故数列{xn-a}是以x1-a=a为首数，公比为-的等比数列。 ∴xn-a=
a1(-)n-1 2212121212当n为偶数时，xn-a=-a(-)n<0. ∴xn0. ∴xn>a. 预测角度 2
利用导数探讨函数的单调性 1．已知m∈R,研究函数f(x)=
mx2?3(m?1)x?3m?6ex的单调区间
[解题思路] 先求f’(x),再令f’(x)>0和f’(x)<0可解得函数的递增区间和递减区间。
f'(x)?[2mx?3(m?1)]ex?[mx2?3(m?1)x?3m?6]ex(dx)2?mx?(m?3)x?3ex2[解答]
?
记g(x)=-mx2-(m+3)x-3
∴ex>0,只需g(x)的正负即可。 （1）当m=0时，g(x)=-3x-3. 当g(x)>0时，x<-1,f’(x)>0 当g(x)<0时，x>-1,f’(x)<0
∴当m=0时，f’(x)的增区间为（-∞，-1），减区间为（-1，+∞）。 （2）当m≠0时,g(x)有两个根：x1=-3,x2=-1. m3,+∞)上，g(x)>0,即f’(x)<0. m①当m<0时，x1>x2,在区间（-∞，-1）∪(-∴f(x)在（-∞，-1）∪(-在区间（-1，-
3,+∞)上是增函数。 m3）上，g(x)<0，即f’(x)<0. m3）上是减函数。 m3）∪（-1，+∞）上g(x)<0,即f’(x)<0. m∴f(x)在（-1，-
②当0 33)∪（-1，+∞）上是减函数，在区间（-，-1）上，g(x)>0，f’(x)>0. mm3，-1）上是增函数。 m③m=3时，x1=x2. 在区间(-∞, -1)∪（-1，+∞）上g(x)<0，f’(x)<0。 ∵f(x)在x=-1处连续。∴f(x)在（-∞，+∞）上是减函数。 当m>3时x1>x2。在区间(-∞, -1)∪（-3，+∞）上，g(x)<0，f’(x)<0。 m ∴f(x)在(-∞, -1)∪（-在区间（-1，- 3，+∞）上是减函数。 m3）上，g(x)>0，即f’(x)>0. m3）上是增函数。 m∴f(x)在（-1，- x4b32?a2x4b3a?122.已知函数f(x)=?x?且函数g(x)= ?x?x?2ax在x=1处取极值，x?ax432432在区间（a-6,2a-3）内是减函数，求a的取值范围。 32 [解答] f’(x)=x-bx-(2+a)x+2a 由f’(1)=0得b=1-a. 32 ∴f’(x)=x+(1-a)x-(2+a)x+2a =(x-1)(x+2)(x-a) 2 若a=1时f’(x)=(x-1)(x+2). x∈(-2,1) f’(x)>0 x∈(1,+ ∞),f’(x)>0. ∴x=1不是极值点。 322 ∴a≠1 又b=1-a.g’(x)=x+(1-a)x-(a-1)x-a=(x-a)(x+x+1).当x ∴a-6<2a-3≤a,-3 综合，得a的范围为（-3，1）∪（1，3）。 32 3．已知f(x)=ax+bx+cx+d是定义在R上的函数，其图像交x轴于A、B、C三点，若点B的坐标为（2，0），且f(x)在[-1，0]和[4，5]上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性。 （1）求C的值； （2）在函数f(x)的图像上是否存在一点M（x0,y0）使得f(x)在点M处的切线斜率为3b？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。 [解题思路] 根据题设条件作出f(x)的图像知,f(x)有两个极值点，一个为x=0，另一个极值点在[2，4]之间，借助这个结论可判定在点M处的切线的斜率能否等于3b， [解答]（1）由题意可知f(x)在[-1，0]和[0，2]上具有相反的单调性。∴x=0是f(x)的一 2 个极值点，故f’(0)=0。即3ax+2bx+c=0有一个解为x=0∴c=0。 （2）∵f(x)交x轴于点B（2，0）。 ∴8a+4b+d=0,即d=-4(b+2a). 令f’(x)=0，则3ax+2bx=0,x1=0,x2= 2 2b 3a∵f(x)在[0，2]和[4，5]上具有相反的单调 ∴2≤-2bb≤4， ∴-6≤≤-3。 3aa2 假设存在点M（x0,y0），使得f(x)在点M处的切线斜率为3b，则f’(x0)=3b。即3ax0+2bx0-3b=0。 ∵△=（2b）2-4×3a×(-3b)=4b2+36ab=4ab(∵又-6≤ b≤-3,∴△<0. ab+9) a∴不存在点M（x0,y0），使得f(x)在点M处的切线斜率为3b。 4．已知函数f(x)=x3+（b-1）x2+cx(b,c为常数) （1）若f(x)在x∈(-∞,x1)及x∈（x2+∞）上单调递增，且在x∈（x1,x2）上单调递减，又满足0 2 (2)在（1）的条件下，若t>x1,试比较t+bt+c与x1的大小，并加以证明。 [解题思路] 由f(x)的单调性可知x1、x2是f’(x)=0的两根， [解答] ∵f(x)在x∈（-∞，x1）及x∈（x2,+ ∞）上单调递增，且在x∈（x1,x2）上单调递减，∴x=x1或x=x2是函数f(x)的极值点，即f’(x1)=0，f’(x2)=0。 2 ∵f’(x)=x+(b-1)x+c. 2 ∴x1、x2是方程x+(b-1)x+c=0的两根，得 ?x1?x2?1?b又∵0 22 ∴(1-b)-4c<1.∴b<2(b+2c) (2)由（1）有b=1-(x1+x2)2c=x1x2. 22 ∴(t+bt+c)-x1=t+[1-(x1+x2)]t+x1x2-x1=(t-x1)(t-x2+1). ∵t>x1,x2-x1<1 ∴t-x1>0,x1 ∴t+bt+c>x1. 预测角度 3 利用导数求函数的极值和最值 3 1．已知函数f(x)=ax+cx+d(a≠0)是R上奇函数，当x=-1时，f(x)取得极值2。 （1）求f(x)的单调区间； （2）若对于x1、x2∈[-1，1]，不等式|f(x1)-f(x2)|≤m，求m的最小值。 [解题思路] 由题设条件易求得a、b、c的值。因此由f’(x)>0和f’(x)<0可求f(x)的单调区间。 （2）若对于任意x1、x2∈[-1，1]，不等式|f(x1)- f(x2)|≤m恒成立，即|f(x1)- f(x2)| 是函数f(x)的最大值和最小值之差的绝对值。因此，这一问主要是f(x)在[-1，1]上的最大值和最小值。 [解答] （1）由f(-x)=-f(x)x∈R,∴f(0)=0即d=0. 32 ∴f(x)=ax+cx,f’(x)=3ax+c. 由题设f（-1）=2为f(x)的极值，必有f’(-1)=0。 ∴??a?c??2 解得a=1,c=-3。 3a?c?0?3 2 22 ∴f(x)=x-3x.∴f’(x)=3x-3=3(x+1)(x-1). 令f’(x)>0，解得x>1或x<-1. f’(x)<0，解得1- ∴f(x)在（-∞，-1）∪（1，+∞）上单调递增。 f(x)在（-1，1）上单调递减。 3 （2）用（1）知；f(x)=x-3x在[-1，1]，恒有|x(x1)-f(x2)| ≤M-N=2-(-2)=4. 2.设函数f(x)是定义在[-1，0] ∪[0，1]上奇函数，当x∈[-1，0]时，f(x)=2ax+ 1x2(a为 实数) （1）当x∈（0，1）时，求f(x)的解析式； （2）若a>-1，试判断f(x)在[0，1]上的单调性； （3）是否存在a，使得当x∈（0，1）时，f(x)有最大值-6。 [解题思路]（1）利用函数f(x)的奇偶性可求得x∈（0，1）时，f(x)的解析式；（2）可用导数法判断；（3）分a>-1和a≤-1两种情况讨论f(x)的最大值。 [解答]（1）设x∈（0，1），则-x∈[-1，0]，f(-x)=-2ax+∵f(x)是奇函数，∴f(x)= 2ax- （2）f’(x)=2a+ 2x31x21x2. ，x∈（0，1）。 =2(a+ 1x31x3), ∵a>-1; x∈(0,1), ∴a+ 1x3≥1 >0,即f’(x)>0. ∴f(x)在（0，1）上是单调递增的。 （3）当a>-1时，f(x)在（0，1）单调递增，fmax（x）= f(1)=-6。∴a=-(不合题意舍去) 当a≤-1，令f’(x)=0，x=3?当x∈（-∞，3?x∈（3?∴x=3?令f(3?1 a521）时，f’(x)>0 a1 ，+∞）时，f’(x)>0 a 11时，f(x)有最大值f（3?）。 aa21)=-6?a=-22.此时x=∈（0，1）。 2a3∴存在a=-22,使f(x)在（0，1）上有最大值-6。 13．已知f(x)=-x+ax,其中a∈R,g(x)=?x2,且f(x) 23 的取值范围。 [解题思路] 设F(x)=f(x)-g(x)。由f(x)< g(x)在（0，1）上恒成立 ，即F(x)<0在(0，1)上恒成立，?F（min）<0。或用分离参数法。 1[解答] 设F(x)=f(x)-g(x)=-x3+ax+?x2 23x ∵f(x)< g(x)在（0，1）上恒立?F(x)<0在（0，1）上的最小值。 1∴a 23 31h(x)=x2?x2在（0，1）上的最小值。 2∵h’(x)=2x- 14x?(2x?1)(4x?2x?1)4x 由h’(x)=0 (2x-1)(4x+2x+1)=0. ∵4x+2x+1>0,∴x=. 又∵x∈(0, )时，h’(x)<0, x∈(,1)时，h’(x)>0. ∴x=时，h(x)有最小值h()=-∴a< 3. 1614143 16141414考点高分解题综合训练 1 已知函数f(x)在x=1处的导数为1，则limA． B．1 C．2 D． 答案： A 解析：∵f′(x)=limf(1?x)?f(1)1f(1??x)?f(1)111?lim?f'(1)??1?. 2x2?x?0?x2221214x?0f(1?x)?f(1)等于 （ ）] 2x?x?02 函数y=xsinx+cosx在下列哪个区间内是增函数 （ ） A．（0，π） B．（-π,0） C．( ?? ,π) D．(-π,- ) 22?)时，y′>0. 2答案： D 解析：y′=sinx+cosx-sinx=xcosx,x∈(-π,-3 已知函数f(x)= 1elna?lnx在（1，+∞）上为减函数，则a的取值范围为 （ ） xA．0 ∵x>,??1,?a?e. 4 函数y=2x-3x-12x+5在[0，3]上的最大值、最小值分别是 （ ） A．5，-15 B．5，-4 C．-4，-15 D．5，-16 答案： A 解析：f′(x)=6x2-6x-12,令f′(x)=0即6x2-6-x-12=0.x2-x-2=0 x=2或x=-1,(舍)， ∴当x=2时，y-=-15,x=0时，y=5时，y=-4,最大值为5， 最小值为-15. 5 设f(x)、g(x)分别是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数和偶函数，当x<0时f’(x)g(x)+ f(x) g’(x)=0且g(3)=0,则不等式f(x)2g(x)<0的解集是 （ ） A．（-3，0）∪（3，+∞） B．（-3，0）∪（0，3） 3 2 1?lna?lnxx2?0在x?(1??)上恒成立，故x?(1,??)时，lnx>1ln e恒成aeaea