然后取定参数s0、?等，画出(1.23)式的图形，如图5-4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。
在本节的最后，介绍SIR模型的两个应用。
被传染比例的估计 在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值s0与t??的极限值s?之差，记作x，即 x?s0?s? (1.24)假定i0很小，s0接近于1，由(1.18)式可得x?11n(1?xs0)?0 (1.25)取对数函数台劳展开的前两项有
?x(1?1s0??x2s0?2)?0 (1.26) 记s0?1???，?可视为该地区人口比例超过阈值
11/?的部分。当???1/?时(26)式给出x?2s0?(s0??)?2? (1.27)
这个结果表明，被传染人数比例约为?的2倍。对一种传染病，当该地区的卫生和医疗水平不变，即?不变时，这个比例就不会改变。而当阈值1/?提高时，?减小，于是这个比例就会降低。
群体免疫和预防 根据对SIR模型的分析，当s0?1/?时传染病不会蔓延。所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值1/?变大以外，另一个途径是降低s0，这可以通过譬如预防接种使群体免疫的办法做到。忽略病人比例的初始值i0，有s0?1?r0。于是传染病不会蔓延的条件s0?1/?可以表为r0?1?1? (1.28)这就是说，只要通过群体免疫
使初始时刻的移出者比例(即免疫者比例) r0满足(28)式，就可以制止传染病的蔓延。
这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计在印度等国天花传染病的接触数??5，由(1.28)式至少要有80%的人接受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高r0，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些传染病的?更高，根除就更加困难。
3．2经济增长模型
发展经济、增加生产有两个重要因素，一是增加投资(扩大厂房、购买设备、技术革新等)，二是雇用更多的工人。恰当调节投资增长和劳动力增长的关系，使增加的产量不致被劳动力的增长抵消，劳动生产率才能不断提高。本节通过介绍一个描述生产量、劳动力和投资之间变化规律的模型，来讨论这些问题。
1．道格拉斯(Douglas)生产函数
用Q(t)、L(t)和K(t)分别表示某一地区、部门或企业在时刻t的产量、劳动力和资金，
时间以年为单位。因为人们关心的是它们的增长量，不是绝对量，所以定义
iQ(t)?Q(t)Q(0),iL(t)?L(t)L(0),ik(t)?K(t)K(0) (2.1)
分别为产量指数、劳动力指数和投资指数。它们的初始值(t?0)为1。
在正常的经济发展过程这3个指数都是随时间增长的，而iQ(t)的增长又取决于iL(t)和
ik(t)的增长速度。但是它们之间的有关系难以从机理分析得到，只能求助于统计数据。表
5-1是美国马萨诸塞州从1890年到1926年上述3个指数的数据(以1899年为t?0)。
为了从数量关系上分析这些数据，定义新变量?(t)?1niL(t)ik(t),?(t)?1niQ(t)ik(t) (2.2)
表5-1美国马萨诸塞州1890~1926ik,iL,iQ的数据
t ik(t) iL(t) iQ(t) t ik(t) iL(t) iQ(t) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.95 0.96 0.99 0.96 0.93 0.86 0.82 0.92 0.92 1.00 1.04 1.06 1.16 1.22 1.27 1.37 1.44 1.53 1.57 0.78 0.81 0.85 0.77 0.72 0.84 0.81 0.89 0.91 1.00 1.05 1.08 1.18 1.22 1.17 1.30 1.39 1.47 1.31 0.72 0.78 0.84 0.73 0.72 0.83 0.81 0.93 0.96 1.00 1.05 1.18 1.29 1.30 1.30 1.42 1.50 1.52 1.46 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2.05 2.51 2.63 2.74 2.82 3.24 3.24 3.61 4.10 4.36 4.77 4.75 4.54 4.54 4.58 4.58 4.58 4.54 1.43 1.58 1.59 1.66 1.68 1.65 1.62 1.86 1.93 1.96 1.95 1.90 1.58 1.67 1.82 1.60 1.61 1.64 1.60 1.69 1.81 1.93 1.95 2.01 2.00 2.09 1.96 2.20 2.12 2.16 2.08 2.24 2.56 2.34 2.45 2.58 按照表中数据算出(?,?)后在?~?平面直角坐标系上作图(图5-5)，可以发现大多数点靠近一条过原点的直线，这提示应设?和?的关系为???? (2.3)且直线斜率?通常有
0???1。将(2)代入(3)式得iQ(t)?iL(t)iK(t) (2.4)再记a?Q(0)L?1????(0)K??1(0)，则由
(2.1)、(2.4)式可以写出Q(t)?aL(t)K?1??(t),0???1,a?0 (2.5)这就是经济学中著名的
Cobb-Douglas生产函数，记作Q(L,K)，它表示了产量与劳动力和投资间的关系。
?QQ?LL?KK将(2.5)式对t求导，得 ???(1??) (2.6)
?Q(2.6)式表示了年相对增长量
?QQ、
?LL和
?K之间的线性关系，显然???L (2.7)表示产量增
QKL长中取决于劳动力部分的比值，称产量对劳动力的弹性系数。??1说明产量增长主要靠劳动力的增长；??0说明产量增长主要靠投资的增长。
2．劳动生产率增长的条件
为了进一步讨论产量随劳动力和投资的增长而增长的规律，需要对劳动力和投资的增加
???L (2.8) 作出合理的假设。①劳动力每年的相对增长率是常数?，即L???Q (2.9) ②投资的年增长率与产量成正比，比例系数为?，即K?t方程(2.8)的解为(以下用L0、K0记初始值L(0)、K(0))L(t)?L0e (2.10)
???aL?e??tK1?? (2.11) 将(2.5)、(2.10)代入(2.9)式得 K0?其解K(t)满足K?(t)?K0??a?L0(e???t?1) (2.12) 定义Z(t)?Q(t)L(t) (2.13)
表示每个劳动力占有的产量，可以看作劳动生产率。正率讨论Z(t)增长的条件。对(2.13)式
?ZZ?QQ?LL?KK?LL求导并将(2.6)式代入得???(1??)(?) (2.14) 将(9)~(12)代入(14)式，经
化简可得
?K0K0?ZZ???K)K??1K?(1??)(K000?LL????K?(0)。由此不难看出，只要 (2.15)其中K0?????0。这就是说，只要初始投资的相对增长率大于劳动力的相 (2.16)就有Z对增长率(常数?)，就能保证劳动生产率Z(t)的不断增长。另一方面，因为(2.15)式中K(t)?(t)?0，即Z(t)的增长率不断?(t)递减，且Z是增加的，用t??时K(t)??，所以Z减小，Z(t)趋于常数。
3．3正规战与游击战
早在第一次世界大战期间，F.W.Lanchester就提出了几个预测战争结局的数学模型，其中有描述传统的正规战争的，也有考虑稍微复杂的游击战争的，以及双方分别使用正规部队和游击部队的所谓混合战争的。后来人们对这些模型作了改进和进一步的解释，用以分析历史上一些著名的战争，如二次世界大战中的美日硫黄岛之战和1975年结束的越南战争。
Lanchester提出的模型是非常简单的，他只考虑双方兵力的多少和战斗力的强弱，兵力因战斗减员和非战斗减员而减少，又由后备力量的增援而增加；战斗力即杀伤对方的能力，则与射击率(单位时间的射击次数)、射击命中率以及战争的类型(正规战、游击战)等有关。。这些模型当然没有考虑交战双方的政治、经济、社会等因素。而公靠战场上兵力的优劣是很难估计战争胜负的，所以我们认为用这些模型判断整个战争的结局是不可能的，但是对于局部战役来说或许还有参考价值。更重要的是，建模的思路和方法为我们借助数学模型讨论科学领域中的实际问题提供了可以借鉴的示例。
一般战争模型 用x(t)和y(t)表示甲乙交战双方时刻t的兵力，不妨视为双方的士兵人数。假设。1．每一方的战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力，用f(x,y)和g(x,y)表示。
2．每一方的非战斗减员率(由疾病、逃跑等因素引起)与本方的兵力成正比。 3．每一方的增援率是给定的函数，用u(t)和v(t)表示。
?(t)??f(x,y)??x?u(t),??0?x?(t)??g(x,y)??x?v(t),??0?y由此可以写出关于x(t)、y(t)的微分方程为? (3.1)
下面针对不同的战争类型讨论战斗减员率f、g的具体表示形式，并分析影响战争结局的因素。
正规战争模型 甲乙双方都用正规部队作战。我们只须分析甲方的战斗减员率
f(x,y)。甲方士兵公开活动，处于乙方每一个士兵的监视和杀伤范围之内，一旦甲方某个
士兵被杀伤，乙方的火力立即集中在其余士兵身上，所以甲方的战斗减员率只与乙方兵力有关，可以简单地设f与y成正比，即f?ay。a表示乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率(单位时间的杀伤数)，称乙方的战斗有效系数。a可以进一步分解为a?ryPy，其中ry是乙方的射击率(每个士兵单位时间的射击次数)，Py是每次射击的命中率。
类似地有g?bx，用甲方的战斗有效系数b?rxPx，rx和Px是甲方的射击率和命中率。
???ay??x?u(t)?x于是在这个模型中方程(3.1)化为 ? (3.2)
?y??bx??y?v(t)?在分析战争结局时忽略非战斗减员一项(与战斗减员相比，这项很小)，并且假设双方都没有
???ay?x????bx增援。记双方的初始兵力分别是x0和y0，方程(3.2)简化为。?y (3.3) ?x(0)?x,y(0)?y00?不直接求解方程(3.3)，而在相平面上讨论相轨线的变化规律更容易判断双方的胜负。由方程(3.3)可得
dydx?bxay (3.4) 其解为ay2?bx2?k (3.5)
22注意到方程(3.3)的初始条件，有k?ay0?bx0 (3.6)
由(3.5)式确定的相轨线是双曲线族，如图5-6。箭头表示随时间t的增加，x(t)、y(t)的变
ka化趋势。可以看出，如果k?0轴相交。这就是说存在t1使x(t1)?0，y(t1)??0，
即当甲当兵力为零时乙方兵力为正值，表明乙方获胜。同理可知，k?0时甲方获胜，而当
k?0时双方战平。进一步分析某一方譬如乙方取胜的条件。由(3.6)式并注意到a、b的含
义，乙方获胜的条件可表为 (y0x0)2?ba?rxPxryPy (3.7)
(3.7)式说明双方初始兵力之比y0/x0以平方关系影响着战争的结局。例如若乙方兵力增加到原来的2倍(甲方不变)，则影响战争结局的能力增加到4倍。或者说，若甲方的战斗力譬如射击率rx增加到原来的4倍(Px、ry、Py均不变)，那么为了与此相搞衡，乙方只须将初始兵力y0增加到原来的2倍。由于这个原因正规战争模型称为平方律模型。
游击战争模型 双方都用游击部队作战。
甲方士兵在乙方士兵看不到的某个面积为sx的隐蔽区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火，而是向这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况。这时甲方战斗减员率不仅与乙方兵力有关，而且随着甲方兵力的增加而增加。因为在一个有限区域内，士兵赵多，被杀伤的就越多。这样可以简单地假设f?cxy，用乙方战斗有效系数c可表为c?rypy?rysrysx，
其中ry仍为射击率，而命中率py等于乙方一次射击的有效面积sry与甲方活动面积sx之比。
类似地有g?dxy，d?rxpx?rxsrxsy。于是在这个模型中方程(3.1)化为
???cxy??x?u(t)?x (3.8) 忽略?x和?y并设u?v?0，以初始条件下(3.8)式为????dxy??y?v(t)?y