1 设f(x)在x0处可导，f(x0)=0则limnf(x0-n???1)=___________. n答案：-f’(x0) 解析：limnf(x0?)
n???1n1f(x0?)?f(x0)n??f'(x0). =?lim1x????n2 limA.
x2?1?x?1n?12x2? ( )
12 B. C.0 D.2 23答案： B．解析：略
bx2?cx?22
3 已知lim=a,且函数y=alnx++c在[1，e]上存在反函数，则 （ ）
xx?2x?2A．b∈(-∞，0)
B．b∈(2e,+∞)
C．b∈(-∞，0) ∪(2e,+∞) D．b∈(0，2e)
答案： C．解析：略
4 设f(x)是x的三次多项式，已知lim零常数）. 答案：解：由于limf(x)?1,可知f(2a)=0 ① x?2af(x)f(x)f(x)=lim=1，试求lim的值。（a为非
x?2ax?2ax?4ax?4ax?3ax?3ax?2a同理f(4a)=0 ②
①②可知f(x)必含有（x-2a）与（x-4a）有因式， 由于
f(x)是x的三次多项式，故可设f(x)=A(x-2a)(x-4a)(x-C), 这里A、C均为选定的常数，由limf(x)A(x?2a)(x?4a)(x?C)?1,即lim?limA(x?4a)(x?C)?1,得(2a?4a)(2a?C)?1,即
x?2ax?2ax?2ax?2ax?2a4a2A-2aCA=-1 ③ 同理，由于limf(x)?1,得A(4a?2a)(4a?C)?1,
x?4ax?4a即8a2A-2Aca=1 ④ 由③④得C=3a,A=
12a2,因而f(x)?12a2(x?2a)(x?4a)(x?3a),
∴limf(x)111 ?lim(x?2a)(x?4a)??a?(?a)??x?3ax?3ax?3a2a222a2命题角度 4 函数的连续性
1．（典型例题）极限limf(x)存在是函数f(x)在点x=x0处连续的 （ ）
x?x0A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要的条件
[考场错解] C limf(x)存在?f(x)在点x=x0处连续。
x?x0[专家把脉] limf(x)≠f(x0)时，则f(x)在点x=x0处不连续。
x?x0[对症下药] B ∵limf(x)不一定等于函数值f(x0)，而f(x)在点x=x0处连续。则有
x?x0x?x0limf(x)=f(x0)
xn2．（典型例题）已知函数f(x)=limn??4?xn，试判别f(x)在定义域内是否连续，若不连续，
求出其不连续点。
[考场错解] ∵4-nx≠0, ∴xn≠4,x≠-2. ∴f(x)的定义域为（-∞，-2）∪（-2，+∞）。 当x=0时，f(x)=0,f(0)=0.故连续。故函数f(x)在定义域内连续。 [专家把脉] 错把函数f(x)= limxnn??4?xn当作函数f(x)=
xnxn4?xn.
[对症下药] （1）当|x|<1时，f(x)= lim（2）当x=-1时，f(x)=lim（3）当x>1时，f(x)=lim(4)当x=1时f(x)=lim?0??1?f(x)???3???1n??4?xn=0；
xnxnn??4?xn不存在；
13n??4?xn=.
xnn??4?xn=-1。
?1?x?1x?1x??1或x?1
∴f(x)的定义域为（-∞，-1）∪（-1，+∞）。 而在定域内，x=1时。
x?1?limf(x)=0. limf(x)=-1. ∴limf(x)不存在。
x?1?x?1?故f(x)在x=1处不连续。∴f(x)在定义域内不连续。 专家会诊
1．在判断函数的连续性时，充分运用它的重要条件，即limf(x)=f(x0).前提是f(x)在x0
x?x0
处的极限要存在。
2．在求函数的不连续点时，或不连续区间。首先是定义之外的点或区域一定不连续。往往只须考虑定义域内的不连续部分。 考场思维训练
1 f(x)在x=1处连续，且limf(x)=2，则f(1)等于 （ ）
x?1x?1A．-1 B．0 C．1 D．2 答案： B．解析：略 2 limx?1x2?ln(2?x)=____________.
4arctanx1 解析：利用函数的连续性，即limf(x)?f(x0), ?x?x0答案：
x2?sin(2?x)12?sin(2?1)1∴lim?? x?x14arctanl4arctan1??x?13 设f(x)=???2??10?x?1x?11?x?2则f(x)的连续区间为()
A．（0，2） B．（0，1）
C．（0，1）∪（1，2） D．（1，2）
答案： C．解析：limf(x)?lim1?1
x?1?x?1?x?1?limf(x)?lim?1,x?1?
x?1limf(x)?1?f(1)?12即f(x)D x=1点不连续，显知f(x)在（0，1）和（1，2）连续。
?x?4 求函数f(x)=?1?log2(x?2)?(x?1)(x?1)的不连续点和连续区间
答案：解：不连续点是x=1,连续区间是（-∞，1）∪（1 +∞）． 探究开放题预测 预测角度 1
数学归纳法在数列中的应用
1．已知数列{an}满足条件（n-1）an+1=(n+1)(an-1)且a2=6,设bn=an+n(n∈N*), (1)求{bn}的通项公式； （2）求lim（
n??1111）的值。 ?????b2?2b3?2b4?2bn?2[解题思路] （1）运用归纳—猜想—证明。（2）裂项法先求数列的和，再求和的极限。
[解答] 1.(1)当n=1时，代入已知式子中，得a1=1,当n=2时，得a3=6，同理可得a4=28,
再代入bn=an+n,得b1=2,b2=8,b3=18, ∴猜想bn=2n2,用数学归纳法证明：1°当n=1时，b1=a1+1=2.显然成立。n=2时,.结论成立。2°假设n=k(k≥2)时命题成立，即bk=2k2,即ak+k=2k2,ak=2k2-k,则n=k+1时，bk+1=ak+1+k+1=
2
k?1k?1(ak?1)+k+1=(2k2-k-1)+k+1=(k+1)(2k+1)+(k+1)=(k+1)(2k+2)=2(k+1)k?1k?1
∴当n=k+1时，结论成立。
由1°、2°可知bn=2n2. (2)原式=lim（?n??1611）???2162n?2n??lim11111111111111?)]? lim[(1????????[???]?32435n?1n?1421?32?4(n?1)(n?1)2n??2n??lim(1?1113??)?. 2nn?18n,证明：对所有正整数k有m2．设函数f(x)对所有的有理数m、n都有|f(m+n)-f(m)| ≤
?i?1k|f(2k)-f(2)| ≤
i
k(k?1). 2[解题思路] 运用数学归纳法证明。
[解答] 1°当k=1时，左=0=右，命题成立。2°假设k=n时，不等式成立，即
?i?1nn(n?1),则k=n+1时，|f(2)-f(2)| ≤2k
i
?i?1k+1
n?1|f(2)-f(2)|=
k+1i
?i?1n?1|f(2)-f(2)+f(2)-f(2)| ≤
k+1ini
?i?1n?1n(n?1),= |f(2)-f(2)|+2i
?i?1n|f(2+2)-f(2)|+
kni
n(n?1)n(n?1)n(n?1)=n+=. 222 故当k=n+1时，命题也成立。 由1°，2°可知原不等式成立。 预测角度 2 数列的极限 1．已知（xx?1156
）的展开式的第五项等于，则lim（x-1+x-2+?+x-n）等于 x2n?? A．0 B．1 C．2 D．-1
[ 解题思路] 利用二项式的通项公式求出x的值，再求数列和的极限。 [解答] B T5=C6（x）
4
-1
43(x2)2=15x-1=
15 2∴x=,∴lim(x+x+?+x)=lim(?????-1
12-1-2-n
12141812n)=
11?212?1.
∴选 B
2．设xn=n(n?1?n),求数列{xn}的极限。
[解题思路] 由于n,n?1)的极限都不存在，所以应先将xn变形，使之变成极限可求的数列。
[解答] 因为xn=n(n?1?n)=n得xn=
1?11?1n(n?1?n)(n?1?n)n?1?n?nn?1?n用n除分子和分母，
,而1<1?11?1?, nn由1+
11?1得知1??1(n??),再应用除法运算，即求得limxn=limnn??n??n11?1?1n?1. 2*3.已知a、b是不相等的正数，若limA．0
an?1?bn?1an?bnn??=2，则b的取值范围是 （ ）
[解题思路] B 讨论a与b的大小后，分子、分母同除以an?1或bn?1，后再求由极限值求范围。 [解答] 当a>b时，limaa?1?bn?1n??an?bnb1?()n?1a?a?2. ?lim11bnn????()aaa∴0 aa?1n当a 预测角度 3 函数的极限 sin3x?2sinx?11．lim?lim(sin2x?sinx?1)?1 ??sinx?1n?n?222．求limn?4x?2. x?4(x?2)(x?2)x?4x?2?lim?=limx?4(x?4)(x?2)x?4x?4(x?4)(x?2)1x?21。 4[解题思路] 将分子有理化，使分子分母极限存在。 [解答] lim?x?4?预测角度 4 函数的连续性 1．函数f(x)在x0处有定义是lim（fx）存在的 （ ） x?x0A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件