设t1，t2为（4.4）的两个根，根据根的不同情况，我们来把差分方程（4.3）的解表示
k出来．（i）如果t1与t2均为实数，且t1?t2，这时 y1(k)?t1k，y2(k)?t2
均为方程（4.3）的解，而它们构成的Casorati矩阵
?t1kc(k)??k?Et?1kkt2??t1???k?k?1Et2???t1kt2?? k?1?t2?k因此，对所有k?N det[c(k)]?t1k?t2(t2?t1)?0 即这两个解是线性无关的．故方
k程（4.3）的所有解可表为 y(k)?c1t1k?c2t2 （c1，c2为任意常数）．
(ii)如果t1?t2，即方程（4.4）有重根，在这种情况下y1(k)?t1k是方程（4.3）一个解．而方程另一个解是由y2(k)?k?t1k来定．这是因
p2(E)y2(k)?a0y2(k?2)?a1y2(k?1)?a2y2(k)?a0(k?2)t1k2k?2
?a1(k?1)t1k?1?a2kt1
kk?1k?kt1[a0t1?a1t1?a2]?t1k?1[2a0t1?a1]?kt1p2(t1)?t1?(t1)?0 p22?(t1)?0．注意 由于t?t1是方程p2(t)?a0t?a1t?a2?0的重根，故有p2(t1)?0,p2
所以y1(k)?t1k，y2(k)?kt1k构成了方程（4.3）的基本解组，从而y(k)?(c1?c2k)t1k 表示了方程（4.3）的通解．
(iii)如果t1及t2为一对共轭复根，即 t1?r1?ir2，t2?r1?ir2 r1与r2皆为实数，且r2?0．为了获得方程（4.3）的实值函数解，我们将复数t1?r1?ir2用极坐标形式来表
s?isin?)?re示．即 t1?r1?ir2?r(co?i0 其中 r?r1?r2，tan??k222r2r1
采用这种形式后，容易证明 y1(k)?rcosk?，y2(k)?rsink?是方程（4.3）的两个线性无关的解．事实上 p2(E)y1(k)?a0y2(k?2)?a1y1(k?1)?a2y2(k)
?ark0k?2kcos(k?2)??a1r2k?1cos(k?1)??a2rcosk?
k?r[arcos(k?2)??a1rcos(k?1)??a2cosk?]
p2(E)y2(k)?a0y2(k?2)?a1y2(k?1)?a2y2(k)
0?ark0k?2sin(k?2)??a1r2k?1ksin(k?1)??a2rsink?
?r[a0rsin(k?2)??a1rsin(k?1)??a2sink?]；
因此 p2(E)(y1(k)?iy2(k))
?r{a0r[cos(k?2)??isin(k?2)?]
k2?a1r[cos(k?1)??isin(k?1)?]?a2[cosk??isink?]}
?r{a0rek2k2i(k?2)??a1rei(k?1)??a2e2ik?}?rei?kik?[a0(rei?)?a1(re22i?)?a2]
?t1[a0t1?(rei?)?a2]?t1[a0t1?a1(rek)?a2]?t1[a0t1?a1t1?a2]?0
k同理 p2(E)(y1(k)?iy2(k))
?r{a0r[cos(k?2)??isin(k?2?)]
k2?a1r[cos(k?1)??isin(k?1)?]?a2[cosk??isink?]}
?r{a0rek2?i(k?2)??a1re?i(k?1)??a2e?ik?}?t2[a0t2?a1t2?a2]?0
k2即 p2(E)(y1(k)?iy2(k))?0，p2(E)(y1(k)?iy2(k))?0． ∴ y1(k)?iy2(k)与y1(k)?iy2(k)是齐次方程
p2(E)y(k)?a0Ey(k)?a1Ey(k)?a2y(k)?0 （4.3）
2的一对共轭的复解．故 y1(k)?rcosk?， y2(k)?rsink?是（4.3）的两个实 ?rkcosk?解．而由它们构成的Casorati矩阵 c(k)???Erkcosk??krsink???
kErsink???kkk?rcosk???k?1?rcos(k?1)??k?1??
k?1rsin(k?1)???rsink?k∴ dct[c(k)]?r2?r2k?1[cosk?sink(?1)??sink?cosk(?1)?]
2k?1[sin((k?1)??k?)]?rsin??0
kk因此对所有k?N，y1(k)?rcosk?，y2(k)?rsink?是线性无关．从而得到
ky(k)?r[c1cosk??c2sink?] （k?N）
或者y(k)?Arcos(k??B)（k?N）均表示了方程（4.3）的所有实解．其中c1与c2或A与B均为实常量．
例1 考虑二阶齐次差分方程 E2y?3Ey?y?0 （4.5） 其辅助的二次代数方程 p2(t)?t2?3t?1?0 （4.6）
?3?25其根为 t1,2?，因此y1(k)?t1k?(?3?25)，y2(k)?t2?(kk?3?25)
k是方程（4.5）的一组解基．从而方程（4.5）的一般解为
y(k)?c1(?3?25)?c1(k?3?25) 其中c1与c2是两个任意常数．
k例2 考虑差分方程 3E2y?3Ey?6y?0 （4.7） 其辅助方程为 p2(t)?3t2?3t?6?0，即t2?t?2?0 ∴ t1??1，t2?2 故y1(k)?(?1)k，y2(k)?2k是方程（4.7）的一组解基．而
y(k)?c1(?1)k?c22k (5.7)* 表示了方程（4.7）的所有解．考虑方程（4.7）的初值问题
?y(k?2)?y(k?1)?2y(k)?0??y(0)?4,y(1)??1**(5.7)**
?y(0)?c1?c2?4由(5.7)及初值条件知 ? ?c1?3，c2?1
y(1)??c?2c??112?因此初值问题(5.7)之解为 y(k)?3(?1)?2
例3 考虑二阶差分方程 Ey?14Ey?49y?0 （4.8） 其辅助的二次代数方程为 t?14t?49?0 （4.9） 故 t1??7，t2??7．
k因此（4.8）的通解为 y(k)?(c1?c2k)(?7) k?N．
2**kk2c1与c2为任意常数．
例4 考虑差分方程 4Ey?4Ey?y?0 （4.10） 其辅助方程为 p2(t)?4t?4t?1?0． （4.10）
22故 t1??任意常数．
12，t2??21．所以（4.10）的通解为y(k)?(c1?c2k)(?12)，c1，c2为
k例5 考虑二阶差分方程
2Ey?2Ey?2y?0 （4.12）
其辅助方程为 p2(t)?t2?2t?2?0 它的根为t1,2?1?i．用极坐标形式表示根
t1?1?i?Kk2(cos?4?isin?4)
故 y1(k)?22kk（4.12）的一组解基．因此方程（4.12）cos?，y2(k)?22sin?是方程
44kkk的通解为 y(k)?(c1cos??c2cos?)22 （4.13）
44k或 y(k)?Ar2k cos(??B) （4.14）
4其中c1与c2或A和B均为任意常数．
例6 考虑二阶齐次线性差分方程 E2y?6Ey?12y?0 （4.15） 其辅助方程为 p2(t)?t2?6t?12?0 它的根为 t1,2?3?1由于t1，t2是3i．
??共轭复根，用极坐形式有 t1?3?i3?(12)2[cos?isin]
66l因此 y(k)?(12)2[c1cosk?6?c2sink?6 ] （4.16）
是（4.15）的通解．c1与c2是两个任意量．
例7 考虑二阶差分方程 Ey?y?0 （4.17） 其辅助方程为p2(t)?t?1?0．所以根为t1,2??i
而 t1?i?cos?2?isin22?2．故y1(k)?cosk?2，y2(k)?sink?2k?2．是方程（4.17）的
k?2一组解基，从而方程（4.17）的通解为 y(k)?c1cosk?c2sin（c1与c2为任意
常数）或 y(k)?Acos(??B) （A，B为任意量）
2下面就二阶常系数、线性、非齐次差分方程，在一些特殊情况下，如何找出它的特解，
我们用一些例题来说明求非齐次方程之特解的思想方法，以便找出一些有规律性的原则．
例8 考虑非齐次二阶常系数差分方程． E2y?3Ey?2y?3k （4.18） 为了找出方程（4.18）的特解，我们用待定系数法．根据（4.18）右端函数的形式，我们令
kz(k)?A?3（A是待定常量）是（4.18）的解．将其代入（4.18）得到
A3k?2?3A3k?1kk?2?A3?3．
即 9A?9A?2A?1 ?A?故知方程（4.18）的特解为 z(k)?12?3．
k12
此外（4.18）的齐次方程的辅助方程是 p2(t)?t2?3t?2?0，
故它的根t1?1，t2?2，故（4.18）的齐次方程 E3y?3Ey?2y?0 （4.19） 的解基是y1(k)?1k，y2(k)?2k．故由§3.4定量4.6得到非齐次二阶差分方程（4.18）
k的通解为 y(k)?c1?c2?2?12?3，c1，c2是任意常量．
k例9 研究方程（5.18）的更一般形式 E2y?3Ey?2y?ak （4.20） 这里a是某个常量．
首先求（5.20）形如z(k)?A?ak的特解，其中A为待定常数．将其代入（4.20）得
Ez(k)?3Ez(k)?2z(k)?z(k?2)?3z(k?1)?2z(k)
2?A?ak?2?3Aak?1?2A?ak?a（5.20）式之右端）
k? A(a?3a?2)?1
2因此当a?1，a?2时，有A?12a?3a?21k?a k?N 有特解 z(k)?2a?3a?2．从而在a?1与a?2的前提下方程（4.20）
kk而（4.20）的齐次方程的一组解基为y1(k)?1，y2(k)?2．因此当a?1，a?2时方
程（4.20）的通解为 y(k)?c1?c2?2k21a?3a?2a． k?N
k2下面分别就a?1与a?2的情形，即a?1与a?2是辅助方程p2(t)?t?3t?2?0的根之情形，来处理方程（4.20）的求特解问题．
2(i) a?1，这时方程（4.20）变为 Ey?3Ey?2y?1 （4.21）
此时方程（4.21）的右端是常数1，故我们求（4.21）的形如下式的特解