变量y(t)、加权阵Q及初始状态x(0)给定时，寻求控制函数u(t)，使得在约束条件（5。7）、（5。8）下，由（5。6）式解出的x(t)所确定的、由（5。9）式表示的J(x(t))达到最小值．这是线性系统在二次性能指标下的最优控制问题．当x(t)和u(t)的维数较高时求解较为复杂．Pearson等提出和改进的目标协调法是这类问题的一种有效解法．
第三章 微分方程模型
当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析或预测了。我们在1.4节建立的人口指数增长模型和阻滞增长模型，大致就是这个过程。
事实上在微分方程课程中，解所谓应用题时我们已经遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由下落，初带是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。”又如“容器内有100公升盐水，内含10千克盐，今以每分钟3公升的速度一管放进净水，以每分钟2公升的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求宣传品器内含盐量随时间变化的规律。”本章讨论的动态模型与这些问题的主要区别是，所谓微分方程应用题大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将已知规律表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案是唯一的，已经确定的。而本章的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件。作出不同的假设，就得到不同的方程，所以是事先没有答案的。求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。
3.1 传染病模型
随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。得到在世界的某些地区，特别是贫穷的发展中国家，还不时出现传染病流行的情况。与此同时，一种更为险恶的传染病一爱滋病，则跨国越界在既包括发达国家也包括发展中国家的更大范围内蔓延。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等等，一直是各国有关专家和管员关注的课题。
人们不可能去做传染病传播的试验以获取数据，从医疗卫生部门得到的资料也是不完全和不充分的，所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型。
不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立几种模型］。
为简单起见本节假定，在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，
也不考虑迁移。并且时间以天为计量单位。
模型I(SI模型)假设条件为
1．人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类(取两个词的第1个字母，称之为SI模型)。以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在况人数中所占的比例分别记作
s(t)和i(t)。
2．每个病人每天有效接触的平均人数是常数?，?称日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。
根据假设，每个病人每天可使?s(t)个健康者变为病人，因为病人数为Ni(t)，所以每天共有?Ns(t)i(t)个健康者被感染，于是?Nsi就是病人数Ni的增加率，即有
Ndidt??Nsi (1。1) 又因为s(t)?i(t)?1 (1。2)
?di??i(1?i)?再记初始时刻(t?0)病人的比例为i0则?dt (1。3)
?i(0)?i0?它的解为 i(t)?1?(11i0?1)e??t (1。4)
由(1。3)、(1。4)式及图5-1可知，第一，当i?1/2时
1i0didt达到最大值(didt)m，这个时刻为
tm??1n(?1?1) (1。5)
这时病人增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻。tm与?成反比，因为日接触率?表示该地区的卫生水平，?越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。第二，当t??时i?1，即所有人终将被传染，
全变为病人，这显然不符合实际情况，其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设，下面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况。
模型II(SIS模型) 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型和SIS模型。
SIS模型的假设条件1、2与SI模型相同，增加的条件为
3．病人每天被治愈的占病人总数的比例为?，称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然1/?是这种传染病的平均传染期。
不难看出，考虑到假设3，SI模型的(1。1)式应修正为 Ndidt??Nsi??Ni (1。6)
?di??i(1?i)??i?(1.2)式不变，于是(1.3)式应改为?dt (1.7)
?i(0)?i0??1????1??(???)t???(?)e?,???io????????方程(7)的解可表为 i(t)???(1.8) 1?1?(?t?),????i0?定义???/?(1.9)注意到?和1/?的含义，可知?是一个传染期内每个病人有效接触的平
1?,??1?1?均人数，称接触数。由(1.8)、(1.9)式容易得到，当t??时i(?)?? (1.10) ??0,??1?根据(1.8)~(1.10)式可以画出i(t)~t的图形(图5-2)。
接触数??1是一个阈值。当??1时病人比例i(t)越来越小。最终趋于零，这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变成的病人数不超过原来病人数的缘故；当??1时i(t)的增减性取决于i0的大小(见图5-2)，但其极限值i(?)?1?1?随?的增加而增加(试从?的
含义给以解释)。
SI模型可视为本模型的特例，请读者考虑它相当于本模型中?或?取何值的情况。
模型III(SIR)模型) 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者(易感染者)，也非病人(已感染者)，他们已经退出传染系统。这种情况下的模型假设条件为
1．人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)三类，称SIR模型。三类人在总人数N中占的比例分别记作s(t)、i(t)和r(t)。
2．病人的日接触率为?，日治愈率为?(与SI模型相同)，传染期接触数为???/?。 由条件1显然有 s(t)?i(t)?r(t)?1 (1.11) 根据条件2方程(1.6)仍成立。对于病愈免疫的移出者而言应有 Ndrdt??Ni (1.12)
再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(?0)和i0(?0)(不妨设移出者的初始值
?di?dt??si??i??ds(1.13) r0?0，则由(1.6)、(1.11)、(1.12)式，SIR模型的方程可以写作????si?dt?i(0)?i0,s(0)?s0??方程(1.13)无法求解，我们转到相平面s~i上来讨论解的性质。相轨线的定义域(s,i)?D应为 D?{(s,i)|s?0,i?0,s?i?1} (1.14) 1?di??1?在方程(1.13)中消去dt并注意到?的定义(1.9)，可得 ?ds (1.15) ?s?i|s?s?i00?容易求出方程(1.15)的解为 i?(s0?i0)?s?1?1nss0 (1.16)
在定义域D内，(1.16)式表示的曲线即为相轨线，如图5-3所示。其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向。下面根据(1.13)、(1.16)式和图5-3分析t??时s(t)、i(t)和
r(t)的变化情况(它们的极限值分别记作s?、i?和r?)。
1．不论初始条件s0、i0如何，病人终将消失，即 i??0 (1.17) 其证明如下。 首先，由(1.13)，
dsdt?0，而s(t)?0，故s?存在；由(1.12)，
drdt?0，而r(t)?1，
故r?存在；再由(1.11)知i?存在。其次，若i????0，则由(1.12)，对于充分大的t有
drdt???2，这将导致r???，与r?存在相矛盾。
从图形上看，不论相轨线从P1或从P2点出发，它终将与s轴相交。
2．最终未被感染的健康者的比例是s?，在(1.16)式中令i?0得到，s?是方程
s0?i0?s??11ns?s0?0 (1.18)
?在(0，1/?)内的单根。在图形上s?是相轨线与s轴在(0，1/?)内交点的横坐标。
3．若s0?1/?，则i(t)先增加，当s?1/?时，i(t)达到最大值
im?s0?i0?1(1?1n?s0)，然后i(t)减少且趋于零。s(t)则单调减小至s?。如图5-3中
?由P1(s0,i0)出发的轨线。
4．若s0?1/?，则i(t)单调减少至零，s(t)单调减小至s?。如图中由P2(s0,i0)出发的轨线。
可以看出，如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么1/?是一个阈值，当s0?1/?(即??1/s0)时传染病就会蔓延。而减小传染期接触数?，即提高阈值1/?，使得s0?1/?(即??1/s0)，传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的，通常可认为s0?1)。我们注意到在???/?中，人们的卫生水平越高，日接触率?越小；医疗水平越高，日治愈率?越大，于是?越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延。从另一方面看，?s??s?1/?是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一个病人被?s个健康者交换。所以当s0?1/?，即?s0?1时，必有?s?1。既然交换数不超过1，病人比例i(t)绝不会增加，传染病不会蔓延。
我们看在在SIR模型中接触数?是一个重要参数。?可以由实际数据估计，因为病人比例的初始值i0可得 ??1ns0?1ns?s0?s? (1.19)
于是当传染病结束而获得s0和s?以后，由(1.19)式能算出?。另外，对血样作免疫检验也可以根据对检验无反应和有反应，估计出s0和s?，然后计算?。
模型验证 本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都 死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了人用这组数据对SIR模型作了验证。
??k(t)首先，由方程(1.11)、(1.13)，可以得到 s(t)?s0e (1.20)
drdt的实际数据，Kermack等
drdt??(1?r?s0e??r) (1.21)
??r当r?1/?时，取(1.21)式右端e台劳展开的前3项，在初始值r0?0下的解为
r(t)?1s0?2[(s0??1)??th(??t2??)] (1.22) 其中?2?(s0??1)?2s0i0?22，
th??s0??1?。从(1.22)式容易算出
drdt?22s0?ch(??2??t22 (1.23)
??)