二，作为结果（输出）人们希望得到的数据也是离散的，如2000年、2020年、2050年?的人口总数、各个人口指数、人口的年龄分布等；第三，连续模型解的表达式中包含了未知函数，用解析方法迭代表解是非常困难的，与其用数值方法解连续模型，不如直接建立离散型．并且下面将会看到，这个离散模型属于现代控制理论中的所谓“双线性模型”，有现成的算法．
本节引用的一些参量如死亡率、女性生育率、生育模式及人口指数等的基本含义与连续模型相同，只不过是相应的离散形式，读者可以对照起来分析．
人口发展方程 时间以年为单位，年龄按周岁计算，设最大年龄为m岁．记xi(t)为第
t年i岁（满i周岁而不到i?1周岁）的人数，t?0,1,2,?,i?0,1,2,?,m．只考虑由于生
育、老化和死亡引人起的人口演变，而不计迁移等社会因素的影响．记di(t)为第t年i岁人口的死亡率，即di(t)?xi(t)?xi?1(t?1)xi(t) xi?1(t?1)?(1?di(t))xi(t)，
i?0,1,2,?, m?1,t?0,1,2,? （4。1）
记bi(t)为第t年i岁女性生育率，即每位女性平均生育婴儿数，[i1,i2]为育龄区间，
i2ki(t)为第t年i岁人口的女性比，则第t年的出生人数为f(t)??b(t)kii?i1i2） (t)xi(t) （4。
记d00为第t年婴儿死亡率，即第t年出生但未活到人口统计时刻的婴儿比例*)，
f(t)?x0(t)f(t)d00(t)?于是x0(t)?(1?d00(t)f(t) （4。3）
对于i?0将（4。2）、（4。3）代入（4。1）得
i2x1(t?1)?(1?d00(t))(1?d0(t))?bi(t)ki(t)xi(t) （4。4）
i?i1将bi(t)分解为 bi(t)??(t)hi(t) （4。5） 其中hi(t)是生育模式，用以调整育龄妇女在不同年龄时生育率的高低，满足
i2i2i?hi?i1(t)?1，利用上式对（4。5）式求和得到?(t)??bi?i1i(t) （4。7）
可知?(t)表示第t年每个育龄妇女平均生育的婴儿数，若设在t年后的一个育龄时期内各个年龄的女性生育率bi(t)都不变，那么?(t)又可表为
?(t)?bi1(t)?bi1?1(t?1)??bi2(t?i2?i1) （4。8）
即?(t)是第t年i1岁的每位妇女一生平均生育的婴儿数，称总和生育率，或生育胎次，是控制人口数量的主要参数．将（4。5）式代入（4。4）式，并记]
?bi(t)?(1?d00(t))(1?d0(t))hi(t)ki(t) (4。9)
i2则（4。4）式写作x1(t?1)???bi(t)xi(t) （4。10）
i?i1?引入向量、矩阵记号 x(t)?[x1(t),x2(t),?,xm(t)xi(t)]T （4。11）
???1?A(t)??????0d1(t)?0001?d2(t)????1?dm(t)0????? （4。12） ???0??那么（4。10）式和（4。1）式(i?1,2,?,m?1)可以记作
x(t?1)?A(t)x(t)??(t)B(t)x(t) （4。14）
这个向量形式的一阶差分方程就是人口发展方程．当初始人口分布x(0)已知，又由统计资料确定了A(t)、B(t)，并且给定了总和生育率?(t)以后，用这个方程不难预测人口的发展过程．在控制理论中x(t)称状态变量，可将?(t)作为控制变量，因为对于?(t)和x(t)分别是线性的，所以是双线性方程，其性质和解法的讨论已超出本书范围．在稳定的社会环境下可以认为死亡率、生育模式和女性比不随时间变化．于是A(t)、B(t)为常数矩阵，（4。14）化为 x(t?1)?Ax(t)??(t)Bx(t) （4。15）
人口指数 像连续模型一样，用离散模型描述人口的发展也常引入一些人口指数．
m1． 人口总数N(t) N(t)??xi?0i(t) （4。16）
2． 平均年龄R(t) R(t)?ix?N(t)i?01mi(t) （4。17）
?3．平均寿命S(t) S(t)??exp??j?0?mj?i?0?di(t)? （4。18）
?其含义是，第t年出生的人不论活到哪一年，死亡率都用第t年的死亡率di(t)计算时，这些人的平均存活时间．我国人口的平均寿命在本世纪三十年代是35岁左右，解放初期为50
岁左右（1950年，北京地区），到1978年达到68.3年． 4．老龄化指数?(t) ?(t)?R(t)S(t) （4。19）
是反映人口老龄化程度的指标．?(t)?0.5时属于表壮年型社会．我国??0.3835（1978年）．
5．依赖性指数p(t) p(t)N(t)?L(t)L(t) （4。20）
l2l2?i其中 L(t)????[1?ki?l1(t)]xi(t)??ki?l1?i(t)xi(t) （4。21）
这里[l1,l2]和[l1,l2]分别是男性和女性劳动力的年龄区间，l(t)是有劳动能力的人口数，于是?(t)表示每个劳动力需供养的人口数．我国??0.958（1978年），世界平均水平． ??0.958（1981年）
我国人口总数的预测 用模型（14）根据1978年的统计资料对我国人口总数作的预测如
??i(1978)[1?(1978)10?3下．死亡率用下列公式外推：?i(t)??,??i(1978)i?5,i?505?i?50 （4。22）
r?18??14(r?18)e2,r?18?生育模式取r分布的离散值：h(r)??769 （4。23）
?0,r?18?性别比ki(t)取统计数据的平均值0．487，在不同的总和生育率?下得到了1980-2080年一系列结果，图8-6是这些结果的略图．计算结果表明：
1）若??3（七十年代中期水平），则2000年将达14.2亿2080年达43.1亿，近于，近于当前全世界人口总和．
2）若??2.3（约为1978年水平），则2000年将达12.9亿，2080年达21.2亿． 3）若??2（大约是保持人口长期稳定的水平），则2000年为12.2亿，72年后达到最大值，此后略有下降．
4）若??1.5，则在2007年达到最大值，到2080年降至7.8亿（1968年水平）． 5）若??1，即全国严格执行一对夫妇只生一个孩子的政策，则在2004年达到最大值10.6亿，50年后降至9.5亿91978年水平）．
2.5 交通网络控制
机动车辆迅速增加，城市交通日益繁忙，在一些没有立交桥的交叉路口，车辆排长队等候绿灯的情况经常发生．如何根据车流状况调节各路口的红绿灯时间，使等待的车队长度尽可能短，是交通网络控制的主要任务．本节讨论的交通网络是超饱和的，就是说在各路口等候
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的车队足够长，以至在绿灯持续时间内有连续不断的车辆通过．
城市交通网络通常由一些互相连接的路段和交叉路口组成．为简单和确定起见我们讨论一个典型网络，如图8-7所示，由两条横向公路、两条纵向公路和4个交叉路口A、B、C、
D组成．公路都是行线，方向如图所示，且不考虑转弯．由A到B、C的距离为1个单位，D到B、C的距离为2个单位．
建模目的是调节各路口的红绿灯时间使等待的车队最短．模型的控制变量应取各路口的绿灯持续时间，而作为研究对象的状态变量期变化的，以这个周期为 单位将时间离散化，建立离散模型，从建模和计算的角度看都是比较方便的．
模型假设
1.4个 交叉路口的红绿灯周期相同，绿灯开始时刻也相同，将每次绿灯开始时刻记作
t?1,2,?．
2.记时刻t等候在8个单行线路口的车队长度为xi(t),i?1,2,?,8（见图8-7）时刻t开始的绿灯持续时间内通过单向路口i的车队长度为zi(t)，时刻t开始的红绿灯周期内到达单向路口i的车队长度为yi(t)，满足
xi(t?1)?xi(t)?zi(t)?yi(t)，i?1,2?,8,t?0,1,2,? （5。1）
根据超饱和交通的假定，上述各量均是非负的．
3．在超饱和交通条件下，zi(t)与绿灯持续时间成正比，记作zi(t)??iui(t) （5。2） 其中ui(t)是路口i绿灯持续时间在时刻t开始的红绿灯周期中占比例(0?ui(t)?1),?i是在一个红绿灯周期时间内，在超饱和情况下通过路口i的车队长度，称饱和车流长度，是已知量．
4．不计黄灯时间，纵向路口的绿灯时间恰是相应的横向路口的红灯时间，由图8-7可???知 ????u5(t)?1?u1(t)u6(t)?1?u4(t)u7(t)?1?u3(t)u8(t)?1?u2(t) （5。3）
5．车队在交叉路口之间行驶1个单位距离所需时间恰为1个红绿灯周期，即1个单位时间，于是由图8-7可知
???????y2(t)?z1(t?1)y4(t)?z2(t?2)y6(t)?z5(t?1)y8(t)?z7(t?2) （5。4）
y1(t)、y3(t)，y5(t)，y7(t)要由本网络以外的系统提供，设这些外部变量是已知的．
模型建立 在上述假设下将（5。2）、（5。3）、（5。4）式代入（5。1），则方程（5。1）
??????应表示为 ???????x1(t?1)?x1(t)?y1(t)??1u1(t)x2(t?1)?x2(t)??1u1(t?1)??2u2(t)x3(t?1)?x3(t)?y3(t)??3u3(t)x4(t?1)?x4(t)??3u3(t?2)??4u4(t)x5(t?1)?x5(t)?y5(t)??5??5u1(t)x6(t?1)?x6(t)??5??6??5u1(t?1)??6u1(t)x7(t?1)?x7(t)?y7(t)??7??7u3(t)x8(t?1)?x8(t)??7??8??7u3(t?2)??8u2(t) （5。5）
引入向量、矩阵记号 x(t)?[x1(t),x2(t),?,x8(t)]T
y(t)?[x1(t),0,y3(t),0,y5(t),0,y7(t),0] b?[0,0,0,0,0?5??6,0,?7??8] u(t)?[u1(t),u2(t),u3(t),u4(t)]
TTTBT0???1??0???0??0?0??20000??30000??4?500000000?70?60???8?? 0??0??方程组（5。5）可以写成x(t?1)?x(t)?y(t)?b?B0u(t)?B1u(t)?B2u(t?2) （5。6） 当y(t)、b、B0、B1、B2及初始状态向量x(0)已知时，只要给出控制向量
u(t),t??2,?1,0,1,2,?,就可以由方程（5。6）递推求解．根据交通网络的实际情况，对于x(t)和u(t)通常有如下的约束条件 0?x(t)?xmax （5。7） umin?u(t)?umax（8）其中xmax?[x2m,x2m,?,x8m]是各个单向路口对等待车队长度的
T????T????T限制，umin?[u1,u2,u3,u4]和umax?[u1,u2,u3,u4]是绿灯持续时间比例的下限
和上限．为达到在考察的时间范围内使整个网络等待的车队长度最短的目的，在最优控制间题中常用二次型函数作为指标，譬如设指标函数J(x(t))??t9） x(t)Qx(t) （5。
T其中Q是对角形加权矩阵，对角元素是对各路口等待车队的加权因子．
综上所述，这个超饱和交通网络控制模型可以归结构为，在参数?i(i?1,2,?,8)、外