当1?b?2时x??12?，（图8-3（2））． xk?x的过程则会出现如图8-1蛛网型那样的衰减振
当b?3时，虽然方程（2.6）仍可形式地求解，但x?不稳定，其图解法如图8-4所示出现如图8-2蛛网模型那样发散的振荡（xk x?）．
事情到此并未完结,作一些计算就会发现，当b比3大得不太多时，虽然序列{xk}不再
??剑于x?，但是出现了两个子序列的收剑点x1?和x2当k??时x2k?x1?,x2k?1?x2,．如
果说原来的xk?x?是单周期收敛（如生物繁殖的周期），那么这里就可经称为2倍周期收敛了．
倍周期收敛 如果一般地把方程（6）表示为xk?1?f(xk) （2.11） 那么在讨论2倍周期收 敛时应考察xk?2?f(xk?1)?f(f(xk))?f(2)(xk)?) （2.12）
为了求方程（2.12）的平衡点，对于我们的模型（2.6）要解代数方程
x?f(f(x))?b?bx(1?x)[1?bx(1?x)] （2.13）因为方程（2.12）的平衡点x?满足x??f(2)(x)，所以零点和原来的x?1???1b是它的平
???衡点，此外，满足 x1??f(x2 )， x2?f(x1) （2.14）
的点x、x也是（2.12）的平衡点．x?1?2?1,2可由（2.13）解得x?1,2?b?1?b?2b?32b2 （2.15）
???不难验证当b?3时 0?x1?x?x2?1 （2.16）
?下面b?3下讨论这些平衡点的稳定性．x?显然是不稳定的（请读者验证）．对于x1和
x2，因为 械(f???(2)(x))?(2)x?x1*???f? (x2)f? (x1),(f(2)(x))? x?*x2???f? (x1)f? (x2)故
x1，x2的稳定性相同，由(f(x))?x?x1,x21???b(1?2x1)(1?2x2) （2.17）
?2**和稳定判据(f(2)(x1,2))??1，并将（2.15）代入（2.17）可得x1,2是方程（2.12）的稳定平
?**?衡点，即xk,xk?2,??x1（或x2），于是对于原方程（2.6），x1,2是序列{xk}的两个子序
**??列的极限，即x1,x3,x5??x1（或x2），x2,x4,x6??x2（或x1）．这个过程可以从方
程（2.12）的图解法中看到（图-5）．
作出生物数量阻滞增长的离散模型，经上结果表明，当固有增长率2?r2.449时，从一个繁殖周期（即一代）的角度看，其数量增长是不稳定的，即没有极限．但从两个繁殖周
期（即两代）的角度看，增长却是稳定的．这就是所谓的2倍周期收敛．
读者不难想到，当b?3.449时x1,2不再是方程（2.12）的稳定平衡点，从而对于方程（2.6）来说2倍周期也不收敛了，但是可以发现存在4倍周期收敛．进一步考察方程
xk?4?f(4)? 用类似的方法可得，当3.449?b?3.544 （2.20） (xk) （2.19）
时（2.19）有4个稳定平衡点．于是对于原来的模型（2.6），从4个繁殖周期（4代）的角度看，增长是稳定的．
按照这样的规律我们可以对模型（2.6）的增长序列{xk}讨论2n倍周期收敛问题，
nn?0,1,2,?．收敛性完全由参数b的取值确定．若记bn为使2倍周期收敛的b的上限则
上面的结果给出：b0?3,b1?3.449,b2?3.544．再深入的研究表明，当n??时
bn?3.57．而当b?3.57时就不再存在任何2n倍周期收敛，2n倍周期敛，xk的趋势呈
现一片混乱，这就是所谓浑沌现象（Chaos）．
评注 本节虽然没有讨论具体的实际问题，但是作为描述阻滞增长规律的Logistic模型，无论是微分方程式还是差分形式都是有着广泛应用的，请读者举出一些应用的例子． 另外，从数学角度看，方程（2.6）是非常简简单的非线性差分方程，可以方便地递推求解．但是正如我们所看到的，它的收敛性的研究却引出相当复杂和有趣的现象，可以作为分叉（Bifurcation）理论和浑沌现象的导入．当然这些问题已经超出本书的范围了．
2．3按年龄分组的种群增长
前面的章节中我们曾多次地用阻滞增长模型描述群数量的变化，这个模型不考虑种群结构，种群的数量主要由总量的固有增长决定．但是不同年龄动物的繁殖率和死亡率有着明显的不同，为了更精细地预测种群的增长，本节讨论按年龄分组的种群增长预测模型．这个向量形式的差分方程是Leslie在本世纪四十年代用来描述女性口变化规律的，我们将在本节最后说明它在人口模型中的应用．
下面先建立差分方程模型，接着讨论稳定状况（即时间充分长）下种群的增长规律，然后分析各年龄组的繁殖率和死亡率对种群总量增减的影响．
模型建立 将种群按年龄大小等间隔地分成n个年龄组，若最大年龄为m岁，则这个n个年龄组的年龄区间是[(i?1)mn,imn),i?1,2,?,n与年龄的离散化相对应，时间也离散
mn*)为时段tk,k?0,1,2,?，并且时段的间隔与年龄区间大小相等，即tk?tk?1?5岁为1个年龄组，那么就以5年为1个时段．
．譬如若每
种群是通过雌性个性的繁殖而增长的，所以用雌性个体数量变化为研究对象比较方便，下面提到的种群数量均仅指其中的雌性．
记时段tk第i年龄的种群数量为xi(k)；第i年龄组的繁殖率为bi，即第i年龄组每个（雌性）个体在1小时段内平均繁殖的数量；第i年龄组的死亡率为di，即第i年龄组1个时段内死亡数与总数之比．si?1?di称为存活率．这里我们假设bi和di（从而si）不随时段tk变化，在稳定的环境下这个假设是合理的．bi和si可由统计资料获得．xi(k)的变化规律由以下的基本事实行到：时段tk?1第1年龄组种群数量是时段tk各年龄组繁殖数量之和，即
nx1(k?1)??bxii?1i(k) （3.1）及时段tk?1第i?1年龄的种群数量是时段tk第i年龄
组存活下的数量，即xi?1(k?1)?sixi(k),i?1,2,?,n?1 （3.2）
记时段lk种群按年龄组的分布向量为x(k)?[x1(k),x2(k),?xn(k)]T （3.3）
?b1??s1L?????0?b20s20????bn?100sn?1bn??0?????0?? (3.4)
则（3.1）、（3.2）可表为x(k?1)?Lx(k),k?0,1,2,? （3.5） 当矩阵L和按年龄组的初始分布向量x(0)已时知时，可以预测任意时段tk种群按年龄组分布为x(k)?Lkx(0),k?0,1,? （3.6） 有了x(k)当然不难算出时段tk种群的总数． 稳定状况分析 下面研究时间充分长后（即k??）种群的年龄结构及数量的变化．
*)根据bi和si的定义，矩阵L中的元素满足0?si?1,i?1,2,?,n?1 （3.7）
bi?0,i?1,2,?,n,且至少一个bi?0 （3.8）
满足（3.7）、（3.8）的矩阵L称Leslie矩阵（简称L矩阵）．容易看出，x(k)的稳定性态完全由L矩阵决定．关于L矩阵我们不加证明地叙述两个定理．
定理1 L矩阵有唯一的正特征根?1，且它是单重的，?1对应正特征向量
?sssss?s?*x??1,1,122,?,12n?1n?1? （3.9）
???111??L矩阵的其他n?1个特征根?k(k?2,3,?,n)都满足?k??1,k?2,3,?,n （3.10）
T该定理表明L矩阵的特征方程 ??(b1?nn?1?b2s1?n?2???bn?1s1s2?sn?2??bns1s2?sn?1)?0 (3.11)
**只有一个正实单根?1，且容易险证Lx??1x．
定理2 若L矩阵第一行有两顺次的元素bi,bi?1都大于零,则*（3.10）式中仅不等号成
立，即?k??1,k?2,3,?,n （3.12） 且由（3.6）式表示的x(k)满足limx(k)*?cx （3.13）
k??1k其中c是由bi、si及x(0)决定的常数．附带指出，对于种群增长来说该定理的条件通常是满足．从上述定理可以对时间充分长（k充分大）后种群按年龄组的分布x(k)的性态作下分析．（为简便起见?1记作?）
1）由（3.13）式直接有x(k)?c?kx* （3.14）这表明k充分大时种群按年龄组分布x(k)趋向稳定，其各年龄组的数量占总量的比例，与物征向量x*中对应分量占分量的比例是一样的，即x*就表示了种群按年龄组的分布状况，故x*可称为稳定分布，它与初始分布x(0)无关．
2）由（3.14）式又可得到 x(k?1)??xi(k),i?1,2,?,n （3.15） 这表明k充分大时种群的增长也趋向稳定，其各年龄组的数量都是上一时段同一年龄组数量
??1的?倍，即种群的增长完全由L矩阵的唯一正特征根决定．显然，当??1时种群递增；
时种群递减，?可称固有增长率．
3）??1时种群总量不变． 由（3.11）式可知这个条件等价于
b1?b2s1???bns1s2?sn?1?1 （3.16）
若将（3.16）式左端记作R?b1?b2s1???bns1s2?sn?1 (3.17)
由这个表达式可以知道，R表示一个（雌性）个体在整个存活期内繁殖的平均数量，称为总和繁殖率．显然，R?1时种群总量不变．由（3.9）式可知此时稳定分布为
x?[1,s1,s1s2,?,s1s2,?,sn?1] （3.18）
*T根据（3.14）这个结果表明xi?1(k)?sixi(k),i?1,2,?,n?1 （3.19） 即当k充分大且R?1时，存活率si等于相邻两年龄组的种群数量xi?1(k)与xi(k)之比9试将（3.19）与（3.2）式进行比较）．
bi和si对种群增减的灵敏性分析 对于人工饲养的种群，各年龄组的繁殖率bi自然能够控
制，各年龄组的的存活率si也可以通过宰杀的比例来调整．对于一组已经给定的
bi(i?1,2,?,n) 和si(i?1,2,?,n?1)，人们希望知道其中哪些bi和si．如果把通过调整
bi和si能够使种群由增变减或由减变增视为作用显著，或称对种群增减的反应灵敏，那么
可以对这种灵敏性作如下分析．
首先，在稳定状况下可以证明，若总和繁殖率R?1则种群递增，若R?1则种群递减减（留作习题7）．下面对bi及si的灵敏性分别讨论． 先考察bi的灵敏性．设si固定，将R记作
R(b1,b2,?bn)?b1?b2s1???bns1s2?sn?1 （3.20）
对于现有的一组b10(i?1,2,?,n),若R(b10,b20,?bn2)?1 （3.21） 而存在某个bi，当bi?0时有R(b10,?,bi0?1,?bn0)?1 （3.22）
R(b1,b2,?bn)?1 （3.23）
002而存在某个bi，当bi?bi?（bi?是bi最大容量许值）时有
0000 R(b1,?,bi?1,bi?,bi?1,?bn)?1 （3.24）
0我们说这个bi(?bi)对于种群的增减是灵敏的．实际上，（3.21）、（3.22）式表明，当控制
第i年龄组不进行繁殖时，可使种群由增变减；（3.23）、（3.24）式表明，当控制第i年龄组有最大容许繁殖率时，种群由减变增．类似地，对于si，设bi固定，将R记作
R(s1,s2,?,sn?1)?b1?b2s1???bns1s2?sn?1 (3.25)
0000对于现有的一组s1(i?1,2,?,n?1)，若R(s1,s2,?,sn?1)?1 （3.26）
0000而存在某个si，当si?0时有R(s1,?,si?1,0,si?1?sn?1)?1 （3.27）
000或者若 R(s1,s2,?,sn?1)?1 （3.28）
0000而存在某个si，当si?1时有R(s1,?,si?1,1,si?1?sn?1)?1 （3.29）
0称这个si(?si)对于种群增减是灵敏的．读者不难对此作出解释（3.14）~（3.19）完全适用
于人口模型，当然指的是女性人口．而当性别比已知时就不难得到全体人口的状况．要人口模型中R称总和和生育率，即每个妇女一生平育的女儿数．不难理解，当R?1即每个妇女一生平均只生育一个女儿时，社会总人口不变．
2．4 人口的预测和控制
在实际应用中连续模型很不方便，需要建立相应的离散模型，因为第一，作为已知条件（输入）的统计数据都是离散的，如某某年各个年龄的女性生育率、死亡率、性别比等；第