C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解题思路] 利用极限在某点存在性判断
[解答] D ∵函数在x0处有定义，但在此点处极限不一定存在，反之也不一定，如图（1）（2）。
?1?1?x(x?0)2．设f(x)=?当a取何值时，函数f(x)是连续的？ ?x?a?bx(x?0)?[解题思路] 利用连续的存在性的充要条件，即lim（x）=f(x0)，以及连续的定义。
x?x0[解答] ∵x<0连续,x>0连续，只须判断，当x=0时，函数也连续时，从而求a的值。 ∵f(x)在x=0处有定义，且lim?f(x)= lim?f(x)=a.
x?0x?012∴只有当a=时。limf(x)才存在，且值为。
x?x01212又∵f(0)=a ∴当a=时。f(x)是连续函数。
专家会诊
1．深刻理解函数f(x)在x0处连续的概念，即函数f(x)在x0处有定义。f(x)在x0处有极限。
x?x012limf(x)=f(x0).函数f(x)在x0处连续反映在图像上是f(x)在x0处是不间断的。
2．由连续的定义，可以得到计算极限的一种方法：如果f(x)在定义区间内是连续的，则lim
x?x0f(x)=f(x0)，只要求出函数值f(x0)即可。 考点高分解题综合训练
1 已知f(n)=(2n+7)23n+9,存在自然数m，使得对任意n∈N,都能使m整除f(n),则最大的m的值为 （ ）
A．30 B．26 C．36 D．6
答案： C.解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36∴f(1)、f(2)、f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整流器除。
证明：n=1、2时，由上得证，设n=k(kl≥2)时，f(k)=(2k+7)·3+9能被36整除，则n=k+1
k+1k
时，f(k+1)-f(k)=(2k+9)·3-(2k+7)·3
kkkk-2
=(6k+27)·3-(2k+7)·3=(4k+20)·3=36(k+5)·3(k≥2)?f(k?1)能被36整除
k
∵f(1)不能被大于36的数整除，∴，所求最大的m的值等于36. 2 记二项式（1+2x）n展开式的各系数和为an,其二项系数为b，则limA．1 B．-1 C．0 D． 不存在
2()n?1b?a2?3nn
??1,所以选B. 答案： B 解析：an=3,bn=2, ∴ limnn?limnn?lim3n??bn?ann??2?3n??2n()?13nnbn?an等于 （ ）
n??bn?an
3 (xx?)6的展开式中的第五项是
12141x15,Sn?x?1?x?2???x?n，则limSn等于 （ ） 2n??16A．1 B． C． D． 答案： A 解析：略 4 已知a、b∈R,|a|>|b|,又liman?1?bnann???liman?1?bnann??，则a的取值范围是 （ ）
A．a>1 B．1-1 D．-11 答案： B 解析：略 5 若f(x)=
321?x?131?x?1在点x=0处连续，则f(0)等于 ( )
A． B． C．1 D．0
?(1?x?1)(1?x?1)[3(1?x)2?31?x?1](1?x?1)[3(1?x)2?31?x?1][3x?1?1](31?x)2?31?x?123答案： A 解析：略f(x) ?1?x?11?1?13f(0)??1?12
6 观察下列式子：1??,1?1232122?132?51117,1?2?2?2? ?则可归纳出_________. 34234答案：:1+
312?1?1 ?即1??1?1222(1?1)21(n?1)211?122?132????1(2?1)2?2?2?1 2?1*2n?1归纳为1+2?2????(n?N)
n?123(n?1)21117 lim1?sinx=____________.
?cosxx?2答案：0 解析：略
8 an是（3-x）n的展开式中x项的系数（n=2，3，4，?）则lim（
n??32a2?33a3???3nan）=________。
答案：18 解析：略
n2?19 lim（+an+b）=3则a+b=__________. n??n?1答案：3 解析：略
10 已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+?+b10=145 (1)求数列{an}的通项公式bn;
答案：解：设数列为{bn}的公差为d由题意知
?b1?1?b1?1???,?bn?3n?2 ?10(10?1)d?310b?d?145??12?（2）设数列{an}的通项an=loga(1+
131)(其中a>0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和，试比bn较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论。 答案：证明：由bn=3n-2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+)+?+loga(1+
141) 3n?2=loga[(1+1)(1+)?(1+而
141)] 3n?21111logabn?1?loga33n?1,于是比较Sn与logabn?1的大小?比较(1?1)(1?)?(1?)与33n?1的大小. 3343n?2取n=1,有（1+1）=38?34?33?1?1
14取n=2,有（1+1）（1+）>38?37?33?2?1
推测：（1+1）（1+）?（）1+
141?33n?1(*) 3n?2①当n=1时，已验证（*）式成立.
②假设n=k(k≥1时（*）式成立，即（1+1）（1+）?（1+
141?33k?1） 3k?2则当n=k+1时，（1+1）（1+）?（1+
14111)(1?)?33k?1(1?) 3k?23(k?1)?23k?1=
3k?233k?1 3k?1
(3k?23?3k?1)3?（33k?4)33k?1(3k?1)2?9k?1(3k?1)2?0(3k?2)3?(3k?4)(3k?1)2∵
?＝3k?1（3k?2）?33k?4?33(k?1)?13k?1111从而(1?1)(1?)?(1?)(1?)?33(k?1)?1,43k?23k?13
即当n=k+1时，（*）式成立由①②知，（*）式任意正整数n都成立. 于是，当a>1时，Sn>logabn+1,当0
11 已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),若数列：2，f(a1),f(2),?,f(an),2n+4(n∈N*)成等差数列。
（1）求数列{an}的通项an;
答案：2n+4=2+(n+2-1)d, ∴d=2, ∴f(an)=2+(n+1-1)·2=2n+2, ∴an=a2n+2 (2)若0
n??1313答案：limSn?limm??a4(1?a2n)1?a22m???a41?a2.
(3)若a=2,令bn=an2f(an),对任意n∈N*，都有bn>f-1(t),求实数t的取值范围。 答案： bn=an·f(an)=(2n+2)a=(n+1)·2
2n+3
2n+2
=(2n+2)·2
2n+2
·
bn?1n?2??4?1?bn?1?bn. bnn?1∴{bn}为递增数列 ∴bn中最小的项为b1=2·2=2
f-1(t)2t, ∴26>2t, ∴t<6
5
6
12 设实数q满足|q|<1,数列{an}满足：a1=2,a2≠0,an2an+1=-q,求an表达式，又如果limS2n<3,
n??n
求q的取值范围。
答案：解：∵a12a2=-q,a1=2,a2≠0, ∴q≠0,a2=-, ∵anan+1=-q,an+1·a=q·an
于是，a1=2,a3=2·q,a =2·q?猜想： a2n+1=-qn(n?1,2,3,?) 综合①②，猜想通项公式为
12n-n
n+2
92
?2?qk?1n2k?1时(k?N)?an?1 ?qkn?2k时(k?N)??2下证：（1）当n=1,2时猜想成立
（2）设n=2k-1时，a2k-1=2·q则n=2k+1时，由于a2k+1=q·a2k-1 ∴a2k+1=2·q即n=2k-1成立. 可推知n=2k+1也成立.
设n=2k时，a2k=-q,则n=2k+2时，由于a2k+2=q·a2k,所以，a2k+2=-q+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.
综合所述，对一切自然数n，猜想都成立. 这样所求通项公式为
?2?qk?1当n?2k?1时(k?N)?an?1 ?qkn当n?2k时(k?N)??2k
k-1
12k
12k
S2n=(a1+a3?a2n-1)+(a2+a4+?+a2n) =2(1+q+q2+?+qn-1)-(q+q2+?+qn)
12=
2(1?qn)1q(1?qn)1?9n4?q??)?()() 1?q2(1?q)1?21?qn4?q)() 1?q2由于|q|<1, ∴limqn?0,故limS2n?(n??n??依题意知
24?q?3，并注意1-q>0,|q|<1解得-1 52(1?q)13 若Sn和Tn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和，对任意正整数 an=-2(n+1),Tn-3S=4n. (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式； 答案：∵an=-2(n+1) ∴a1=4 d=-2 Sn=-n-3n ∴Tn=3Sn+4n=-3n-5n 当n=1时，T1=b1=-3-5=-8当n≥2时，bn=Tn -Tn-1=-6n-2 ∴bn=-6n-2. 2 （Ⅱ）在平面直角坐标系内，直线ln的斜率为bn.且与曲线y=x有且仅一个交点，与y轴交 2 2