T?又
2??0?2?10g10?9.8M?2.5kg ?1 则M?2?4?4?2Kx1K?x??4?2?0.04?1.58ms2 则 x??0.04mMg??Kx?则g??x?0.4M故月球表面的重力加速度约为1.58ms2，而该岩石的实际质量约为2.5kg。
sinn1-14 试求证acos?t?acos(?t??)?acos(?t?2?)???acos(?t?(n?1)?)?a?2cos??t?(n?1)??
???2??sin2证 aej?t?aej(?t??)?aej(?t?2?)???aej(?t?(n?1)?)
j?tj?j?t?ae(1?e?)?ae2sin21?ejn?j?t1?cosn??jsinn? ?ae1?cos??jsin?1?ej??aej?t?aej?tn?n?n?n??jsinn?sinsin?jcos22?22 ?aej?t????2sin2?jsin?sinsin?jcos2222n??j(??n?)n?n?sinsinsinn?1n?122j?j(?t??)ej?t2?2?e2?a2?e2 ?aesin?2e?1?j(??)22sin?2sin?2同时取上式的实部，结论即可得证。
1-15 有一弹簧Km在它上面加一重物Mm，构成一振动系统，其固有频率为f0， (1) 假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？
(2) 假设重物要加重一倍，而要求固有频率f0不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？ 解：固有频率fo?12?Km。 Mm（1）f0?f0K ? Km?m，故应该另外串接三根相同的弹簧； 24M??Mm?m（2）?2 ? Km?2Km，故应该另外并接一根相同的弹簧。
??f0?f01-16 有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质量为Mm，弹性系数为Km。试求该扬声器的固有频率。 解：该扬声器的固有频率为 f0?1Km。
2πMm1-17 原先有一个0.5㎏的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2㎏的质量附加在
其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m，当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5㎏质量的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算：
（1）这一系统的力学参数Km，Rm，f0’；
（2）当0.2㎏的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量； （3）在经过1s后，系统具有的平均能量。 解：（1）由胡克定理知，Km＝mg/ε
所以 Km＝0.2×9.8/0.04=49N/me 故
???1/e???1
??Rm1''?Rm?1N?s/mw0?w0??2?f0?2?2Mm11Km?2??49?0.042?0.0392J 2249?1?1.57Hz 0.5（2）系统所具有的能量E?（3）平均能量E?12Km?0e?2?t?5.31?10?3J 21-18 试求当力学品质因素Qm?0.5时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻??0，v?v0，试讨论解的结果。
d2?d??R?Km??0 解：系统的振动方程为：Mmmdtdt2Rmd2?d???2??0 进一步可转化为，设??，2?2?dt2Mmdt设：??ei?t 于是方程可化为：(??2?2j????02)ej?t?0
220解得：??j(?????)?? 方程一般解可写成：???t?e2?(???2??0)t
?e(Ae2?2??0t?Be2??2??0t)
v02???220?存在初始条件：?t?0?0，vt?0?v0代入方程计算得：A??，B?v02???，B?220
?解的结果为： ??e??t(Ae2?2??0t?Be2??2??0t)其中A??v02???220v02???220。
1-19 有一质点振动系统，其固有频率为f1，如果已知外力的频率为f2，试求这时系统的弹性抗与质量抗之比。 解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为
KM?，质量抗为?MM
24?2f02(50)2KM?01)(?MM)＝2? 已知 f0?50Hz，f?300Hz 则 ( ?2?22??2??MM?4?f(300)36KM11-20 有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg，弹性系数为150N/m的弹簧上，试问：
(1) 这系统的固有频率为多少？
(2) 如果系统中引入5kg/s的力阻，则系统的固有频率变为多少？ (3) 当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？ (4) 相应的速度与加速度共振频率为多少？ 解：(1) 考虑弹簧的质量，f0?12?Km1?Mm?Ms/32?150?2.76Hz.
0.4?0.3/3(2) 考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量Mm'为Mm+Ms / 3.
??Rm2Mm'?5?5，f'?1?2??2?1002?0.52?2?'?0Mm150?52?2.64Hz.
0.4?0.3/3(3) 品质因素Qm?Rm?116.58?0.5?2.39Hz. ?1.66，位移共振频率：fr?f0'1?252Qm'(4) 速度共振频率：fr?f0'?2.64Hz，加速度共振频率：fr?Qmf01?12Qm2?2.92Hz.
1-21 有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与总的振动能量之比等于
2?。 Qm12RmvaTR1E22解：系统每个周期损耗的能量E?WFT?RmvaT ? ??m，
2E1fMm2Mmva2发生速度共振时，
f?f0。?
RmE2?2????。
?MEf0MmQm0mRm1-22 试证明：（1）质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有频率f0；（2）假定f1与f2为在f0两侧，其平均损耗功率比f0下降一半时所对应的两个频率，则有Qm?证明：（1）平均损耗功率为 WR?质点强迫振动时的速度振幅为 va?f0.
f2?f11T12Wdt??Rv （Rm为力阻，va为速度振幅） Rma?0T2FaQmz?0Mmz?(z?1)Q2222m,(Fa为外力振幅，?0为固有频率，Mm为质量，Qm为
力学品质因素，频率比z??f?） ?0f0当z=1即f?f0时，发生速度共振，va取最大值，产生最大的平均损耗功率。
2Fa2Qm11122（2）WR??Rmva WRmax??Rmvamax＝?Rm22
222?0Mm22Fa2Qm11Fa2Qm1122 WR=WRmax 则 ?Rmva＝?(?Rm22) 即2va＝22（1）
22?0Mm22?0Mm 把va?FaQmz2?0Mmz2?(z2?1)2Qm2，则z2?(z2?1)2Qm（2） ,带入式（1）
由式（2）得?z?(z?1)Qm解得z?22?1?1?4Qm2Qm21?1?4Qm取z1?2?1?1?4Qm2Qm21?1?4Qm
z?(z2?1)Qm解得z?2Qm 取z2?2Qm
则 z2?z1?f0fff?f111即2?1?2 ?? Qm?Qmf2?f1f0f0f0Qm1-23 有一质量为0.4㎏的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m的弹簧上，设系统的力阻为2N·s/m，作用在重物上的外力为FF?5cos8tN。
（1）试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；
（2）假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为5N，那么这时系统的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？
d2?d?d2?d??R?K??F0.4?2?160??5cos8t 解：（1）由强迫振动方程Mm，得mmFdtdtdt2dt2则位移振幅?a?Fa(Km?wMm)?wRm2222?0.0369m速度振幅va?w?a?0.296m/s
12Rmva??0.0876(w) 2加速度振幅aa?w2?a?2.364m/s2平均损耗功率P??（2）速度共振时fr?f0?'12?KmR?(m)2?3.158Hz Rm2Mm则位移振幅?a?Fa(Km?wMm)?wRm22222?0.126m速度振幅va?w?a?2.495m/s
12加速度振幅aa?w2?a?49.6m/s2平均损耗功率P??Rmva??6.225(w)
1-24 试求出图1-4-1所示单振子系统，在t?0，??v?0 初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论??0与??0两时解的结果。
解：对于强迫振动，解的形式为：
'???0e??tcos(?0t??0)??acos(?t??)
种情形下，当???0其中?a?Fa?，???0?。初始条件：??0，v?0， 代入得：?0cos?0??acos??0
2?Zm'???0cos?0??0?0sin?0???asin??0
解得：
?0??a222,22?(cos?)??(sin?)?2??cos?sin???(cos?)0'?0'?0cos?2222'202?0???arccos2?(cos?)??(sin?)?2??cos?sin???(cos?)22,22
令G??(cos?)??(sin?)?2??cos?sin???0(cos?) 得：???a??t'Gecos(?t??0)??acos(?t??)。 0'2?0Xm???'?，???0?，?0??，?0??，?0??a，
22Rm2当??0时，Rm?0，?0?arctan????acos(?0t??2)??acos(?t??)???a(sin?0t?cos?t)。当???0时，?a??，达到位移共振。
21-25 有一单振子系统，设在其质量块上受到外力Ff?sin1?0t的作用，试求其稳态振动的位移振幅。 2d2?d?111?Km??FF(t)?sin2(?0t)??cos?0t 解：此单振子系统的强迫振动方程为 Mm2?Rmdtdt222d2?d?1d2?d?1?K??M?R?K??cos?0t （2） 则 Mm2?Rm （1）mmmmdtdt2dt2dt2由式（1）得 ??1令???Fej?t代入式（2）得 ?F?2Km12?j???12Km?)??0?
?0?Rm?j(?0Mm?则 ?F?2?0?Rm?(?0Mm???Km?)2??0?12＝
111? ? ?A?
2?0Rm2Km2?0Rm1-26 试求如图所示振动系统，质量块M的稳态位移表示式.
K1,R1MFaejwtK2,R2
解：对质量块进行受力分析，可得质量块M的运动方程为：
???(R?R)???(K?K)??Fejwt M?1212a