这就是说y(n?m?1)是由y(m?1),y(m?2),?,y(m?n)唯一地确定．用这个方法可以构造出方程（2.1）的满足指定初始条件的解．
下面我们研究刻划性差分方程解的特点和各种方法．作为第一步，我们首先考虑一阶齐次差分方程 Ey(k)?p(k)y(k)?0 （2.3） 这个方程等价于 y(k?1)??p(k)y(k)
因此有 y(1)??p(0)y(0) y(2)??p(1)y(1)?(?1)2p(1)p(0)y(0)
y(3)??p(2)y(2)?(?1)p(2)p(1)p(0)y(0)3???
y(k)??p(k?1)y(k?1)?(?1)p(k?1)p(k?2)?p(1)p(0)y(0)
k?1令 t(k)?(?1)p(0)p(1)?p(k?1)?(?1)kk?i?0 p(i) （2.4）
且规定t(0)?1，则方程（2.3）的解可以表示 y(k)?t(k)y(0) （2.5） 由此可以得出下面定理
定理2.2 初值问题 Ey(k)?p(k)y(k)?0 y(0)?b 有唯一解 y(k)?t(k)y(0)?t(k)b 其中t(k)由（2.4）给出． 例1 考虑 Ey(k)?(k?1k?2k?1)y(k)?0 于是 p(k)??k?1k?2k?1,
因此 t(k)?(?1)k?[?i?0i?2i?1]?(?1)2k?i?0i?2i?1?234k?1????k?1 123k即 t(k)?k?1．所以 y(k)?t(k)y(0)?(k?1)y(0)表示了这个一阶齐次变系数差分方程的所有解．因为y(0)表示初值，亦可以看作任意常数．
2k?12例2 考虑初值问题 Ey(k)?(1?k)y(k)?0 y(0)?3．
解 这时p(k)?2k?12(1?k)，所以
kk?1k?1t(k)?(?1)k?i?0p(i) ?(?1)k?i?02i?12(i?1)?(?1)?k222?22?123232kk22?j?(?1)ki?i(k!)2
1k因为
?i?ij?k2(k?1),故t(k)也可以写成：t(k)?(?1)1k[2(k?1)]2(k!)2k所以
y(k)?t(k)y(0)?(?1)k[2(k?1)]2(k!)2k是这个初值问题的解。
在考虑一阶非齐次方程以前， 我们先回忆以下事实，即在定义1.10中，对于所有
k?N，我们假定pn(k)?0,对于Ey(k)?p(k)y(k)?0（2.3）而言，这个假设为：对所
有k?N,t(k)?0充分必要条件是：对所有k?N,t(k)?0。此外，如果对某个j，有
p(j)?0，则有t(j?1)?0；而且还有，对所有k?j?],t(k)?0。这是因为t(k)?(?1)p(k?1)p(k?2)?p(1)p(0),t(k?1)?(?1)k?1k而
p(k)p(k?1)p(k?2)?p(1)p(0)
?(?1)p(k)t(k)
即 t(k?1)?(?1)p(k)t(k)对所有k?N都成立。 下面考虑一阶非齐次差分方程 Ey(k)?p(k)y(k)?f(k)k?1(2.6)
定理2.3 单参数函数族 y(k)?t(k)?i?0f(i)t(i?1)?ct(k)
表示方程（2.6）之所有的解集，这里c是任意常量。
证 按定义，对所有k?N，p(k)?0，因此对于所有k?N，t(k)?0，
kk?ii?0t(k)?(?1)IIp(i),故方程（2.6）等价于y(k?1)t(k?1)?P(k)y(k)t(k?1)y(k)t(k)?f(k)t(k?1) (2.7)
注意到t(k?1)?(?1)p(k)t(k),故（2.7）为
y(k?1)t(k?1)??f(k)t(k?1)y(k)t(k)
此式可改写为?[y(k)t(k)?f(k)t(k?1) (2.8)
?t(k?1)f(k)???(k)
其中?(k)是周期函数，因为
y(k)t(k)是定义在k?N上，故?(k)?c（任意常量）。故
y(k)t(k)k?1??t(i?1)?ci?0f(k)是(2.8)的解，c是任意常数，由初始值确定。因此最终有
k?1y(k)?t(k)?i?0f(i)t(i?1)?ct(k)。它是方程 （2.6）的单参数解族。显然方程（2.6）的单数
解族也可以表示为y(k)?t(k)??f(k)t(k?1)，事实上此时任意常数c已包含在?k?2k?1kf(k)t(k?1)中.
例3 考虑一阶非齐次差分方程 Ey(k)?[此时，p(k)??k?1]y(k)?k(k?2)2 （2.9）
k?2k?1,f(k)?k(k?2)2．首先计算出函数t(k)，根据公式知
k?1k t(k)?(?1)k?i?02kp(i)?(?1)k?i?0(?1)i?2i?1I
k?1?(?1)?i?0(?1)i?2i?1?(?1)2k234123?kk?1k?1k?k?1
故得 t(k)?k?1，t(k?1)?k?2
f(k)t(k?1)由定理2.3知方程2.9的解为 y(k)?t(k)?因
?(k?1)?k?2
k?k?2?2(k?2)?c， c是任意常数，因此方程（2.9）的单参数解族为
y(k)?(k?1)(k?2)2?c(k?1) （2.10）
kkk下面我们解初值问题 Ey(k)?k?2k?1y(k)?k(k?2)2；y(0)?3 （2.11）
k?由（2.10）知 3?y(0)?1?(?2)?2?c ?c?5．故知此初值问题的解为
y(k)?(k?1)(k?2)2?5(k?1)．定理2.1指出，一个线性差分方程初值问题的解，总是
可一步一步地算出．下面举例说明．
例4 考虑初值问题E2y(k)?[k?1k?2]Ey(k)?2(k?1)(k?2)y(k)?0 （2.12）
y(0)?2,y(1)?4 (2.13)
方程（2.12）可以改写成 y(k?2)?k?1k?2y(k?1)?2(k?1)(k?2)12y(k) （2.14）
在（2.14）中令k?0，利用初值条件（2.13），我们得 y(2)?对于k?1,2,3?，我们有 y(3)?23?4?22?3?4?2?4 34?4?23?4?4?113?4?4 y(4)?
y(5)???411210???4?534?53
这个方法可以继续进行到算出所求的解y(k)值．
1.3 一般理论
本章§1.1中已指出，n阶算子 ??En?p1(k)En?1???pn(k)I （3.1） 是一线性算子．令H表示齐次方程 ?(y)?0 （3.2） 的所有解集合．这就是y(k)?H的充分必要条件是 ?[y(k)]?0．
因为，如果对于某个整数j，有 ?(y1)??(y2)????(yi)0 即齐次方程（3.2）有j解，则可推出y1,y2,?yi的所有线性组合，都是方程（3.2）的解．
i这是因为 ?[c1y1(k)?c2y2(k)???ciyi(k)]?的语言来说，这个结论可以陈述如下：
?ci?1i?[yi(k)]?0 用线性代数
定理3.1 齐次方程（3.2）的所有解的集合H是向量空间的V?的一个子空间． 定理3.2 令y1(k),y2(k),?yi(k)是V?的元．如果这些函数的线性组合等于函数的，只是平凡的线性组合，也就是，如果 c1y1(k)?c2y2(k)???ciyi(k)?0 蕴含
c1?c2??ci?0，则这个函数集合(y1(k),y2(k),?,yi(k))是线性无关的．如果这些函
数(y1(k)?yi(k))的某个非平凡线性组合等于零函数，则这个函数集合是线性相关的．
2例1 如果y1(k)?1，y2(k)?k，及y3(k)?k．此时考虑
c1y1(k)?c2y2(k)?c3y3(k)?0
(2)?0 （3.3）即 c1?c2k?c3k
(2)(2)?0 则由 ?[c1?c2k?c3k]?0 c2?k?c3?k(1)即 c2?2c3k?0 （3.4）
(1)(1)再由 ?[c2?2c3k]??c2?2c3?k]?2c3?0，故得c3?0；由（3.4）知c2?0；再
由知（3.3）c1?0因此这三个函数1,k,k(2)在k?N上是线性无关的．
例2 如果 y1(k)?1，y2(k)?k，y3(k)?k2及y4(k)?2k(2)?1，则因
y1(k)?2y3(k)?y4(k)?1?2k(2)?2k(2)?1，所以这个函数集
如果仅考虑前三个函数y1(k)，y2(k)，y3(k)，(y1(k),y2(k),y3(k),y4(k))是线性相关的；它们就是线性无关．
定义3.2 令f1(k),f2(k),?,fm(k)是V?的元，则m?m阶矩阵
?f1(k)?Ef1(k)?c(k)????m?1f1(k)?Ef2(k)Ef2(k)?Em?1????f2(k)??Efm(k)? ???m?1Efm(k)?fm(k)被称为函数f1(k),f2(k),?,fm(k)的Casorati矩阵．
对于给定的函数集 f1(k),f2(k),?,fm(k) c(k)是一个整数变量的矩阵函数，而det[c(k)]则是整数变量的一个实值函数．我们有以下结论．
定义3.2 如果f1(k),f2(k),?,fm(k)是V?的元，且这m个函数在N上是线性相关，则在N上det[c(k)]?0
证 因为这m个函数在N上是线性相关的，所以存在不全为零的常数c1,c2,?,cm，使得在N上 c1f1(k)?c2f2(k)???cmfm(k)?0 因此对每个非负整数i，0?i?m?1有
c1Ef1(k)?c2Ef2(k)???cmEfm(k)?0 （3.5）
T令L?(c1,c2,?,cm)是（3.5）中的系数构成的非零向量，因此方程组（3.5）可写成
iiiz(m?2)??1pn(m?2)?1pn(m?2)[En?p1(m?2)En?1???pn?1(m?2)E]z(m?2)
?[En?1?p1(m?2)En?2???pn?1(m?2)]z(m?1)?0
继续这个过程，我们可以导出 z(0)?Ez(0)???Ez(k)是零函数．
n?1z(0)?0．所以在这种情况下，