（3）（z1-z2）2+（z2-z3）2=0，则z1=z2=z3； （4）x+yi=1+i?x=y=1;
（5）若实数a与ai对应，则实数集与纯虚集一一对应。其中正确的命题的个数是 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3
[解题思路] 关键是理解复数及其有关的概念，证明它们之间的关系，若对复数概念理解不透彻，导致判断失误。 [解答] 选A 都不正确：（1）因为当两个复数是实数时，可以比较大小；
2
（2）若b=i时，则有z=0+i=-1∈R。
（3）只有当z1、z2、z3∈R时，命题才成立，当z1=1，z2=0，z2=i满足条件，故结论不成立。 （4）只有当x、y∈R时，命题才正确。 （5）若a=0，则a2i=0,不再是纯虚数。
2．复数z=log2(z2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时。
（1）z∈R；（2）z为虚数；（3）z为纯虚数；（4）z=log449-i;（5）在复平面上z的对应点们于第三象限。
[解题思路] 讨论此类问题时，首先将原式化为复数z=a+bi(a,b∈R)的形式，然后根据复数的分类求解。
[解答] （1）∵一个复数是实数的充要条件是虚部为0， ∴???x2?3x?3?0??log2(x?3)?0解得x=4,当x=4时，x∈R。
（2）∵一个复数是虚数的充要条件是虚部非0。
?3?21?x2?3x?3?0∴?解得
2?log(x?3)?0?2即x∈(
3?21,4) ∪(4,+ ∞)时，Z为虚数。 2（3）∵一个复数是纯虚数，则其实部为零且虚部不为零。
??log2(x2?3x?3)?0解得x?,即x不存在。 ∴??log(x?3)?0.?2（4）log2(x-3x-3)-ilog2(x-3)=log49-i,根据两个复数相等的条件：
??log2(x2?3x?3)?log449 ??log(x?3)?1?22
解得x=5，当x=5时，z=log449-i.
??log2(x2?3x?3)?0（5）依题意有?
?log(x?3)?02?解得∴当
3?21 复数的代数形式及运算 1．计算：（1） (2?2i)4(1?3i)5;（2） [解题思路] 利用w的性质和in 的周期性进行运算。 [解答]（1）原式= (1?i)4?[(1?i)2]2(2i)2?w12(135?2w5??2w6?2w?2(?2?32i)??1?3i. 2?2)（2）原式= i(1?23i)1?23i?[(21?i)2]1003?i?(22i)1003?i?(?i)1003?2i. 2．设复数z= (1?i)2?3(1?i)2?i，若z2 +az+b=1+i,求实数a、b的值。 [解题思路] 与实数集中求值问题类似，应先化简后代入求值。 [解答]z= (1?i)2?3(1?i)2i?3(1?i)3?i(3?i)(22?i?2?i?2?i??i)(2?i)(2?i)?5?5i5?1?i. 将z=1-i代入z2 +az+b=1+i得 （1-i）2 +a(1-i)+b=1+i 即(a+b)-(a+b)i=1+i ∴??a?b?1,解得??a??3??(a?2)?1.4 ?b?3.若z∈c，且|z+2-2i|=1,则|z+2-2i|的了小值是 （ ） A．2 B．3 C．4 D．5 [解题思路]运用数形结合的思想求解。 [解答] B∵|z+2-2i|=1,即|z-(2+2i)|=1 ∴点z的轨迹是以（-2，2）为圆心，以1为半径的圆|z-(2+2i)|表示圆上一点到定点A（2，2）的最小距离|AP|=|AC|-1=(2?2)2?02?1=4-1=3。 4 设z是虚数，w=z+1z为实数，且1- 1?z1?z，求证：u为纯虚数。 （3）求w-u2 的最小值。 [解题思路] 设z=a+bi(a,b∈R,b≠0)代入w整理为w=x+yi形式w是实数的条件去创造等量关系。 [解答]（1）设z=a+bi(a,b∈R,b≠0) w=a+bi+ 1a?bi?(a?aba2?b2)?(b?a2?b2)i. ∵w是实数，b≠0. ∴a2+b2 =1,即|z|=1。 ∵w=2a,-1 （2）u=1?z1?a?bi(1?z?1?a?bi?1?a?bi)(1?a?bi)?(1?a?bi)(1?a?bi)?1?a2?b2?2b(1?a)2?b2??ba?1i. 又∵a∈(-，1), b≠0,∴u为纯虚数。 （3）w-u=2a+∴2(a+1)= 2 2 12b2(a?1)2?2a?1?a2(a?1)2?2a?1?a22?2a?1??2(a?1)??3?2?2?3?1. 1?aa?1a?121即a=0 ∈(-，1)时，上式等号成立。 a?12∴w-u的最小值为1。 考点高分解题综合训练 1 已知复数Z1=3+4i,Z2=1+i,则Z12Z2等于 （ ） A．7+i B．7-i C．1-7i D．1+7i 答案： A解析：由z2=1+I得z2?1?i,于是z1?z2?(3?4i)(1?i)?7?i. 2 在复平面内，设向量p1=（x1,y1）, p2=（x2,y2），设复数Z1=x1+y1i(x1,y1,x2,y2∈R)则p12p2等于 （ ） A．Z1Z2+Z2Z1 B．Z1Z2-Z1Z2 C．（Z1Z2-Z1Z2） D．（Z1Z2+Z1Z2） 答案： D解析：(z1z2?z1z2)?[(x1?y1i)(x2?y2i)?(x1?y1i)(x2?y2i)?x1x2?y1y2?P1?P2. 3 若复数Z满足|Z+1|=|Z-i|，则Z在复平面所对应的点集合构成的图形是 （ ） A．圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线 答案： B解析：|z+1|表示z对应的点到(－1，0)的距离，|z-i|表示z到对应的点到点(0,1)的距离， ∴ |z+1|=|z-i|表示复平面内到(-1,0)和(0,1)距离相等的点的轨迹，即点(-1,0)和(0,1)连结的垂直平分线，选B 3 4 设复数Z满足（Z+i）2Z=1-2i，则复数Z对应的点位于复平面内 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案： A解析：由(2+i)z=1-2i3,i3=-i.可得z=5 1?2i(1?2i)(2?i)4?3i4343????i,?z对应的点(,)位于第一象限选A. z?i(2?i)(2?i)55555(1?3i)23?i12121212= （ ） A．3+i B．3-i C．-3+i D．-3-i 答案： C解析： (1?3i)3?i2??2(1?3i)3?i??3?i.选C. 6 (2444)?()的值为 （ ） 1?i1?iA.2 B.-2 C.0 D.1 答案： B 7 当Z= i?12解析：(100 24244444)?()??????2. 1?i1?i(1?i)4(1?i)4(2i)2(?2i)2时，Z+Z+1的值等于 （ ） 50 A．i B．-i C．1 D．-1 答案： B解析：?z2?(i?12)2??2i??i.z4??1. 2?z100?z50?1?(z4)25?(?i)25?1??1?(?i)24(?i)?1??i. 8 已知Z1= 1?2iZ,Z2?1,，中Z22Z2的值是 （ ） 3?i2?i1 10A．10 B．C．10 D． 10 101?2i(1?2i)(3?i)1?7i??. 3?i1010答案： B解析：∵z1= 又z2?1?7i(1?7i)(2?i)9?13i??.10(2?i)5050 12?|z2|?z2?z2?.109 定义运算 abcd=ad-bc,若复数Z=x+yi(x,y∈R)满足 Z1的模等于x，则复数Z对应的点Z11（x,y）的轨迹方程为___________. 答案：y2?2(x?).解析:|z?1|?x?(x?1)2?y2?x2?y2?2(x?). 10 （1-3i）的展开式中所有奇数项的和为____________. 123答案：?29解析:?(1?3i)10?1?C103i?C10(3i)2?C10(3i)3?... 10 1212131013?(1?3i)10的展开式中奇数项之和为复数(1?3i)10的实部,又(1?3i)10?[?2(??i)]?210w10?210w?210(??i)??292222 ∴(1-3i)10的展开式中各奇数项和为-29. 11 已知z=5-12i，求f(z)=z-的值。 2 1z 答案：解：设z=z+yi(x1y∈R),则z2=（x+yi）2=x2-y2+2xyi 由题设得x2-y2+2xyi=5-12i. ∴??x2?y2?5?x?3?x??3 ?解得?或?2xy??12y??2y?2???1zz=3-2i或z=-3+2i,|z|2=13. f(z)=z-=z-z|z|2?z(1?12)?z 13|z|21当z=3-2i 时，f(z)=当z=-3+2i时，f(z)=- 12(3-2i). 1312(3-2i) 1312 设复数z满足|z|=5，且（3+4i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|2z?m|=52（m∈R）.求z和m的值。 答案：解：设z=x+yi(x,y∈R),又|z|=5。 即x2+y2=25,又（3+4i）z=(3+4i)(x+yi)=(3x-4y)(4x+3yi)的角平分线上，则它的实部和虚部互为相反数， ∴3x-4y+4x+3y=0,化简得y=7x. 将其代入x2+y2=25得x=±∴z=±(则当z= 272+i) 22272+i时，|2z-m|=|1+7i-m|=52. 22272,y=±. 22即（1-m）2+72=50,解得m=0或2. 当z=-（当-272+i）时，同理可求得m=0或-2. 222+时，m=0. 222-时m=0. 22当z= 综上m的值为：0，2，-2.