Ⅱ）求limn??un。 un?1n
2
3
n-1
n
[考场错解] （Ⅰ）当a+b时，rn=(n+1)a.∴Sn=2a+3a+4a+?+na+(n+1)a.则
234nn+1
aSn=2a+3a+4a+?+na+(n+1)a.两式相减： Sn=
(n?1)an?2?(n?2)an?1?a2?2a(1?a)2
a(n?1)un(n?1)an(Ⅱ) lim=lim==a. limnn??un?1n??uan?1n??[专家把脉] （Ⅰ）问运用错位相减时忽视a=1的情况。
（Ⅱ）a=b是（Ⅰ）的条件，当a≠b时，极限显然不一定是a. [对症下药] （Ⅰ）当a=b时，un=(n+1)an.这时数列{un}的前n项和
23n-1n
Sn=2a+3a+4a+?+na+(n+1)a.①
234nn+1
①式两边同乘以a,得aSn=2a+3a+4a+?+na+(n+1)a ②
23nn+1
①式减去②式，得（1-a）Sn=2a+a+a+?+a-(n+1)a
a(1?an)若a≠1,(1-a)S=-(n+1)an+1+a
1?an
a(1?an)Sn=
(1?a)2?(n?1)a?a?(an?1)an?11?a?(n?2)(1?a)2n?1n?2?a?2a2
若a=1,Sn=2+3+?+n+(n+1)=
n(n?3) 2a(n?1)un(n?1)an(Ⅱ)由（Ⅰ），当a=b时，un=(n+1)an,则lim=lim==a. limnn??un?1n??uan?1n??当a≠b时，un=a+ab+?+ab+b=a[1+?()2???()n]
b1?()n?11unan?1?bn?1nn?1n?1a?(a?b)此时,?. =annba?bua?bn?11?aba?b()na?a. =limbn??1?()nann-1n-1nn
bababa或a>b>0, limn??una?b=limun?1n??an?bnn?1n?1若b>a>0, limn??unun?1aa()n?bb?b. =limann??()?1b专家会诊
1．充分运用数列的极限的四则运算及几个重要极限①limC=C.(C为常数). ②limn??n??1=0.n③limqn=0,|q|<1.
n??2.对于
?型的数列极限，分子分母同除以最大数的最高次项，然后分别求极限。 ?3．运算法则中各个极限都应存在，都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个。
考场思维训练
qn?1x18
1 若q为二项式（?3）的展开式的常数项，则limn?1=___________.
n??q2?1x答案：1/7 解析：可求得q=7, lim2 已知点A（0，）、B（0，-2n7n?17n?1n???1?1. 722）、C（4+，0）其中n为正整数，设Sn为三角形ABC外接nn圆的面积，则limSn=_________.
n??答案：4π 解析；设外接圆的半径为Rn,则（Rn=
22222
）+（4+-Rn）=Rn, ∴nn12n2?n?1?2所以limRn?2,所以limSn?4?
n??n??n
3 已知等比数列{xn}的各项为不等于1的正数，数到{yn}满足yn=2logaxn(a>0,a≠1),设y4=17,y7=11.
(1)求数列{yn}的前多少项最大，最大为多少？ 答案：由已知得，数列为关数列，y4=17,y7=11, ∴公差d=
11?17??2,?yn?y4?(n?4)d?25?2n,?当1?n?12时,yn?0,当n?13时,yn?0,?数列{yn}3的前12项最大，最大为144.
（2）设bn=2yn,sn=b1+b2+?+bn,求limsn225的值。
n??答案： ∵bn=2yn,Sn=b1+b2+?bn, ∴{bn}为等比数列.
且公比为q=14,∴nS1223nlim??S=1?q?3?2253 4∴limSn?1n??2253. 4 设a2
n-1
，An=C1
2
n
n=1+q+q+?+q(n∈N+,q≠±)na1+Cna+?+Cnan (1)用q和n表示An;
答案：∵q≠1, ∴an=1?qn1?q
?A1?qn?11?q221?qnn1?qCn?1?qCn???1?qCn?11?q[(C1n?Cn2???Cnn)?(qC1n?q2Cn2???qnCnn)]
?11?q[(C0n?C1n???Cnn)?(C0n?qC1n?q2Cn2??qnCnn)]?1[2n1?q?(1?q)n](q?1)(2)当-3 An2的值； n答案： An2?11?q[1?(1?q2)n],??3?q?1, n∴| 1?q2|<1, ∴xlimAn??2=1?q n1命题角度 3 函数的极限 1．（典型例题）若lim（ ab1?x?1?x2）=1，则常数a,b的值为 x?1A．a=-2,b=4 B．a=2,b=-4 C．a=-1,b=-4 D．a=2,b=4 ） （ [考场错解] A ∵lima(1?x)?b1?x2x?1=limx?1ax?a?b?1.故能约去（1-x）, ∴a=-2,b=4. (1?x)(1?x)[专家把脉] （ax+a-b）中有在式（1-x）的求解中，注意a、b的符号。 [对症下药] C ∵lima(1?x)?b1?x2x?1=limx?1ax?a?b?1. (1?x)(1?x)故ax+a-b中必有因式（1-x），且极限为1。故a=-2,b=-4. 2．（典型例题）若limA．-1 B．1 C．- D． [考场错解] D limf(x?1)x?1x?11?1,则lim?lim?. x?1x?1f(2?2x)x?1f[2(x?1)]2x?1f(x?1)x?1?1,则lim? （ ） x?1x?1f(2?2x)1212x?1[考场把脉] 错误理解极限存在的条件。函数f(x)中必有因式（x-1）。 [对症下药] C∵lim∴f(x)=x. ∴limx?1f(x?1)?1,故f(x-1)=x-1. x?1x?1x?11??. 2?2x23．（典型例题）lim（ x?11x?3x?22?2x?4x?3162）= （ ） 16A．- B． C．- D． [考场错解] B 原式=lim1?x11=lim?. (x?1)(x?2)(x?3)x?1(x?2)(x?3)21212x?1[专家把脉] 在运算中注意符号的变化。 [对症下药] A limx?1x?3?2(x?2)1?x?11=lim=lim??. (x?1)(x?2)(x?3)x?1(x?1)(x?2)(x?3)x?1(x?2)(x?3)2x?3?9 4．（典型例题）lim16x??3x2= （ ） 1613A．- B．0 C． D． [考场错解] B 当x→-3,x+3=0,故limx?3?9x??3x2=0。 [专家把脉] 求函数极限时，分母为0的因式应约去才可代入。 [对诊下药]A lim11?? x??3x?36专家会诊 1．求函数的极限时，如果x→x0即x0是连续的点。即使函数f(x)有意义的点，只需求f(x0)的值。就是函数的极限值。 2．当f(x)在x0处不连续时，即x=x0代入后使式子f(x)无意义，应考虑约去此因式，使之有意义时再求f(x0)的值，即为极限值。 3．已知函数的极限，求出函数中的系数时，应满足两个条件，即存在性与极限值同时考虑。 考场思维训练