习题2
2-1 有一质量为m，长为l的细弦以F的张力张紧，试问：
1) 当弦作自由振动时其基频为多少？2) 设弦中点位置基频的位移振幅是B，求基频振动的总能量。 (3) 距细弦一端l4处的速度振幅为多少？解：（1）简正频率fn?mnT，且线密度??
l2l?216T?016TB21T1T??基频f1?。（2）基频振动的总能量E1?。（3）弦的位移的总和形式?2l?2mll?2l?2??(t,x)??(t,x)??Bnsinknxcos(?nt??n)速度表达式为v(t,x)???(?Bn?nsinknx)sin(?nt??n)
?tn?1n?1??距一端0.25m处的速度振幅Va?x?l4?nTn?lTn???Bn?2??sin(?) ??n?Bn sin2l?l4ml4n?1n?1? Vax?3l4?nTn?3lT3n???Bn?2??sin(?)??n?Bn sin2l?l4ml4n?1n?12-2 长为l的弦两端固定，在距一端为x0处拉开弦以产生?0的静位移，然后释放。 （1）求解弦的振动位移；（2）以x0?l3为例，比较前三个振动方式的能量。 解：弦的振动位移形式为：?(t,x)?其中kn??sinkn?1?nx(Cncos?nt?Dnsin?nt)
n?n?c，?n?，Cn?Bncos?n，Dn?Bnsin?n ll??0x??x0（1）由初始条件可得：?(t?0)????0(l?x)??l?x0v(t?0)?(??)t?0?0?t(0?x?l)
(0?x?x0)
(x0?x?l)2l?C??(x)sinknxdx??nl?00又?
2lv0(x)sinknxdx?Dn??0?l?n?l??02?0l22?x0?0n?xsinknxdx??(l?x)sinknxdx??22sinx0 则Cn???0x0l?x0l?x0l?n?x0(l?x0) Dn?0 则sin?n?0??n?n? Bn?Cn
?2?0l22?n?2?xn?c?(t,x)??Cnsinxcos(?nt??n)??22sinx0sincost
lllln?x(l?x)n?1n?100n2?2c2?2n2?2T2Bn?Bn （2）En?4l4l1当x0?l时，Bn?Cn?32?0l29?n?ln?sin??202sin ll33n?22ln?(l?)3322T?0243T?0?2T9?0?2243E2?(sin)?则E1?E3?0
4l?2364?2l16?2l2-3 长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v0敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。 解：弦的振动位移表达式为?(t,x)??sinkn?1?nx(Cncos?nt?Dnsin?nt)
??(t,x)???sinknx(??nCnsin?nt??nDncos?nt) ?可得速度表达式为v(t,x)??tn?1由题可得初始条件：?t?0?0；
???tt?0l?2v0x,0?x??l2 ??l2v?2v0?0x,?x?l2l?通过傅立叶变换可得：Cn?0；Dn??4v0kl(?sinkl?2sin)。 332kl?n?位移表达式为?(t,x)??Dnsinknxsin?nt其中Dn?n?14v0kl(?sinkl?2sin)。 32kl3?n2-4 长为l的弦两端固定，在初始时刻以速度v0敲击弦的中心，试证明外力传给 弦的初动能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。
??(t?0)?0
??l
解：初始条件???x?2
?v0?
???tt?0
弦的总位移为?(t,x)??n?1?sinknx(Cncos?nt?Dnsin?nt),
其中Cn?Bncos?n,Dn?Bnsin?n，（?n?又Dn??nπc,kn?n）
cl2v0l(1?cosn?) n2?2c2l?n?l0v0(x)sinknxdx＝
2l?n?l0v0sinknxdx＝
Cn?0当n为偶数时，D2?D4?D6???0
当n为奇数时，D1?故Bn?Dn，?n?0
4v0l14v0l14v0lD?D?，，，? 35?2c9?2c25?2c24Tv0l11T222??) 又弦振动时的总能量为E??En??(nπBn)＝22(1???c9254ln?1n?1??222l?124Tv0l?2Tv0lTv012T122v(l?)mvc?mv0 ＝22()＝＝＝ ＝＝ （）外力传给弦的初始动能为＝EE00k0k022?22T22c?c82-5 设有一根弦，一端固定而另一端延伸到无限远(即认为没有反射波回来)，假设在离固定端距离l处，施加一垂直于弦的力F?Faej?t，试求在x?l力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。
提示：在弦的力作用点处，应有连接条件：?1??2和T??1???T2?F。 ?x?x2-6 有长为l，线密度为?的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物M，已知弦所受的张力T，如图所示。试求(1)该弦作自由振动时的频率方程；(2)假设此重物M比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。
图 2－6
解：（1）由题意可知其初始条件和边界条件
??x?0?0?为????2???Tx?l?M?x?t2?弦
的
振
x?l动位移为
?(t,x)?(Acosx?Bsinx)cos(ut??)（其中u??n?2πfn）
当?x?0ucuc??uu??Businxsin(ut??) ?0时，得A?0则?(t,x)?Bsinxcos(ut??)?tcc??uuu?2?2??Businxcos(ut??)?Bcosxcosut(??) 2?xccc?t带入边界条件可得： ?TBuuuuTcoslcos(ut??)??MBu2sinlcos(ut??) 即 tanl?
cMcucccuuTuTl?lMSTltanl?l??? （其中c?, 弦的质量为Ms，线密度为?） ccMcucMMc2M?令r?Mul，??S，则rtanr??，这就是弦作自由振动时的频率方程。 cM??3??4?422??.r?? 可简化为 ??（2）当Mm< 11??3?1??3则 r2???11??3?MS?M2?fnuT11l，c??Ms?,Ms??l 又r?l?MsMscc?1?M?3M3则f0?1c?Ms?2?l1MM?s31M?Ms3＝ 12?T?Ms??l21MM?s3 ＝ 12?T?Ms?lMs＝ 12?KmT （其中Km?） MlM?s32-7 长为l的棒一端固定一端自由，如果在初始时刻有沿棒的轴向力作用于自由端，使该端产生静位移ξ0，然后释放. 试求棒作纵振动时各次振动方式的位移振幅. 解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??). ??|x?0?0?由棒一端固定一端自由的边界条件得????0??x?x?l由(1)式?Acos(wt??)?0?A＝0. (1)(2) 由(2)式?kBcosklcos(wt??)?0?coskl?0?kn?(n?)1?2l(n?1,2,3,?). 由此各阶简正频率对应的位移表达式为?n(t,x)?Bnsinknxcos(?nt??n). 棒的总位移为各简正频率位移之和，即?(t,x)??Bn?1?nsinknxcos(?nt??n). ?0??|?x?t?0?l?棒的初始条件为?????0???tt?0(3) (4)2l?0(x)sinknxdx l?0由(4)?sin?n?0??n?n?.由(3)?Bncos(??n)??Bn?(?1)n?2?02l?0. x?sinkxdx??n?2l?0l(n??)22-8 有一长1m、截面为1×10-4m2的铝棒( ρ=2.7×103kg/m3)，两端自由. (1) 试求棒作纵振动时的基频，并指出在棒的哪一个位置位移振幅最小？ (2) 如果在一端负载着0.054kg的重物，试问棒的基频变为多少？位移振幅最小的位置变到何处？ 解：由(2-2-7)式得棒的纵振动一般表达式为?(t,x)?(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??). ?????x?由棒两端自由的边界条件得???????x?0x?0(1) ?0x?l(2)由(1)式?Bkcos(wt??)?0?B＝0. 由(2)式?kAsinklcos(wt??)?0?sinkl?0?kn?n?l(n?1,2,3,?) ?fn??nkncnc??. 2?2?2lc16.85?1010(1) 棒作纵振动的基频为f1???2520Hz. 32l2?12.7?10该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?A1cosk1xcos(?1t??1). 当cosk1x?0，即x?(n?)l时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x?移振幅最小. (2) 当在一端负载时，由(2-2-25)得 12l?0.5m的点位2Mtankl??m??0.2，即tank??0.2k，利用数值方法可以求得k1=2.65. klm该简正频率下的位移表达式为：?1(t,x)?A1cosk1xcos(?1t??1). 1(n?)?2时，位移振幅最小且为零，由于x的取值范围为[0, l]，得知x1=0.59m的点位移当cosk1x?0，即x?2.65振幅最小. 2-9 有一长为l的棒一端固定一端有一质量负载Mm。（1）试求棒作纵振动时的频率方程；（2）如果棒的参数与2-8相同，试求其基频，并指出在棒的哪一位置位移振幅最大？ kx?Bsinkx)coswt(??) 解：（1）棒的位移方程为 ?(t,x)?(Acos?(x?0)?0?A?0???ctgkl2Mm ??由边界条件得：??????ES()??M()x?lmx?l??m?kl?x?t2?故频率方程为：ctgkl?Mmkl m（2）将2-8参数代入得ctgkl?0.2kl,(Mm?0.2)?ctgk?0.2k mk1c?1.05?103（Hz）基频振幅为：?1?Bsink1x,(0?x?1) 2?由牛顿迭代法知： k1 =1.3138则 f1?当x=1时，sink1x达到最大，即振幅最大。 2-10 试分别画出两端自由和两端固定的棒，作n=1,2模式的自由纵振动时，它们的位移振幅随位置x的分布图。 解：两端自由的棒：