[考场错解] 令f(x)≥0,x≥ln(x+m).
xx
∴m≤e-x ∴m取小于或等于e-x的整数。
[专家把脉] 上面解答对题意理解错误，原题“当m为何值时，f(x)≥0恒成立”，并不是对x的一定范围成立。因此，m≤ex-x这个结果显然是错误的。
[对症下药] （1）函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+ ∞)连续，且f’(x)=1-1,令f’(x)=0,得x?mx=1-m.
当-m
(2)证明：由（1）可知，当整数m>1时，f(1-m)=1-m<0,f(e-m)=e-m-ln(e-m+m)=e>0,
-m
又f(x)为连续函数，且当m>1时，f(e-m)与f(1-m)异号，由所给定理知，存在唯一的x1∈(e-m-m;1-m),使f(x1)=0,而当m>1时，f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m-3m>1+2m+
2m(2m?1)-3m>0. 2-m
-m
-m
-m
x
(∵m>1?2m-1>1).
类似地，当整数m>1时，f(x)=x-ln(x+m)在[1-m,e2m-m]上为连续增函数，且f(1-m)与f(e2m-m)异号，由所给定理知，存在唯一的x+∈（1-m,e2m-m）使f(x2)=0. 故当整数m>1时，方程f(x)=0在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。 5．（典型例题Ⅰ）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图，）问该容器高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
32
[考场错解] 设容器的高为x,容器的容积为V，则V=（90-2x）（48-2x）2x=4x-276x+4320x
2
∵V’=12x-552x+4320=0 得x1=10,x2=36 又∵x<10时，V’<0,10
∴当x=36时，V有极大值V（36）<0 故V没有最大值。
[专家把脉] 上面解答有两处错误：一是没有注明原函数定义域；二是验算f’(x)的符号时，计算错误，∵x<10,V’>0;10
32
=4x-276x+4320x (0 2 ∵V’=12x-552x+4320 2 由V’=12x-552x+4320=0得x1=10,x2=36 ∵x<10时,V’>0,10 3 所以，当x=10时V有最大值V（10）=1960cm 又V(0)=0,V(24)=0 所以当x=10时,V有最大值V（10）=1960。 3 所以该窗口的高为10cm，容器的容积最大，最大容积是1960cm. 专家会诊 1．证函数f(x)在（a,b）上单调，可以用函数的单调性定义，也可用导数来证明，前者较繁，后者较易，要注意若f(x)在（a、b）内个别点上满足f’(x)=0(或不存在但连续)其余点 满足f(x)>0(或f(x)<0)函数f(x)仍然在（a、b）内单调递增（或递减），即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点。 2．函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值（或极小值）可能有若干个，而且有时极小值大于它的极大值，另外，f’(x)=0是可导数f(x)在x=x0处取极值的必要而不充分条件，对于连续函数（不一定处处可导）时可以是不必要条件。 3．函数的最大值、最小值，表示函数f(x)在整个区间的情况，即是在整体区间上对函数值的比较，连续函数f(x)在闭区间[a、b]上必有一个最大值和一最小值，最多各有一个，但f(x)在（a、b）上就不一定有最大值（或最小值）。 4．实际应用问题利用导数求f(x)在（a、b）的最大值时,f’(x)=0在（a,b）的解只有一个，由题意最值确实存在，就是f’(x)=0的解是最值点。 考场思维训练 222 1 已知m∈R,设P：x1和x是方程x-ax-2=0的两个实根，不等式|m-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1，1]恒成立。 Q：函数f(x)=x3+(m+)x+6在（-∞,+ ∞）上有极值。 求使P正确且Q正确的m的取值范围。 答案：解：∵|x1-x2|=(x1?x2)2?4x1x2?a2?8(?1?a?1). ∴|x1-x2|≤3 由题意，不等式|m2-5m-3|≥3的解集。由此不等式得 m2-5m-3≤-3 ① 或 m2-5m-3≥3 ② 不等式①的解为0≤m≤5. 不等式②的解为m≤-1或m≥6. 因此，当m≤-1或0≤m≤5或m≥6时，P是正确的。 对函数f(x)=x3+mx2+(m+f’(x)=3x2+2mx+m+ 4. 34=0。此一无二次方程的判别式 3434)x+6求导 3令f’(x)=0，即3x2+2mx+m+ 2 △=4m-12(m+)=4m-12m-16． 若△=0，则f'(x)=0有两个相等的实根x0，且f‘(x)的符号如下： X F’(x) (-∞,x0) + X0 0 (x0+ ∞) + 432 因此f(x0)不是函数f(x)的极值． 若△>0，则f'(x)=0有两个不相等的实x1和x2 (x1 X F’(x) (-∞,x1 ) + X1 0 X1X2 - X 0 22(X -+ 因此，函数f'(x)在x①=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值． 综上所述，当且仅当A>0时，函数f(x)在(-∞，+∞)上有极值． 2 由A=4m-12m-16>0得 m<-1或m>4，因此，当m<-1或m>4时，Q是正确的． 综上，使P正确且Q正确时，实数m的取值范围为 (-∞，-1)∪(4，5)∪[6，+∞]． 2 已知函数f(x)= 4x2?7∈[0,1] 2?x?4x2?16x?7(2?x)2(1)求f(x)的单调减区间和值域； 答案：对函数F(x)求导，得f'(x)=令f'(x)=0解得x=或x=． 当x变化时f'(x)、f(x)的变化情况如下表． X F’(X) 12??(2x?1)(2x?7) (2?x)12720 - 72(0, ) - ↘ 121 2(,1) + ↗ 121 -3 0 -4 所以，当x∈(0，)时f(x)是减函数； 当x∈(，1)时f(x)是增函数． ∴当x∈[0，1]时f(x)的值域为[-4，—3]． 32 （2）设a≥1,函数g(x)=x-3ax-2a,x∈[0,1]若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0,1],使得g(x0)=f(x1)成立，求a的取值范围. 22 答案：对函数g(x)求导，得g'(x)=3(x-a)． 因为a≥1时，当x∈(0，1)时，g'(x)<3(1-a2)<0．因此当x∈(0，1)时，g(x)为减函数，从而求x∈[0，1]时有g(x)∈[1-2a-3a2,-2a]．任给x1∈[0，1],f(x1)∈[-4，-3]．存在x0∈[0，1]使得 ?1?2a3a2??4?3g(x0)=f(x0)，则[1-2a-3a2，2a][-4， -3]即 ???2a??3.解得1? 2???a?1123 已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx. (1) 求函数f(x)的最大值； 答案：函数的定义域为(-1，+∞),f(x)= 1-1，令f'(x)=0，解得x=0，当-1 a?b)<(b-a) 2答案： g(x)=xlnx，g'(x)=lnx+1，设F'(x)=g'(x)-2[g( F(x)=g(a)+g(x)-2g( a?x2)则 a?x)]′=lnx-ln′，当0 a?b)． 2 设G(x)=F(x)-(x-a)ln2，则G'(x)=lnx-lnx-ln2．=lnx-ln(a+x)． 当x>0，G(x)<0，因此C(x)在(0，+∞)上为减函数． 因为G(a)=0，b>a，所以G(b)<0． 即g(a)+g(b)-2g( a?x)<(b-a)ln2．] 23 2 4 设函数f(x)=2x-3(a+1)x+6ax+8,其中a∈R, (1)若f(x)在x=3处取得极值，求实数a的值。 答案： f'(x)=6x2—6(a+1)x+60=6(x-aO(x-1)因f(x)在x=3取得极值，所以f'(3)=6(3-a)(3-1)=0，解得a=3．经检验当a=3时x=3为f)(x)的极值点． （2）若f(x)在（-∞，0）上为增函数，求a的取值范围。 答案：令f'(x)=6(x-a)(x-1)=0得x1=a,x2=1．当a<1时，若x∈(-∞，-a)∪(1，+∞)，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，a)和(1，+∞)上为增函数． 故当0≤o<1时f(x)在(-∞，0)上为增函数． 5 某企业有一条价值a万元的流水生产线，要提高该流水生产线的生产能力，提高产品的增加值，就要对充水生产线进行技术改造，假设增加值y万元与技改把风入x万元之间的关系满足①y与（a-x）x2成正比例； ②当x= axa3时，y=;③0≤≤t,其中t为常数且t∈[0,2]. 22(a?x)2(1)设y=f(x),求出f(x)的表达式，并求其定义域； 答案： f(x)=8a2x2—12x3=(0≤x≤ 2ta1，≤t≤2)． 1?2t2（2）求出增加值y的最大值，并求出此时的技改投入x值。 答案： f'(x)=16ax-36x，令f(x)=0，得x=a，当≤t<1时f'(x)=36(x-a)<0．(∵ 2ta2>a) 1?2t32 2 23122 492 ∴f(x)在[0， 4916ta32ta2ta2ta]上是减数， ∴当x=t时，ymas=f()=,当1≤t≤2时1?2t1?2t1?2t(1?2t)3f'(x)=-36(x2-a2)．∵ymax=f(a) 2316=a3. 27222ta220； 331?2t33探究开放题预测 预测角度 1 利用导数的几何意义 2 1．已知抛物线y=-x+2,过其上一点P引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成的面积最小，求l的方程。 [解题思路] 设法用某个变量（如P点横坐标）去表示三角形的面积S，在利用函数关系式求最值就可以解决问题。 2 [解答] 设P点坐标为（x0,-x0,+2）. ∵y’=-2x，∴过P点的切线方程为： 2 y-(-x0+2)=-2x0(x-x0) ① 222 令x=0得y=x0-x0+2=x0+2>0 22?x0x2?2?0 2x02x0y=0得x=x0+ 2?221x0∵S=(x0+2) (x0>0) 22x0421x0?4x0?4= 4x0S’=(3x0+4-又∵0 142 42x0) 令S’=0得x0= 6 366时，S’<0; 2．由原点O向三次曲线y=x3-3ax2（a≠0）引切线，切于点P1（x1,y1）(O,P1两点不重合)，再由P1引此曲线的切线，切于点P2（x2,y2） (P1，P2不重合)。如此继续下去，得到点列{Pn(xn,yn)} (1) 求x1; (2) 求xn与xn+1满足的关系式； (3) 若a>0，试判断xn与a的大小关系并说明理由 [解题思路] 利用导数的几何意义写出切线方程，再通过切线方程找到xn、xn+1的递推关系，通过递推关系求出{xn}的通项公式，最后按n为奇数和偶数两种情况的讨论可得xn与a的大小关系。 322 [解答] （1）由y=x-3ax,得y’=3x-6ax 2 过曲线上点P1（x1,y1）的切线L1的斜率为3x1-6ax1. 322 ∴L1的方程为y-(x1-3ax1)=(3x1-6ax1)(x-x1). 322 又∵L1过原点，故有：-（x1-3ax1）=-x1(3x1-6ax1) ∴2x1=3ax1, ∴x1=a (2)过曲线上的点Pn+1(xn+1,yn+1)的切线方程是y-(xn+1-3axn+1)=(3xn+1-6axn+1)(x-xn+1) ∵Ln+1过曲线上点Pn(xn,yn). 32322 故xn-3axn-(xn+1,-3axn+1)=(3xn+1-6axn+1)(xn-xn+1). 33222 即xn-xn+1-3a(xn-xn+1)=(3xn+1-6axn+1)(xn-xn+1). ∵xn-xn+1≠0, 222 ∴xn+xnxn+1+xn+1-3a(xn+xn+1)=3xn+1-6axn+1. 22 ∴xn+xnxn+1-2xn+1-3a(xn+xn+1)=0 ∴(xn-xn+1)(xn+2xn+1-3a)=0. ∴xn+2xn+1=3a. (3)由（2）得xn+1=-xn?a ∴xn+1-a=-(xn-a) 1212323 2 2 3 2 32