（2）当kr0??1时，P??0c0r0uarej(wt?kr)球源半径比原来增加一倍，即P??2?0c0r0uarej(wt?kr)?2P
2PP???Pa?2Pa?Pe?2Pe所以LP?20lge?20lge?20lg2故辐射声压增加了20lg2=6dB
PrefPref6-2 设以离开脉动球源中心为r的地方作参考点，试求距离为2r，4r，10r等位置上的声压级之差等于多少分贝？观察者从距球心为1m及10m的地方，分别移动同样的距离Δr＝1m，观察到的声压级的变化相等吗？如果不等，问各等于多少？解：距离脉动球源中心分别为r1、r2(r1 ?L?20log10pe1ppr?20log10e2?20log10e1?20log102 r1prefprefpe2(1) 当r1＝r，r2=2r时，ΔL=20log102=6dB；r2=4r时，ΔL=20log104=12dB；r2=10r时，ΔL=20log1010=20dB. (2) 当r2＝r1＋1，r1＝1时，ΔL=20log102=6dB；r1＝100时，ΔL=20log101.01=0.086dB。 6-3 已知脉动球源半径为0.01m，向空气中辐射频率为1000Hz的声波，设表面振速幅值为0.05ms，求距球心 50m处的声压及声压级为多少？该处质点位移幅值、速度幅值为多少？辐射声功率为多少？ ?0c0kr02Aj(?t?kx)j?解：球面波声压表达式为p?e，其中A?， u(kr?j)?Ae02ar1?(kr0)A?1ua，??arctan()。代入数值计算得A?0.037(Pa?m)，??79.65? kr01?(kr0)2?0c0kr02pe7.4?10?4求距球心50m处的声压pa??7.4?10Pa声压级SPL?20lg?20lg?28.35(dB) ?2rpref2?2?10?4Apa速度幅值va??0c01?(kr)2v?1.78?10?6(ms)位移幅值?a?a?2.83?10?10(m) kr?(kr0)21122辐射声功率Wr?Rrua??0c0S0ua?2.10?10?5(W) 2221?(kr0)6-4 空气中一半径为r0的脉动球源，辐射fHz的声波，欲在距球心r的地方得到声压级Lp，问球源表面振速的幅值应为多少？辐射声功率为多大？ 解：由 Lp?20log102LpLpA?ckruape000 得pe?pref?1020 则pa?2pe?2pref?1020又 A?，pa? ， 2rpref1?(kr0)par1?(kr0)22?f2π2π2?0.19m/s?（k?）vra? W?A?(rpa)2?3.04?10?4W 2?0c0kr0c0c0?0c0?0c0?6-5 设一演讲者在演讲时辐射声功率Wr?10W，如果人耳听音时感到满意的最小有效声压pe?0.1Pa，求在无限空间中听众离开演讲者可能的最大距离。 ?32pe2?320.1解：辐射声功率Wr?4?r，代入数值得：10?4?r?得：r?1.82(m)，因此，最大距离为1.82m。 415?0c026-7 半径为0.005m的脉动球向空气中辐射f =100Hz时的声波，球源表面振速幅值为0.008m/s，试求辐射声功率。 2??0c0k2r0ua2??0c0k2r0ua2?2?解：平均辐射声功率w? A，即w?22?0c0?0c01?(kr0)1?(kr0)由于kr0?224242w2??10042r0??0.005?9.13?10?3??1所以w?2??0c0k2r0ua?3.49?10?10（J） c0344j2?100te6-8 设有两个半径为0.005m的脉动球中心相距15cm，两个球面振速均匀为u?0.008率为多少？与6-7题结果相比较，说明了什么？ 解：两个小球总辐射声功率W?W1?W2??0c0S0(kr0)(1?其中：r0?0.005m，l?0.15m。 2，试问总辐射声功 sinkl2)ua?1.38?10?9(W) kl6-10 将频率为100Hz，辐射声功率0.1W的点声源放在宽广的水面附近的空气中，试求： (1) 在离声源1km远处水面附近的声压； (2) 离声源1km垂直高处的声压。 解：由(6-1-22)得W?W?0cc02?2A，则A??8.13Pa. ?0c02?Ar?0.008pa. (1) 因为是宽广的水面，沿水面附近传播的声波不发生反射，离声源1km处点的声压为pa?(2) 水相对于空气是绝对硬边界，可以假设垂直入射到水面的声波发生全反射，且假设声源是很贴近水面的，则pa?2Ar?0.163pa. 6-11 两个频率相同、源强分别为Q01和Q02的同相振动点声源相距l排列，如图6-11所示。证明离声源很远处的声压为p?jk?0c0j(?t?kr)?cos?l?cos?le[(Q01?Q02)cos()?j(Q01?Q02)sin()] 4?r??解：在点P的声压有p?p1?p2?A1j(?t?kr1)A2j(?t?kr2) e?er1r2其中Ai??0c0kr021?(kr0)2ua(kr0?j)，i?1,2。对两个点声源k0r??1，因此可得Ai??0c0kr02ua?j。 jk?0c0r02jk?0c0r02j(?t?kr1)p?ua1e?ua2ej(?t?kr2)（*）在离声源很远处，有r1?r??，r2?r?? r1r2jk?0c0r02j(?t?kr)l?l其中??cos?。p?e(ua1ejk??ua2e?jk?)再将Q0?4?r02ua，k??cos?代入（*）式得 2?r1p?jk?0c0j(?t?kr)?lcos??lcos?e[(Q01?Q02)cos()?j(Q01?Q02)sin()] 4?r??6-12 两个频率相同，源强分别为Q01和Q02的振动点声源相距l排列，如果令Q01??Q02，即两个点源组成偶极 子，证明所得的结果与（6－2－3）式相同。如果令Q01?Q02，即两个相等源强的同相点源，证明所得结果与（6－3－2）相同。 解：（1）当Q01??Q02时 r??r?llcos? ， r??r?cos? 22设点声源Ⅰ在p处产生声压为p1，点声源Ⅱ在p处产生声压为p2，在点p得总声压为p。 ?t-k(r+??cosA)A1j?A1j?(t?k1r)(2?? p1?e?1ej??er1r1r1?l?l?jkco?st-kr)2e其中 A1?2?0c0kr011?(kr01)2u1a(kr01?j) （kr01?1） l??lj??t-k(r+cos?)?jkcos??ckAAAj(?t?kr)22?2?j00Q01 (Q01?4?r01 ?j?0c0k2r?2ej(?t-kr)e2 u1u1a)p2?2e?2e?01a4?r2r2r22?0c0kr02其中 A2?1?(kr02)2u(kr02?j) （kr02?1） ?j?0c0kr02u2a?j22a?0c0k2Q02 (Q02?4?r02u2a) 4?llllcos?cos??jkcos?jkcos???0c0kA1j(?t-kr)?jk2A2j(?t-kr)jk2j(?t-kr)?2 ?je?ee?p?p1?p2?eQ01e?e2? （r01?r，r02?r，?er1r24?r??Q01??Q02） ??ckAj(?t-kr)kl2e(?2jsin(cos?)) （其中A?j00Q01?j?0c0kr01u1a） r24?llcos?cos?A1j(?t-kr)?jk2A2j(?t-kr)jk2（2）当Q01?Q02时p?p1?p2? ee?eer1r2?ck( ?j00Q01ej?4?rAj?e(rAj?( ?er ?t-kr)l?jkco?st-kr)2??e??ejkl2c?os?? （r01?r，r02?r，Q01?Q02） ?lkl2cos(c?o s ）) （令??sin?） 22?cksri)nk2?t-k2 （其中A?j00Q01?j?0c0kr01u1a） sink?4??6-13 求两个频率相同，源强相等，相位差的点声源相距为l时的远场辐射声压。 2解： k?0c0Q0j(wt?kr1)k?0c0Q0j(wt?kr2)P?Pe?je 1?P2?j4?r14?r2又r1?r?llsin?，r2?r?sin?，振幅部分r1、r2可用r来代替，则 22P?jk?0c0Q0j(wt?kr)jk?le(e?e?jk?)，令??sin? 4?r2k?0c0Q0j(wt?kr)e[(cosk??sink?)?j(cosk??sink?)] 4?r? ?j?jj(wt?kr?)k?cQ2k?0c0Q04?j000ej(wt?kr)2(cosk??sink?)e4?j(cosk??sink?)e 4?r4?r?6-14 证明如图所示的绝对软分界面前偶极子的远场辐射声压p?jp2kADcos??e?jkrcos(kDcos?)ejwt. rD+-?D/2软 解：由镜像原理知，绝对软边界对声源的影响等效于一个反相的的虚声源. 由声压叠加原理得远场任意p点得声 ?Aj(wt?kr?)Aj(wt?kr?)??Aj(wt?kr?')Aj(wt?kr?')?? ??e??e?'e压表达式为p??'?re???r?r?????r??其中，r??r?3DDD3D''cos?，r??r?cos?，r??r?cos?，r??r?cos?. 2222考虑远场的声压时，即假设r>>D，则由四个小球源辐射的声波达到观察点p时，振幅差别甚小，可用r代替r+，r-，r+'，r-'，但是它们对相位的差异不能忽略. kDkD3kDcos?)j(wt?kr?cos?)?j(wt?kr?cos?)j(wt?kr?cos?)??Aj(wt?kr?3kD?AAA2222???? p??e?e??e?e??rr?r??r?3kDkDkD3kDjcos??-jcos?-jcos????Aj(wt?kr)??j2cos?222???e?? ?ee?e?e??????r????????kDkDkD-jcos??cos?-jcos????jkDAj(wt?kr)?jkDcos??j2cos?-jkDcos?222????? ?ee?e?ee?e?e????r????????kDkD-jcos??AkDAj(wt?kr)?j2cos?2?e?ejkDcos??e-jkDcos??ej(wt?kr)?2jsin(cos?)?2cos(kDcos?) ?e?e??r2r????由于kD<<1，可将sin(AkDkDcos?)近似为cos?，由此上式?ej(wt?kr)?jkDcos??2cos(kDcos?) 22r?j2kADcos?e-jkrcos(kDcos?)ejwt由此结论得证. r2kADcos??e?jkrjsin(kDcos?)ej?t r6-15 证明如图所示的刚性壁面前偶极子的远场辐射声压为p?jPr+DD/2-?硬 证明：由镜像原理知，绝对硬边界对声源的影响等效于一个同相的的虚声源。根据同相小球声场叠加，分别得两 Aj(wt?kr)3kDe?2cos(cos?) r2Aj(wt?kr)kD?2cos(cos?) 两个相距D的负相小球声场P2??er22Aj(wt?kr)3kDkD4Aj(wt?kr)kD?P?e?[cos(cos?)?cos(cos?)]??esin(kDcos?)sin(cos?) 则远场P?P12r22r2kDkD2kADcos?)?cos?，故得P??cos??e?jkr?jsin(kDcos?)ejwt 即得证。 又sin(22r个相距3D的正相小球声场P1?sin(6-16 由声柱指向特性（6-3-23）式出发，证明长度为L的均匀直线声源的指向特性为D(?)??Lsin?)?。 ?Lsin??sinkn? nsink?证明：由n个体积速度相等，相位相同，两两相距l的小脉动球源组成的声柱的指向特性为D(?)?长度为L的均匀直线声源，利用极限将直线声源等效为n（n??）个小脉动球源。D(?)?limsinkn? n??nsink?L?L1sin?]sin(sin?)?lsin??2(n?1)?n?证毕。 ?lim?sin?limn??n???L2?L?l?sin?nsin[sin?]sin???2(n?1)?(n?1)sin[n6-18 试用点源组合的方法求解有限长线声源均匀辐射时的声压。 y2?p(x,y)l2?l2x 解：由点源组合法可将线声源看成是无数个点声源的组合. 首先计算任意点声源在点p处产生的声压： p'(x,y)?Aj(wt?kri)22e，其中ri?x?(y?yi).由声压的叠加原理得线声源在p点的声压为： ril/2l/2Aj(wt?kri)Aj(wt?kp(x,y)??edyi??e?l/2r?l/2x2?(y?yi)2ix2?(y?yi)2)dyi. 6-19 如将一列很长的火车近似看作无限长线声源，设单位长度的声功率为W1，地面为声学刚性平面，求距离火车垂直距离r0处的pe（不计火车的运动），讨论pe与r0的关系。（提示：r0?r1cos?，dxcos??r1d?） 解：建立模型如右图所示，设火车首尾与观察点的连线与垂线r0的夹角分别为?1和?2。 取一小微元dx 又 r0?r1cos?，dxcos??r1d?dpe?2?22?0c0?0c0dW?W1dx 224?r12?r1