11?i1?i11=???i. 1?i(1?i)(1?i)222[对症下药] 选B ∵z=∴z=
111的共轭复数是-i。 1?i223．（典型例题）已知复数z1=3+4i，z2=t+i,,且z1?z2是实数，则实数t= （ ） A． B． C．- D．-
[考场错解] 选C ∵z12z2∈R?z1z2?z1z2=0。即（3+4i）(t-i)+(3-4i)(t+i)=0 ?t=-. [专家把脉] ∵z∈R?z=z.z为纯虚数?z+z=0(z≠0)因此上面解答应用的是Z为纯虚数的充根条件，因而求出的t是z1z2为纯虚数的结果，显然是错误的。 [对诊下药] 解法1：z1z2=（3+4i）(t-i)= (3-4i)(t+i) ∵z1z2为实数，∴4t-3=0，t=. 解法2：∵z1z2 ∈R，∴z1z2= z1z2 ∴（3+4i）(t-i)=(3-4i)(t+i)
?（3t+4）+(4t-3)i=(3t+4)+(3-4t)i
?4t-3=3-4t?t=
3. 4z2
均为实数（i为虚数单位），且复数（2+ai）2?i3443344343344．（典型例题）已知z是复数，z+2i,
在复平面上对应的点在第一象限。求实数a的取值范围。 [考场错解] 设z=x+yi(x,y∈R),∵z+2i=x+(y+2)i 由题意得 y=-2. ∵
zx?2i111??(x+2)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i. 2?i2?i555由题意得x=4,∴z=4-2i.
222
∵(z+ai)=[4+(a-2)i]=(12+4a-a)+8(a-2)i
2
∵(z+ai)在复平面上的点在第一象限， ∴???12?4a?a2?0,,解得2≤a≤6.
?8(a?2)?0.?∴实数a的取值范围是[2，6]。 [专家把脉] 复数z=a+bi(a、b∈R)对应点（a、b）在第一象限的充要条件是a>0,b>0. ∵a=0对应点在虚轴上；b=0对应点在实轴上，不属于任何象限，因此，a≠2，b≠6。 [对症下药] 设z=x+yi(x、y∈R). ∵z+2i=x+(y+2)i 由题意得，y=-2. 又∵
1zz(2?i)1??(2x+2)+(x-4)i.
52?i(2?i)(2?i)5
由题意得：x=4,z=4-2i.
22
∵(z+ai)=(12+4a-a)+8(a-2)i
??12?4a?a2?0根据条件，可知? 解得2
?8(a?2)?0?∴实数a的取值范围是（2，6）。
专家会诊
1．深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和得数
的几何表示——复数z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点（a、b）及向量OP是一一对应的，在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应，复数的模表示复数对应的点到原点的距离。
2．要善于掌握化虚为实的转化方法，即设复数z=a+bi(a,b∈R)，但有时给许多问题的求
解带来不必要的运算困难，而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法，则能事半功倍，同时要注意复数几何意义的应用。 考场思维训练 1 若复数
a?3i(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为 （ ） 1?2iA．-2 B．4 C．-6 D．6 答案： C 解
析：∵
?a?b?0?a?3i(a?3i)(1?2i)a?b?(3?2a)ia?b3?2a?5????i.依有题意有?解得a??6.
3?2a1?2i(1?2i)(1?2i)555??0??52 复数z=
?1?i-1，在复平面内，z所对应的点在 （ ） 1?iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案： z=
B 解析：
2(1?i)?1?i?1?i?1?i2??1?i,z所对应的点在第二象限内选B. ?1?????1?11?i1?i1?i1?z?i，则|1+z|= （ ） 1?z3 设复数z满足
A．0 B．1 C．2 D．2
1?z1?i(1?i)2答案： C 解析：由?i,?z????i.
1?z1?i2∴|1+z|=|1-i|=12?12?2.选C.
4 已知复数z1满足（1+i）z1=-1+5i，a2=a-2-i.其中i为虚数单位，a∈R。若|z1-z2|<|z1|，求a的取值范围。 答案：解：由题意得z1?1?5i?2?3i,于是|z1?z2|?|4?a?2i|?(4?a)2?4,|z1|?13. 1?i由(4?a)2?4?13,得a2?8a?7?0.
∴1
命题角度 2
复数的代数形式及运算 1．（典型例题Ⅰ）复数
2?i31?2i= （ ）
A．i B．-i C．-22-i D．-22+i [考场错解] 选C ∵
2?i31?2i?2?i1?2i?(2?i)(1?2i)22?i???22?i.
1?2?12
[专家把脉] 上面解答错误认为i=1.导致结果错误。 [对症下药] A 解法1： 解法2：
2?i31?2i?2?i?i2?2i2?i31?2i??2?i1?2i??(2?i)(1?2i)(1?2i)(1?2i)?2?2i?i?2?i. 故选A。
32?i(?i)(i?2)1?i. i2．（典型例题）复数
(?1?3i)51?3i的值是 （ ）
A．-16 B．16 C．- D．8-83i [考场错解] 选D。
513332[(??i)]55(?1?3i)2?1325(1?3i)22 ∵????8?83i
41?3i1?3i1?3i5514选D。 [专家把脉]
51133mnmn53
上面解答似乎很有“道理”，但（-+i）=[（-+i）]3是错误的∵z=(z)在数范
2222围内，必须是m、n均正整数时才成立，这一错误是机械地照搬实数集中分数指数幂运算法
则，所以对于数学中的有关定理、定义、法则、性质等，在应用时，必须注意成立的条件，否则会产生错误。
1?2[对症下药] 选A。原式=
12?(?225(?35i)(2w)525w5w132????16(令w???i). ?2w22?2w?w3i)23 满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是 （ ） A．一条直线 B．两条直线 C．圆 D．椭圆
[考场错解] 选A。 由|z-i|=|3+4i|知z在复平面上对应的图形是点（0，1）和（3，4）的垂直平分线。
[专家把脉] 上面解答把条件看成|z-i|=|z-(3+4i)|.这类型题应用复数的代数形式z=x+yi(x,y∈R)代入计算才能确定答案。
[对症下药] 选C。设z=x+yi(x,y∈R)代入|z-i|=|3+4i|中计算得x2?(y?1)2?5,即
x+(y-1)=25.
∴z的轨迹是表示以（0，1）为圆心，以5为半径的圆，选C。 4．（05，上海卷）证明：在复数范围内，方程|z|+（1-i）z-(1+i)z=位)无解。
[考场错解] ∵|z|=|z|，∴原方程化简为：两边取模的：|z|+（1-i-1-i）|z|=|1-3i|=10. ∴|z|-2i|z|=10?|z|-10=2i|z|。 ①
∵|z|∈R。 |z|-10∈R 而2i|z|为纯虚数或0。
当|z|=0。①显然不成立；
当2i|z|为纯虚数，①也不成立。 综合得：原方程无解。
[专家把脉] 以上解答错在两边取模的计算，因为|z1+z2|=|z1|+|z2|，只有当z1=λz2（λ∈R+）时成立，而从题设条件中是无法得到这一条件的。
[对症下药] 原方程化简为|z|2+（1-i）z-（1+i）z=1-3i. 设z=x+yi(x,y∈R),代入上述方程得： 22
x+y-2xi-2yi=1-3i ∴???x2?y2?1??2x?2y?3(1) (2)2
2
2
2
2
22
5?5i
(i为虚数单2?i
将（2）代入（1），整理得8x2-12x+5=0 (*) ∵△=-16<0,∴方程（*）无实数解。 ∴原方程在复数范围内无解。 专家会诊
1．复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行
2．求解计算时，要充分利用i、w的性质，可适当变形，创造条件，从而转化i、w转化的计算问题。
3．在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和运用。 考场思维训练 1
(1?i)(1?2i)? （ ）
1?iA．-2-i B．-2+i C．2-i D．2+i 答案： C 解析：
2
3
4
(1?i)(1?2i)(1?i)2(1?2i)?2i(1?2i)???2?i.
1?i(1?i)(1?i)22 z=i+i+i+i的值是 （ ）
A．-1 B．0 C．1 D．i 答案： B解析：z=i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0. 3 (1?3i2)?_________ 1?i1?3i21?23i?(3)2答案：?3?i解析:()??3?i.
1?i2i
4 已知复数z=1+i，求实数a、b,使az+2bZ=(a+2z). 答案：解：∵z=1+i,代入az+2bz?(a?2z)2中
得a(1+i)+2b(1-i)=(a+2+2i)2即a+2b-(a+2)2+4+(-3a-2b-8)i=0.
??a?2b?(a?2)2?4?0,?????3a?2b??8 ?a??2?a??4解得?或??b??1.?b?22
5 设i是虚数单位，复数z和w满足zw+2iz-2iw+1=0 (1) 若z和w又满足w-z=2i，求z和w值。 答案：?w?z?2i,?z?w?2i?ww?4iw?2iw?5?0.设w?x?yi(x,y?R),则上式可变为(x?yi)(x?yi)?4i(x?yi)?2i(x?yi)?5?0?x?y?6y?5?2xi?022代入zw?2iz?2iw?1?0中得(w?2i)(w?2i)?2iw?1?0
??x2?y2?6y?5?0?????2x?0?x?0?x?0,??或? y??1y??5???w??i,z??i或w??5i,z?3i. （2）求证：如果|z|=3，那么|w-4i|的值是一个常数，并求这个常数。 答案：由wz+2iz-2iw+1=0 有z(w+2i)=2iw-1 ∴|z||w+2i|=|2iw-1| 设w=x+yi,则有
|w?2i|?|x?(y?2)i|?x2(y?2)2?x2?y2?4y?4 |2iw?1|?|?2y?1?2xi|?(2y?1)2?4x2?4x2?4y2?4y?1
又|z|=3,故①式可变为
3(x2+y2+4y+4)=4x2+4y2+4y+1, ∴x2+y2-8y=11.
?|w?4i|?|x?(y?4)i|?x2?(y?4)4?x2?y2?8y?16?16?11?33?|w?4i|的值是常数,且等于33.
探究开放题预测 预测角度 1
复数概念的应用 下列命题中：
（1）两个复数不能比较大小；
（2）若z=a+bi，则当且仅当a=0,b≠0时，z为纯虚数；