于Dn，记dn=|Dn?1Dn|-(2n+7)求dn;
13答案：设ln:y=bnx+m.由???y?bnx?m2得x?bnx?m?0由于仅有一个公共点. 2?y?x?2∴△=bn2bn(6n?2)2?4m?0.?m??????(3n?1)2?ln:y?(?6n?2)x?(3n?1)2,令x=0得
442
2
2
y=-(3n+1)∴Dn(0,-3(n+1))Dn+1 (0,-3,(n+4)∴|DnDn?1|?[(3n?4)2?(3n?1)2]?6n?5 ∴dn=|DnDn+1|-(2n+7)=4n-2
22dn?1?dn(Ⅲ)若xn=(n∈N)求证lim(x1+x2+?+xn-n)=1.
2dn?1dnn??222dn211?1?dn?(dn?1?dn)??1?1?(?) 答案： xn=
2dndn?12dndn?1(2n?1)(2n?1)2n?12n?1131313∴x1+x2+?+xn-n=(1-)?(?)???(lim(x1?x2??xn?n)?1
131315111?)?1? 2n?12n?12n?1n??14 某学生在体育训练时弄伤了膝关节，医生给开了一些消炎药，并嘱咐每天早晚8点各服
用一片药片，已知该药品每征220mg,他的贤脏每次12小时从体内滤出这种药的60%，如果这种药在体内残留超过386mg,将产生副作用。 请问：（1）该同学上午8时第一次服药后，到第二天早晨服药后，药在体内还残留多少？ 答案：设该生第n次服药后，药在体内的残留量为anmg,由题意得a1=220, 且an+1=0.4an+220,n∈N*
∴a2=308,a3=343.2
故到第二天早晨服药后，药在体内还残留343.2mg （2）该同学若长期服用该药，会不会产生副作用？ 答案：∵an+1=0.4an+220 ∴an+1-∴{an -∴an -11001100?0.4(an?) 331100}是公比为0.4的等比数列， 311001100=(220- )×0.4n-1 3311001100)×0.4n-1+ 33∴an=(220-
liman?n??1100?386 3
故长期服用此药不会产生副作用，
15 已知点集L={（x,y）|y=m2n},其中m=(2x-b,1),n=(1,b+1),点列Pn(an,bn)在L中，P1为L与y轴的交点，等差数列{an}的公差为1，n∈N+. (1)求数列{an},{bn}的通项公式；
?y?m?n答案：由??m?(2x?b,1),得y?2x?1
?n?(1,b?1)?∴L：y=2x+1, ∴P1(0,1)，则a1=0,b1=1, ∴an=n-1(n∈N+),b=2n-1(n∈N+) （2）若Cn=
5(n?2),求lim(c1+c2+?+cn);
n?|p1pn|n??答案：当n≥2时，Pn(n-1,2n-1),|P1Pn|=5(n-1)
Cn?5111???n|Pn(n?1)n?1n1Pn|
111111lim(c1?c2???cn)?lim(1?)?(?)??(?)]?lim(1?)?1n??n??n??223n?1nn16 已知数列{an}中，a1=1,an+1=(an+
124)(n∈N*),且{an}存在极限。 an（1）证明：{an}时先增后减数列，并求an的最大值； 答案：证明：∵a1=1,a2=(a1+
?当n?2时an?1245)??0 a121414(an?1?)??2an?1??2,当且仅当an?1?2时取等号.但若存在某一个n?N*2an?12an?114(an?1?)(n?2)2an?1当n?2时有,则由an? 得an=an-1=?=an=a1=2，这与条件矛盾，因此，an≠2对n∈N*恒成立. ∴当n≥2时，an>2.
又n≥2时， an-an+1=an-(an?12414112)?(an?)?(an?4)?(22?4)?0, an2an2an2an52∴a1,?an>an+1>?>2,即{an}是行列增后减数列，（an）max=a2=. （2）已知圆锥曲线Cn的方程为：并求曲线C的面积。
22?an答案：由上可知，an?1,所以圆锥曲线Cn为椭圆.
(x?an)22an?(y?an?1)2an?1?1(n?N*)设limCn=C,求曲线C的方程
n??由于{an} 存在极限，所以可设liman?A,则liman?1?liman?A.
n??n?1?nn??又由an>0得A>0,从而A=(A?)?A?2.即liman?2.
n??124A由此可得曲线C的方程即是n→∞时曲线
Cn的方程为：
(x?2)222?(y?2)222?1,即为以(2,2)为圆心,2为半径的圆:(x?2)2?(y?2)2?4,从而圆C的面积为?R2?4?.
考点15
导数及其应用
?导数的概念与运算 ?导数几何意义的运用 ?导数的应用
?利用导数的几何意义
?利用导数探讨函数的单调性 ?利用导数求函数的极值勤最值 经典易错题会诊 命题角度 1
导数的概念与运算 1．（典型例题）设f0(x)=sinx,f1(x)=f’0(x),f2(x)=f’1(x),?,fn+1(x)=f’n(x),n∈N,则f2005(x) ( ) A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx [考场错解] 选A [专家把脉] 由f’1(x)=f’0(x)=(sinx)’=cosx,f2(x)=(cosx)’=-sinx,f3(x)=(-sinx)’=-cosx,f4(x)=(-cosx)’=sinx,?,f2005(x)=f’2004(x)=?=f0(x0=sinx前面解答思路是正确的，但在归纳时发生了错误。因f4(x)=f0(x)=f8(x0=?=f2004(x),所以f2005(x)=f1(x)=cosx. [对症下药] 选C 2．（典型例题）已知函数f(x)在x=1处的导数为3，f（x）的解析式可能为 （ ）
A．f（x）=(x-1)3+32(x-1) B．f(x)=2x+1 C．f()=2(x-1)2 D．f(x)-x+3
[考场错解] 选B ∵f(x)=2x+1,∴f’(x)=(2x+1)’=2x+1|x=1=3. [专家把脉] 上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为（2x+1）’=2x+1.正确的是（2x+1）’=2,所以x=1时的导数是2，不是3。
[对症下药] 选A ∵f(x)=(x-1)3+3(x-1)f’(x)=3(x-1)2+3,当 x=1时,f’(1)=3 3.(典型例题) 已知f(3)=2f’(3)=-2，则lim2x?3f(x)的值为 （ ）
x?3x?3A．-4 B．0 C．8 D．不存在 [考场错解] 选D ∵x→3,x-3→0 ∴lim2x?3f(x)不存在。
x?3x?300[专家把脉] 限不存在是错误的，事实上，求型的极限要通过将式子变形的可求的。 [对诊下药] 选C
2x?3f(x)?3[f(x)?f(3)]?6?2x=lim
x?3x?3x?3x?3lim=lim[2?3x?3f(x)?f(3)f(x)?f(3)]?2?3 lim[]?2?3f'(3)?2?3?(?2)?8.
x?3x?3x?3-x
4．（05，全国卷）已知函数f(x)=e(cosx+sinx),将满足f’(x)=0的所有正数x从小到大排
成数列；
（2）记Sn是数列{xnf(xn)}的前项和。
求limn??S1?S2???Sn
n[考场错解] ∵f’(x)=e-x(cosx+sinx)’+(e-x)’(cosx+sinx)
-x
=e-x(-sinx+cosx)+e-x(cosx+sinx)=2ecosx
?????f(xn?1)( nπ+)n
令f’(x)=0,x=nπ+（n=1，2，3，?）从而xn=nπ+。f(xn)=e-=-e2. 2(-1)222f(xn)∴数列{f(xn)}是公比为q=-e的等比数列。
[专家把脉] 上面解答求导过程中出现了错误，即（e-x）’=e-x是错误的，由复合函数的求
-x-x
导法则知（e-x）’=e(-x)’=-e才是正确的。 [对诊下药]（1）证明：
-x-x-x-x
f’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e(cosx+sinx)’=-e(cosx+sinx)+e(-sinx+cos)=-2esinx.
-x
令f’(x)=0得-2esinx=0，解出x=nπ,(n为整数，从而xn=nπ(n=1,2,3,?)，f(xn)=(-1)ne-nπ
f(xn?1)-π-π
??e??,所以数列|f(xn)|是公比q=-e的等比数列，且首项f(x1)=-e f(xn)-π
(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+?+xnf(xn)
n-1
=nq(1+2q+?+nq)
1?qn?q1?qnnn
aSn=πq(q+2q+?+nq)=πq(-nq)从而Sn=(-nq)
1?q1?q1?q2
n
S1?S2???Sn?q2?q2?qn?2n??(1?q)?
n(1?q)2n(1?q)3(1?q)2∵|q|=e<1 ∴limqn=0,
n??-π
S1?S2???Sn?q?e???∴lim
nn??(1?q)2(1?e?)2专家会诊
1．理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数f(x)在x=a处可导，则
n??limf(x)?f(a)?f'(a) 的运用。
x?a2．复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到内层进行，注意不要遗漏 3．求导数时，先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数求导，先看是否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数求导先化为和或差形式；多项式的积的求导，先展开再求导等等。 考场思维训练
1 函数f(x)=x3+ax2+3x-9.已在f(x)在x=-3时取得极值，则a= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5
答案： D 解析：∵f′(x)=3x2+2ax+3.令f′(x)=0.即3x2+2ax+3=0有一根x=-3, ∴3(-3)2-6a+3=0,得a=5.
2 函数f(x)=x3-8x,则函数f(x)在点x=2处的变化率是 （ ） A．2 B．-2 C．4 D．-4
答案： C 解析：∵f′(x)=3x2-8. ∴x=2时的变化率是f′(2)=3322-8=4. 3 满足f(x)=f’(x)的函数是 （ ） A．f(x)=1-x B．f(x)=x C．f(x)=0 D．f(x)=1
答案： C 解析：f(x)=0,0′=0, ∴f(x)=f′(x).
4 已知f(x)=ln|2x|, 则f’(x)= ( ) A.C.
11 B. x2x11 D. |x||2x|答案： A 解析：当x>0时，f(x)=ln(2x), ∴f′(x)=c ∴f′(x)= ?11?(?2)?. 2xxx25已知函数f(x)=ln(x-2)-(a为常数且a?0)
2a(1)求导数f’(x) 答案： f′(x)=
1x??(x?2). x?2a(2)解不等式:f’(x)>0 答案：令f′(x)=即???x?0??x?2x?a?021x??0(x?2). x?2ax2?2x?a?0的??4?4a.
（i）当a ≤-1时，x2+2x-a>恒成立，∴x>2.
(ii)当a>-1时，??0,x2?2x?a?0的解集为{x|x>a?1?1或x??a?1?1} ∴当-18时，a?1?1>2, ∴x>a?1?1.
综合得，当a≤8时，f′(x)>0的解集为（2，+∞）. 当a>8时，f′(x)>0的解集为（a?1?1，+∞）.
命题角度 2
导数几何意义的运用
1.(典型例题)曲线y=x3在点(1,1)的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形面积为_________. [考场错解] 填2 由曲线y=x3在点（1，1）的切线斜率为1，∴切线方程为y-1==x-1,y=x.所以三条直线y=x,x=0,x=2所围成的三角形面积为S=×2×2=2。
[专家把脉] 根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数，上面的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为1显然是错误的。
[对症下药] 填。∵f’(x)=3x 当x=1时f’(1)=3.由导数的几何意义知，曲线在点（1，1）处的斜率为3。即切线方程为y-1=3(x-1) 得y=3x-2. 联立??y?3x?22得交点（2，4）。又y=3x-2与x轴交于（，0）。
3x?2?122383832
12∴三条直线所围成的面积为S=×4×（2-）=。