z(k)?Ak． （其中A是待定常数）
将其代入（4.21）的左端得 E2z(k)?3Ez(k)?2z(k)?z(k?2)?3z(k?1)?2z(k)
?A(k?2)?3A(k?1)?2Ak?1 [方程（4.21）的右端]
? A??1
故（4.21）的一个特解为z(k)??k．此时方程（4.21）的通解
． y(k)?c1?c2?2?k （c1，c2为任意常数）
2k (ii) a?2，这时方程（4.20）有如下形式 Ey?3Ey?2y?2 （4.22 ）
k由于t?2是辅助方程p2(t)?t2?3t?2?0的根，因此根据（4.22 ）右端函数的形式，我们令 z(k)?Ak?2k （A是待定常数）是（4.22 ）的特解．将其代入（4.22 ）以便定出常数A．
Ezy?3Ez(k)?2z(k)?z(k?2)?3z(k?1)?2z(k)
?A(k?2)?2k?22?3A(k?1)2k?1?2Ak?2kk?2 [（4.22）之右端]
A(k?2)4?3A(k?1)??2?2Ak?1 8A?6A?1 ?A?12
故得（4.22）的特解z(k)?k12k?2．从而（4.22）的通解是 12k?2kky(k)?c1?c2?2??c1?(c2?12k)?2． （4.23）
k其中c1，c2是任意常量
例10 考虑二阶线性非齐次差分方程 8Ey?6Ey?y?5sin? （4.24）
221由于方程右端的函数是正弦函数，故令（4.24）具有如下形式的特解
k?k?z(k)?Asin?Bscos
22其中A，B是两个待定常数，将其代入（4.24）之左端得
8Ez(k)?6Ez(k)?z(k)?8z(k?2)?6z(k?1)?z(k)?8[Asin?6[Asin1212(k?2)??Bcos(k?1)??Bcosk1212(k?2)?](k?1)?]?Asink?k22
?
?Bcos???7Asink??6Bsin2k?(7B?6A)cos? 22?(?7A?6B)?sin12k??(7B?6A)cosk2?
这个结果应当等于（4.24）的右端函数，即
(?7A?6B)?sin12k??(7B?6A)cos12??5sink2?
比较这个等式同类项的系数，得到
?6A?7B?0 ???7A?6B?5?A??717， B?617
所以z(k)??717sink2??617cosk2?是方程(4.24)的一个特解．
12此外(4.24)的齐次方程之辅助方程为p2(t)?8t2?6t?1?0?t1?故齐次方程的一对解基为 y1(k)?()，y2(k)?()
241k ，t2?14
1k因此原方程（4.24）的通解为．
1k1k6k?7ky(k)?c1()?c2()?(cos?sin?)．其中c1，c2是任意常量．
24172172上面的例题，给我们提供了求二阶、常系数、线性、非齐次差分方程
Ey(k)?a1Ey(k)?a2y(k)?f(k) (4.25)
2的特解的一些方法，总结这些方法，就可给出一般情况下，相应于特殊形式的函数f(k)，方程（4.25）所要求的特解形式，如表（3.2）中所示．
研究的方程 y(k?2)?a1y(k?1)?a2y(k)?f(k) （4.25） 表3.2
f(k) a sinbk或cosbk l特解形式 Asinbk?Bcosbk（A、B待定） Asinbk?Bcosbk（A、B待定） Ao?A1k?A2k2k n???Ank n(Ai特定i?0，1，?，n kank a(A0?A1k???Ank) kn(Ai待定，i?0，1，? n） akAsinbk?Bcosbk （A、B待定） 下面利用表3.2提供的特解形式，来处理二阶非齐次方程的求解问题． 例 考虑非齐交二阶方程 Ey?4Ey?4y?3k?2 （4.26） 此时（4.26）的齐次部分的辅助方程为 p2(t)?t?4t?4?0， 故t1?t2?2是重根．
22kasinbk或acosbk kk从而齐次方程 E2y?4Ey?4y?0的一对解基是 y1(k)?2k，y2(k)?k?2k．
下面来求（4.26）的特解．
由于方程（4.26）的左端函数中函有项3k，因此我们令z1(k)?A0?A1k是（4.26）的一个特解，其中A0、A1是待定常数；又因方程（4.26）右端中含有指数函数2k，故根据上表中的特解形式，我们应当令z2(k)?Ak?2k作为方程（4.26）的一另一个特解形式，可是由于k?2k是方程（4.26）的齐次方程的解，所以还要乘以k，即取z2(k)?Ak2?2k作为主程（4.26）相应于2k的特解形式才较为合适．之所以如此取法，主要是因辅助方程的根t1?t2?2是重根．综合上述讨论，针对（4.26）右端函数的形式，根据表中提供的特解形式，我们应当令 z(k)?A0?A1k?Ak2?2 （4.27）
k作为方程（4.26）的特解形式．其中A0，A1，A皆为特定常数．为了定出A0，A1，A三个常数，将（4.27）代入方程（4.26）的左端，得到
Ez(k)?4Ez(k)?4z(k)?z(k?2)?4z(k?1)?4z(k)
?A0?A1(k?2)?A(k?2)?2?A(k?1)?22k?12k?22?4[A0?A1(k?1)
2]?4(A0?A1k?Akkk?2)
k?A0?2A1?A1k?8A?2?3k??2[方程（4.26）的左右端]
kk即得 A0?2A?A1k?8A?2?3k?2
比较等式两端同类项的系数，即得到 A0?2A1?0， A1?3， 8A?1． 故 A0?6， A1?3， A?k18 这样一来，方程（4.26）的通解为
18k?2 （k?N）
2ky(k)?(c1?c2k)?2?6?3k?其中c1，c2为任意常数．
下面对高阶常系数线性差分方程进行研究，容易证明下面的结论： 定理4.2 如果p(t)是一个n次的多项式，且b1,b2,?bn是
p(t)?a0tn?a1tn?1???an?1t?an?0
nn?1???an?1E?anI)y(k)?0的一组解基为 的相异根，则 p(E)y(k)?a0E?a1E?y1(k)?b1k(i?1,2,?,n)k?N 因此p(E)y?0的含有n个参数的解族
?可以表为 y(k)?c1b1k?c2b2k???cnbnk．
在考虑一般p(t)?0有重根情形以前，先研究特殊的三阶方程
p3(E)y?Ey?3bEy?3bEy?by?0 （4.28）
3223这里b?0．显然其辅助方程为 p3(t)?t3?3bt2?3bt?b23?0
故有三重根 t1?t2?t3?b．这时 y1(k)?bk是方程（4.28）的一个解； 事实上，p3(E)y2(k)?y2(k?3)?3by(k?2)?3b2y(k?1)?b3y(k)?(k?3)bk?3
?3b(k?2)bk?2?3b(k?1)b2k?1?bkb3k?bk?3[k?3?3(k?2)?3(k?1)?k'?0
再则 y3(k)?k(2)bk是方程（4.28）的第3个解．
(2)k这是因为 (E?bI)y3(k)?(E?bI)[kb]
?E[k(2)b]?kk(2)bk?1?(k?1)k?1(2)bk?1?k(2)bk?1
?[(k?1)k?k(k?1)]b?2kbk?1?2by3(k)
故 (E?bI)y3(k)?2by2(k)
2其次 (E?bI)y3(k)?(E?bI)[2by2(k)] ?2b(E?bI)y2(k)?2bEy2(k)?2by2(k)
?2b(k?1)bk?1?2bkb2k?2bk?2(k?1?k)?2bk?2?2by1(k)
23最后 (E?bI)y3(k)?P(E)y3(k)
?(E?bI)?2by1(k)?2by1(k?1)?2by1(k)?2bb2232k?1?2bb3k?0
(2)k故 y3(k)?kb是方程（4.28）的第3个解，因此方程（4.28）的通解为
y(k)?[c1?c2k(1)?c3k(2)]b.
k 对于一般n阶差分方程的辅助方程有n重根时，我们有下列结论：
定理4.3 如果p(t)?(t?b)这里p?0，则差分方程P(E)y?(E?bI)y(k)?0的
kkk(n?1)kb． 一组解基为 y1(k)?b,y2(k)?kb,?,yi(k)?k(i?1)b,?yn(k)?knn(n?1)kn]b． 并且方程 P(E)y?(E?bI)y(k)?0的通解为y(k)?[c1?c2k???cnk关于齐次差分方程，还有下面的结论．
定理4.4 如果 P(t)?a0(t?b1)r(t?b2)r?(t?bm)r 其中b1,b2,?,bm是相异的
12m（实的或复的）不为零的数，则方程P(E)y?a0(E?b1I)r(E?b2I)r?(E?bmI)12rmy?0的一组解基为 Si{bik,kbik,k(1)bik,?k(ri?1)bi} (j?1,2,?m)定理4.4中的数
kb1,b2,?,bm均不为零，等价于假设p(0)?0．
例12 如果p(t)?3(t2?6t?12)3(t?7)4，则差分方程
P(E)y?3(Ek2?6E?12I)(E?7I)y?0的一组解基为
34y1(k)?(12)2cosk6k?， y2(k)?(12)2sin(2)k6?，y3(k)?ky1(k) ，
(2)y4(k)?ky2(k)， y5(k)?kky1(k)， y6(k)?k(2)ky2(k)，
(3)y7(k)?(?7)， y8(k)?k(?7)，y9(k)?(k)k(?7)， y10(k)?k(?7)．
k由p(t)?3(t2?6t?12)3(t?7)4?0知 t2?6t?12?0 t1,2?3?故 t1?3?3i?12(cos3i
?6?isin?6) ， t2?3?3i?12(cos?6?isin?6)
t1，t2都是三重根．对应于共轭复根t1与t2的二个实解为
ky1(k)?(12)2cosk6k?， y2(k)?(12)2sink6?．
由于它们都是三重根，所以对应的y3(y)、y4(y)、y5(y)、y6(y)都是方程的解；再则由 (t?7)?0知t3??7是四重根，因此上述y7(y)、y8(y)、y9(y)、y10(y)是方程之解．
4第二章 差分方程建模
在现实世界里有些对象涉及的变量本身就是离散的，自然可以用离散模型描述其数量关系，例如商人安全过河问题．也有些对象虽然涉及的变量（如时间）是连续的，但是从建模的目的考虑，把连续变量离散化更为合适．至于为了模型求解时利用计算机的需要，把连续模型离散化，则不在本章讨论之列．
一般地说，确定性离散模型包括的范围很广，例如用规划论和网络流等方法建立的模型，但是在这一章里我们将它的范围限制为用差分方程方法建立的模型．这样，本章所用的主要数学工具是差分方程和线性代数方法．