定义3.4 如果y1(k),y2(k),?,yn(k)是齐次方程
?(y)[En?p1(k)En?1???pn(k)I]y?0 （3.2）
的n个解，c(k)是这些函数的Casorati矩阵，且如果对于某个m?N，det[c(m)]?0，则?y1(k)?Ey1(k)这n个解在N上是线性相关的 c(k)?????n?1y1(k)?Ey2(k)Ey2(k)?En?1????y2(k)??Eyn(k)? ???n?1Eyn(k)?yn(k)证 如果对某个m?N，det[c(m)]?0这就意味着c(m)中的列向量（或行向量）是线性相关的，因此存在一个非零向量 L?(c1,c2,?,cn)T ?y1(m)?Ey1(m)使得 c(m)L?????n?1y1(m)?Ey2(m)Ey2(m)?En?1????y2(m)??c1????Eyn(m)c???2??? ????????n?1Eyn(m)??cn?yn(m)?表示零向量 c(m)L?? （3.8）
令 z(k)?c1y1(k)?c2y2(k)???cnyn(k) 由于yi(k)(i?1,2,?,n)是齐次方程（3.2）的解，所以它们的线性组合z(k)仍旧是（3.2）
n?1的一个解．再则由（3.8）直接推出 z(m)?Ez(m)???Ez(m)?0
因此利用定理3.3知z(k)是一个零函数．即 z(k)?0 k?N． 故导出 c1y1(k)?c2y2(k)???cnyn(k)?? k?N．
因为c1,c2,?cn是不全为零的n个数，所以解y1(k),y2(k),?,yn(k)是线性相关的．
系3.2 令y1(k),y2(k),?,yn(k)是齐次线性差分方程（3.2）的n个解，则 （i）这n个解是线性相关的充分必要条件是：在N上det[c(k)]?0(k?N)；
(ii) 这n个解是线性无关的充分必要条件是：对所有的(k?N)，det[c(k)]?0． 从这个系的结论知，引进函数的Casorati矩阵之目．当这组函数是齐次线性差分方程的解时，则根据它们的Casorati矩阵行列式在N上是否为0，即可判断这组解函数的线性相关性和线
性无关性．而对任意的n个函数（不受方程约束）而言，这个系的结论就不一定成立．
H是表示齐次程（3.2）的所有解构成之集合．前面已指出H是向量空间V?的一个子
空间．下面就来确定H的维数．
定义3.5 n 阶齐次差分方程（3.2）的任一解可以表示为方程（3.2）的n个线性无关解的一个线性组合．
证 令yi(k)(i?1,2,?,n)是方程（3.2）满足如下的初始条件：
?y1(0)?1,yi(0)?0,y1(2)???y1(n?1)?0??y2(0)?1,y2(1)?0,y2(2)???y2(n?1)?0 （3.9） ???????y(0)?y(1)???y(n?2)?0,y(n?1)?1nnn?n的唯一解．初始条件（3.9）可简单地写成 Ei?1yi(0)?1 i?1,其他初值均为零．显然，当k?0时，这n个解的Casorati矩阵是单位矩阵
?y1(0)?y1(1)c(0)??????y1(n?1)y2(0)y2(1)?y2(n?1)????yn(0)??1??0yn(1)?????????yn(n?1)??00102,?,n
?????00??0? ???1?∴ det[c(k)]?1?0 这就表示了yi(k)(i?1,2,?,n)(k?N)是线性无关的．所以方程（3.2）就n个线性
无关的解．令y(k)是（3.2）的一个解，并考虑
z(k)?y(0)y1(k)?y(1)y2(k)???y(n?1)yn(k)
因为z(k)只是上面所考考的n个线性无关解一个线性组合．所以z(k)也是（3.2）的一个解．而且有 z(0)?y(0)y1(0)?y(1)y2(0)???y(n?1)yn(0)?y(0)
z(1)?y(0)y1(1)?y(1)y2(1)???y(n?1)yn(1)?y(1) ??z(n?1)?y(0)y1(n?1)?y(1)y2(n?1)??
?y(n?1)yn(n?1)?y(n?1)
故对于m?0,1,2,?,n?1时 Ez(0)?z(m)?y(m)
由唯一性定理知，在(k?N)上y(k)?z(k)，因此方程（3.2）的任一个解都可以表示为方程（3.2）的n个线性无的解的一个线性组合．
定义3.3 n阶线性齐次差分方程
?(y)?[Enm?p1(k)En?1???pn?1(k)I]y?0 （3.2）
的任意n个线性无关解的一个集合，都称为（3.2）的一个解基．
例3 考虑议程 (E2?3E?2I)y(k)?0 （3.10）
即可写成 y(k?2)?3y(k?1)?2y(k)?0 （3.10）
容易验证y1(k)?1，及y2(k)?2k是此方程的两个线性无关的解．所以这两个函数
ky1(k)?1与y2(k)?2构成了方程（3.10）的一个解基，并且
y(k)?c1?7?c2?2 （3.11）
是二阶线性齐次差分方程（3.10）的含有两个参数c1、c2的解族，实质上就是和在常微分方程教程中所说的通解意义一样，因此我们今天不防称由（3.11）的表示的解为方程（3.10）的通解．
与线性算子 ??En?p1(k)En?1???pn?1(k)E?pn(k)I
有关的是齐次方程 ??[y(k)]?? （3.2） 以及形如 ??[y(k)]?f(k) （3.2） 的非齐次方程，这里f(k)??．
方程（3.2）与（3.12）之间的关系密切，它们的解之间有下面的结论．
定义3.6 如果u(k)及v(k)是非齐次方程（3.12）的解，则y(k)?u(k)?v(k)是（3.12）的两个解．再根据算子?的线性性 ?(u(k))??(u(k))?f(k)?f(k)?0 即 ?(u(k)??(u(k))?0，则 y(k)?u(k)?u(k)是（3.2）的一个解．
定义3.7 如果z(k)是非齐次方程（3.12）的一个解，且y1(k),y2(k),?,yn(k)是齐次方程（3.2）的一个解基，则非齐次方程（3.12）的每一个解可以表示成
y(k)?c1y1(k)?c2y2(k)???cnyn(k)?z(k) 这里c1,c2?,cn是常量．
k证 由假定y(k)与z(k)都是非齐次方程（3.12）的两个解，根据定理3.6知．它们的差y(k)?z(k)是齐次方程（3.2）的一个解，再根据定理3.5知，y(k)?z(k)可以表示成（3.2）的一个解基(y1(k),y2(k),?,yn(k))的一个线性组合．即
ny(k)?z(k)?c1y1(k)?c2y2(k)???cnyn(k)，则y(k)??ci?1i定理证毕． yi(k)?z(k)．
例4 考虑非齐次方程 (E2?3E?2I)y(k)?3k （3.11） 容易验证z(k)?(E212?3是方程（3.11）的一个解．事实上，将其代入（3.11）之左端得
12?3k?2k?3E?2I)z(k)?z(k?2)?3z(k?1)?2z(k)??3[k?3?12?3k?1?2?12?3
k92?92?1]?3k?(3.11)的右端
由例3 知y1(k)?7与y2(k)?2k是（3.11）的齐次部分，即方程（3.10）的一组解基，由定3.7和（3.11）的任一解可以表示为 y(k)?c1?7?c2?2k?12?3再考虑由（3.11）与
k?y(k?2)?3y(k?1)?2y(k)?3k初始值y(0)?3，y(1)?1构成的初值问题：?
?y(0)?3,y(1)?11?y(0)?c?7?c??312??2其解答如下所示：由初始条件知 ? ?
?y(1)?c?7?2c?3?112?2?11?c??114 ??c??3?2k故此初值问题的唯一解 y(k)?112?3?2?k12?3
上面例3与例4告诉了我们具有常数的二阶线性齐次差分方程（3.10）和非次差分方程（3.11）存在形如y1(k)?7，y2(k)?2k的解基和特解z(k)?12?3．这些解函数是根据什么规则
k和原理，从方程中把它们找出来呢？这就是我们在下一节将要回答的问题．
1.4 常系数线性差分方程
nn?1???an?1t?an是一个n次的实系数多项定义4.1 设 p(t)?a0t?a1t式．an?0，与p(t)有关的是一个n阶算子多项式P(E)，其定义如下：
P(E)?a0En?a1En?1??an?1E?a0I
这样一来 P(E)y?? 是n阶齐次差分方程的简略表示
我们指出，在定义4.1中假定an?0,它就相当于p(0)?0这就对应于n阶算子
??En?p1(k)En?1??pn?1(k)E?pn(k)I 中，假定对所有k?N，p(k)?0时的同
kk?1样意义，其次应当注意到Eb?b?b(b)这类似于微分算子D?kddx Debx?bebx
现在我们容易证明下面的结论：
定义4.1 如果P(E)是一个n阶算子多项式，则 P(E)[bk]?P(b)[bk] 证 P(E)[bk]?(a0En?a1En?1???an?1E?an)bk
?a0E[b]?a1E?a0b?a1bnn?1nkn?1[b]???an?1E[b]?anb
kkkk???an?1b?an)b?P(b)[b]
k系4.1 如果P(E)是一个算子多项式，且p(b)?0，则y(k)?bk是
P(E)y?(a0En?a1En?1???an?1E?anI)y?? （4.1）
的一个解．
证 P(E)(bk)?(a0En?a1En?1???an?1E?anI)bk
?(a0b?a1bnn?1???an?1b?an)b?P(b)(b)??（因p(b)?0）
kk故y(k)?bk是齐次方程（4.1）的一个解．当然，如果我们把限制p(0)?0取掉，这时定理4.1与系4.1的结论仍然成立．因为零函数总是线性齐次差分方程（4.1）的一个解．
Ⅰ. 考虑一阶齐次差分方程 a0Ey(k)?a1y(k)?0 （4.2） 这时P(E)?aE?a1I．我们考虑p(t)?a0t?a1．如果a0a1?0，则t??a1a0ka1a0是多项式
即p(?p(t)的一个零点．)?0．故y(k)?(?a1a0)是一阶齐次常系数线性差分方程的一
k个解．因此 y(k)?(?a1a0)y(0) 表示了方程（5.2）的通解．
Ⅱ. 考虑二阶常系数线性齐次差分方程
a0Ey(k)?a1E(k)?a2E(k)?0 （4.3）
2首先我们写出多项式 p2(t)?a0t?a1t?a2
22根据系4.1，我们应当算出此多项式的零点．即要求解二次代数方程 a0t?a1t?a2?0
的根，亦即解辅助方程 t?c1*t?c2*?0 （4.4） 的根．其中c1*?a1a02，c2*?a2a1为常量，且c2*?0．