习题1
1-1 有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为f，质量为m，求它的弹性系数。 解：由公式fo?12?Km2得：Km?(2?f)m Mm1-2 设有一质量Mm用长为l的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子的质量和弹性均可忽略。试问：
（1） 当这一质点被拉离平衡位置?时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？ （2） 当外力去掉后，质点Mm在此力作用下在平衡位置附近产生振动，它的振动频率应如何表示？ （答：f0?12?g，g为重力加速度） l
图 习题1－2
解：（1）如右图所示，对Mm作受力分析：它受重力Mmg，方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T，这两力的合力F
就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。 设绳子摆动后与竖直方向夹角为?，则sin??受力分析可得：F?Mmgsin??Mmg?l
?l
（2）外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在F作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位移的方向相反。
d2?由牛顿定律可知：F??Mm 2dtd2??d2?g?Mmg 即 2???0, 则 ?Mmdt2ldtl ? ?0?2g1 即 f0?l2πg, 这就是小球产生的振动频率。 l
1-3 有一长为l的细绳，以张力T固定在两端，设在位置x0处，挂着一质量Mm，如图所示，试问： (1) 当质量被垂直拉离平衡位置?时，它所受到生？并应怎样表示？
(2) 当外力去掉后，质量Mm在此恢复力作用下率应如何表示？
(3) 当质量置于哪一位置时，振动频率最低？ 解：首先对Mm进行受力分析，见右图，
图 习题1-3
产生振动，它的振动频的恢复平衡的力由何产
Fx?Tl?x0(l?x0)2??2?Tx02x0??222?0（????x0 ，?x0） ??2?x0,(l?x0)2??2?(l?x0)2 。
Fy?T?(l?x0)2??2?T?2x0??2?T?l?x0?T?x0?Tl?
x0(l?x0)Tl。
x0(l?x0)可见质量Mm受力可等效为一个质点振动系统，质量M?Mm，弹性系数k?（1）恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为F?Tl?，方向为竖直向下。
x0(l?x0)（2）振动频率为??K?MTl。
x0(l?x0)Mml时，系统的振动频率最低。 2（3）对?分析可得，当x0?1-4 设有一长为l的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的x0位置处悬有一质量为M的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M时，绳子向下产生静位移?0以保持力的平衡，并假定M离平衡位置?0的振动?位移很小，满足????0条件。
图 习题1－4
2Tcos??Mg???4???0?Mg 解：如右图所示，受力分析可得 cos??0??l1?l?2?又????0，T'?T，可得振动方程为 ?2T?0??l2
d2?d2?4T4T?M2即 M2?????0
dtdtll? f?12?4Tl1?M2?Mg1??0M2?g?01-5 有一质点振动系统，已知其初位移为?0，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。 解：设振动位移???acos(?0t??)，速度表达式为v???0?asin(?0t??)。由于?12t?0 ??0，vt?0?0，
代入上面两式计算可得：?222??0cos?0t ；v???0?0sin?0t。振动能量E?Mmva?Mm?0?a。
121-6 有一质点振动系统，已知其初位移为?0，初速度为v0，试求其振动位移、速度、和能量。
解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为Km，质量为Mm，取正方向沿x轴，位移为?。
d2?Km22????0, 则质点自由振动方程为 （其中??,） 00dt2Mm 解得
???acos(?0t??0),
v?d????0?asin(?0t??0??)??0?acos(?0t??0?) dt21?222?????va000??0??acos?0??0??当?t?0??0，vt?0?v0时， ? ? ??vv???cos(??)00a0????arctan0?20??0?0?质点振动位移为??1?0222?0?0?v0cos(?0t?arctanv0?0?0)
质点振动速度为v?222?0?0?v0cos(?0t?arctan?)
?0?02v0?质点振动的能量为E?112222Mmva?Mm(?0?0?v0) 221sin2?t，试问： 21-7 假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加??sin?t?(1) 在什么时候位移最大？(2) 在什么时候速度最大？
1d2?d???cos?t??cos2?t???2sin?t?2?2sin2?t。 解：???sin?t?sin2?t， ?22dtdt令
2k???3d???0，得：?t?2k??或?t?2k???，经检验后得：t?时，位移最大。
?dt32k?d2?1令2?0，得： ?t?k?或?t?2k??arccos(?)，经检验后得：t?时，速度最大。
?4dt1-8 假设一质点振动系统的位移由下式表示???1cos(?t??1)??2cos(?t??2)
试证明
???acos(?t??)
?1sin?1??2sin?2
?1cos?1??2cos?222其中?a??1??2?2?1?2cos(?2??1)，??arctan证明：???1cos(?t??1)??2cos(?t??2)
??1cos?tcos?1??1sin?tsin?1??2cos?tcos?2??2sin?tsin?2 ?cos?t(?1cos?1??2cos?2)?sin?t(?1sin?1??2sin?2)设 A??1cos?1??2cos?2 ，B??(?1sin?1??2sin?2) 则 ??Acos?t?Bsin?t=
BA2?B2cos(?t??) （其中??arctan(?)）
A2又 A2?B2??12cos2?1??2cos2?2?2?1?2cos?1cos?2??12sin2?1??22sin2?2?2?1?2sin?1sin?2 2 ??12??2?2?1?2(cos?1cos?2?sin?1sin?2)??12??22?2?1?2cos(?2??1)
n(又 ??arcta? 则
B?sin?1??2sin?22222)rctan1(令 )?a?A?B??1??2?2?1?2cos(?2??1) ?aA?1cos?1??2cos?2???acos?(t??)
1-9 假设一质点振动系统的位移由下式表示
???1cosw1t??2cosw2t (w2?w1)试证明???acos(w1t??)，
其中?a??sin(?wt)?12??22?2?1?2cos(?wt),??arctan2,?w?w1?w2.
?1??2cos(?wt)解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。 由余弦定理知，
?a??12??22?2?1?2cos(w2t?w1t)
??1??2?2?1?2cos(?wt)
其中，?w?w2?w1。 由三角形面积知，
2211?1?2sin?wt??1?asin? 22得 sin???2sin?wt
?a?2sin?wt?a??2sin?wt222得 tg??
??2sin?wt(?1??2cos?wt)2??2sin?wt?2sin?wt故 ??即可证。
?1??2cos?wt?1??2cos?wt1-10 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量Mm上附加一已知质量m，并测得由此而引起的弹簧伸长ξ1，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之.
证 由胡克定理得 mg＝Kmξ1 ? Km＝mg/ξ1 由质点振动系统固有频率的表达式f0?12?KmKmmg得，Mm?. ?2222Mm4?f04?f0?1纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.
1-11 有一质点振动系统，其固有频率f0为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm上附加一质量m，并测得由此而引起的系统固有频率变为f0’,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试证明之。
解：由 f0?12?Km1 得 Km?(2?f0)2Mm由 f0??Mm2?mf0?f02Km 得 Km?(2?f0?)2(Mm?m,)
Mm?m联立两式，求得Mm?4?2mf0f0?，Km? 222?f0?f0?f0?2221-12 设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程，并求出它们的等效弹性系数。
图 1-2-3
图 1-2-4
K1mK2mK1mK2md2?解： 串接时，动力学方程为Mm，等效弹性系数为。 K????02K1m?K2mK1m?K2mdtd2??(K1m?K2m)??0，等效弹性系数为K?K1m?K2m。 并接时，动力学方程为Mm2dt1-13 有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧压缩0～100mm可称0～1kg。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4kg，然后，使它振动一下，测得其振动周期为1s，试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？
解：设该岩石的实际质量为M，地球表面的重力加速度为g?9.8ms，月球表面的重力加速度为g? 由虎克定律知 FM??Kx,又 FM??Mg 则 K?2Mg1?g??10g x0.1