第一章 线性差分方程
这一章我们将要研究线性差分方程解的基本性质及常系数线性差分方程的各种解法．往下我们将看出，要研究线性差分方程解的各种性质，可归结为研究一个序列的性质．为此，我们先简单地介绍实数系列的一些基本性质．在这章中，我们仍用N表示所有非整数的集合 N??0,1,2,3?,k,??
1.1 序列与线性差分方程
定义1.1 序列?y(k)?(k?0,1,2,?)称为是有界的，如果可以找到一个正数M，使得不等式 y(k)?M对所有的k?N成立．否则就称序列?y(k)?是无界的．
定义1.2 一个序列?y(k)?被称为是一个零序列，如果相应于任何无论怎样小的正数?，都可找到一个正整数N1(?)（依赖于?），使得对于所有K?N1(?)，有y(k)??．
实际上一个零序列，就是收敛到零的一个序列．
定义1.3 如果?y(k)?是一个给定的序列，且存在一个数L，使得序列
?y(k)?L?(k?0,1,2,?)是一个零序列，则这个给定的序列?y(k)?被称为有极限L（或被
称为收敛于L）．这个序列的元素y(k)被称为收敛于极限L．一个序列?y(k)?有极限L，可以表示为lim(k)?L 或更简单地表示为：当k??，y(k)?L．
k??一个序列?y(k)?，如果它有极限，则称这个序列是收敛的；否则就称此序列是发散的． 定义1.4 序列?y(k)?被称为是单调递增的，如果对于所有的k?N，有
y(k)?y(k?1)；类似地序列?y(k)?被称为是单调递减的，如果对于所有的k?N，有y(k?1)?y(k)．
定义1.5 序列?y(k)?被称为是衰减振荡的（围绕值L），首先序列?y(k)?收剑于L；并且这个序列的每个小于L的元素之后，总有大于L的元素（不必须是下一个），反之亦然．
定义1.6 序列?y(k)?被称为发散至??，如果相应于每个无论怎样大的正数p，总可以找到一个正数N2(p)（依赖于p），使得对于所有的k?N2，都有y(k)?p．
对于序列?y(k)?发散至??的情形也有类似的定义：即对于每个绝对值无论怎样大的负数p?0，总可以找到一个正整数N3(p)，使得对于所有的k?N3(p)，有y(k)?p 则称序列?y(k)?发散于至??．
定义1.7 如果序列?y(k)?是发散的，但不发散到??，也不发散到??： (i) 如果序列?y(k)?有界，则称序列?y(k)?是有限的振荡； (ii) 如果序列?y(k)?是无界的，则称序列?y(k)?是无限地振荡．
总结上面的定义，序列?y(k)?或者是收剑的；或者是发散的．每一种都有四种情形，如表1.1．
表.1
收敛序列 c1：常量； c2：有界且单调递增； c3：有界且单调递减； c4：衰减振荡． 发散序列 D1：发散至??； D2：发散到至??； D3：有限地振荡； D4：无限地振荡． 现举例如下：c1：常量序列?2???2,2,2,??（极限是2）; c2：有界且单调递增序?3k_1?282680,,?（极限是1）; c3：有界且单调递列?y(k)???k?，k?N，即 0,,,392781?3?减序列 ?y(k)???2???1111?k?N6,5,5,5,?（极限是5）; 即 ?k28162?
?1000?1??c4 ：衰减振荡序列 ?y(k)??1?(?)k?与?y(k)??? k?2???(?5)?2,12,11713,,1,? limy(k)?1 与 1000,?200,40,?8,1,? limy(k)?0．
k???k???48165D1 ：发散至??序列 ?y(k)???k?与?y(k)??3?? 即
k?1,2,3,?,?与?1,3,9,27,81,??皆发散至??；
D2：发散至??序列?y(k)??1?2?k? k?N，即?0,?1,?3,?7,??发散至??；
D3 ：有限地振荡序列
?y(k)????1k?
k??k?N，与 ?y(k)???5?(?1)k? k?N．
1?k????122314?,??，此序列5?4即 ?1,?1,1,?1,1,?1,??不收敛，在y?0轴上下振荡；与?5,4在直线y?5上下振荡，振幅不超过1．
,5,4,5在整个这章中，我们讨论的函数都以N作为它的定义域．
定义1.8 令N表示负整数的集合．考虑其定义域是N的所有实值函数的集合，连同通常的函数加法及一个函数与一个实数乘积的定义，组成了一个向量空间，我们用V?表示．
容易证明V?是一个实向量空间．实际上V?是所有实序列的集合（参看§1.2 例2）． 例1 考虑定义在N上的函数 f(k)?2k k?N．
显然f(k)?V?，f(k)的值域元素是可以用f(0)?20?1，f(1)?21?2，
f(2)?22?4，f(3)?2?8，等等来表示．或用下列f(k)?2,2,2,?,2,?来表
3?012k?示．这个表示式对于指数函数的一些性质，显然是有用的．在这种情况下我们看出，f(k)是定义在N上的递增函数列，且此序列是无界的．作为一个序列，它是不收敛的，故其极
限不存在．
例2 研究定义在N上的函数g(k)，它的定义如下：g(0)?0,g(1)?1 及 g(k?2)?g(k)?g(k?1) k?N
在这种情况下 g(2)?g(0?2)?g(0?1)?g(0)?1，g(3)?g(2)?g(1)?2，等等，用序列记号我们有 ?g(k)???0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,??在这个序列中，每一个新的项都是其前两项相加而的．g(k)的值或数是黄金分割数．显然g?V?，且g(k)是一个递增的无界函数．
例3 考虑定义在N上的函数
h(k)?[2?(?1)k1?k] k?N
327374在这个序列中前几项为 h(0)?3,h(1)?,h(2)?,h(3)?,?
故这个序列既不递增，又不递减，且容易看出 limh(k)?2．
k??故此序列是衰减振荡的．
如果f?V?，则Ef(k)?f(k?1)及?f(k)?f(k?1)?f(k)均为V?的元． 事实上，容易证明，对于每个正整数n，Enf及?nf均为V?的元．因为En及?n是V?上的线性算子．我们引进下面的定义
定义1.9 用??En?p1(k)En?1???pn(k)I 定义了一个n阶算子?:?????这里pi(k)???n(i?1,2,?,n)．且对于每个f???
n?1?[f(k)]?Ef(k)?pi(k)Ef(k)???pn(k)f(k) 容易证明?是??上的一个线性
算子．
例4 三阶算子 ??E3?k(2)E2?7E?kI 当它作用于函数 f(k)?5k时，有
?[5]?Ef(k)?kk3(2)Ef(k)?7Ef(k)?kIf(k)
2?f(k?3)?k(k?1)f(k?2)?7f(k?1)?kf(k) ?5k?3?k(k?1)52k?2?7?5k?1?k5
k?5[125?25(k?5[160?kk(1)k?k)?35?k]
(2)?25k]
我们指出：f(k)及?[f(k)]都是属于??的元．
现在我们借助于线性算子?来定义线性差分方程的概念．
定义1.10 令p1(k),p2(k),?,pn(k),以及f(k)均是??的元．如果对于所有k?N，
pn(k)?0，则 [En?p1(k)En?1???pn?1(k)E?pn(k)I]y?f(k)是一个n阶线性差
分方程．如果f(k)??，则这个差分方程被称为是齐次的；否则称它为大量齐次的．
nn?1???pn?1(k)E?pn(k)I, 则这个差分方程可以更紧凑如果 ??E?p1(k)E地写成 ?(y)?f(k)
定义1.10规定了n阶差分方程的一个标准型．许多差分方程可以用差分方法化到这种标准
型．
例5 函数方程
z(j)?cos[(j?2)?]z(j?1)?(j?4)(2)z(j?2) （1.1）
j?1,2,3,? 可以用以下步骤化为标准型；
首先令j?k?1，k?N，则z(k?1)?cos[(k?3)?]z(k)?(k?5)(2)z(k?1) 其次再令 y(k)?z(k?1)，对k?N．所以有
(k?2)?cos[(k?3)?]y(k?1)?(k?5)(2)y(k)
或者写成 E2y(k)?cos(k?3)?Ey(k)?(k?5)(2)Iy(k)?0
即 [E2?cos(k?3)?E?(k?5)(2)I]y(k)?0 （1.2） 这就是定义2.3中的标准型．
1.2 存在性与唯一性
定义1.1 n阶线性差分方程初值问题是由一个线性差分方程 ?(y)?f(k)（这里?是一个n阶线性算子）连同n个初始条件 y(0)?a0;（这里a0,a1,?,an?1是实数）的集合所组成．
初值问题的一个解是这样的一个函数，这个函数本身是差分方程的解，且满足初始条件． 因为 Eiy(0)?y(i?0)?y(i)，所以n个初值也可以表示为
y(0)?a0;y(1)?a1,?,y(n?1)?an?1．
Ey(0)?a1,?,En?1y(0)?an?1
定理1.1 一个n阶线性差分方程的初值问题有一个唯一的解． 证 n阶差分方程
Ey(k)?p1(k)Enn?1y(k)???Pn(k)y(k)?f(k) （2.1）
nn?1可以改写成下面形式 Ey(k)?f(k)??p1(k)Ey(k)???pn(k)y(k)?f(k)? （2.2）
特别当k?0时，方程（2.2）为 y(n)?f(0)??p1(0)(n?1)???pn(0)y(0)? 因此y(n)由初始值唯一地确定．
一般地，只要知道n个数 y(m?1),y(m?2),?,y(m?n) 就可唯一地确定
y(m?n?1)．为了证明这一点，在（2.2）中取k?m?1，有
Ey(m?1)?f(m?1)?p1(m?1)En?n?1y(m?1)???pn(m?1)y(m?1)
?即 y(m?n?1)?f(m?1)??p1(m?1)y(m?n)???pn(m?1)y(m?n)?