两端固定的棒:
2-11 设有一长为l，两端自由的棒作纵振动。假设其初始时刻的位移分布为?0?x??cos棒振动位移表示式。
解：棒做纵振动时，其方程的解为：??(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??)
?lx，初速度v0?x??0。求该
???k(?Asinkx?Bcoskx)cos(?t??) ?x???x?0?0?B?0??x两端自由，即不受应力作用，?
??n?nc??fn?x?l?0?kl?n??kn?l2l??x???所以，???Ancosknxcos(?n??n)v???Ancosknx[??nsin(?nt??n)]
?tn?1n?1?2l???0(x)??Ancosknxcos(??n)?cosx?Ancos?n??cosxcosknxdx??ll0ln?1???v0(x)??Ancosknx(?nsin?n)?0?An?nsin?n?0?n?1?
?n?1?1,2l?n?xdx???Acos?n??cosxcos??nl0ll?0,n?2,3,????sin?n?0??n?n???? 即A1cos?1?1?A1??1,An?0,(n?2,3,???)所以???cos?lxcos(?clt??)
2-12 设有一端自由，一端固定的细棒在作纵振动，假设固定端取在坐标的原点，即x?0处，而自由端取在x?l处。试求该棒作自由振动时的简正频率，并与(2-2-20)式作一比较。 附：fn?(2n?1)c (n?1,2,3,?)。 (2-2-20) 4l解：棒的振动位移表达式?(t,x)?(Ancosknx?Bnsinknx)cos(?t??)
??2n?1?0k??。 ，代入位移表达式解得：； A?0x?lnn?t2lc(n?1,2,3,?)。 于是可推出fn?(2n?1)4l边界条件：?x?0?0；
若将自由端置于原点，固定端置于x?l处，同样能得出与（2-2-20）相同的结论。 2-13 长为l的棒一端固定一端受沿棒轴方向的简谐力作用（F?Facos?t）。 （1）试求棒作纵振动时的位移表达式；
（2）证明当频率较低或棒较短时此棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为Km?解：棒纵振动位移的一般表达式为：??(Acoskx?Bsinkx)cos(?t??)
ES。 l??x?0?0?A?0?满足边界条件：?FA??cos?t
?ES()?Fcos?t?B???x?lA??xESkcosklcos(?t??)?所以，???FAcos?tF??sinkl?cos(?t??)??sinkx
ESkcosklcos(?t??)ESkcoskl当频率较低或棒很短时，即kl??1时，coskl?1，sinkx?kx?kl 有???FFES?kl??l?F??? ESk?1ESlES。 l即棒相当于集中系统的一个弹簧，其弹性系数为
2-14 长为l的棒一端钳定一端自由在进行横振动，设已知基频时自由端的位移振幅为?0，试求以?0来表示的棒的基频位移。解：设棒在x?0端钳定，x?l端自由，于是边界条件可写为：
???x?0?0，
?x?2?x?0?0，
?x2?3?x?l?0，
?x3x?l?0。
????x?Bshx?Ccosx?Dsinx]cos(?t??) ????????可得A??C，B??D，并有如下关系A(chl?cosl)?B(sh?sinl)?0
????????A(shl?sinl)?B(ch?cosl)?0
????代入横振动方程?(t,x)?[Ach设??sin?n?sh?n?l，并用简正值（n=1,2,3,…）代表?的一系列根值。?Bn?An，cos?nsh?n??1 ?cos?n?ch?nsin?1?sh?1(sh?1?sin?1)]
cos?1?ch?1?自由端基频位移振幅?0?A1Y1(l)?A1[(ch?1?cos?1)??A1?(cos?1?ch?1)2sin?1sh?1?2? A1?0?基频位移?1(t,x)?A1Y1(x)cos(?1t??1)，
cos?1?ch?12(sh?1sin?1?1)其中：Y1(x)?(ch?1lx?cos?1lx)??(cos?1?ch?1)sin?1?sh?1??。 (sh1x?sin1x)A1?02(sh?1sin?1?1)cos?1?ch?1ll?0lx，试解棒作横振动的位移表达式。
2-15 长为l的棒一端钳定一端自由，如果初始时刻使棒具有位移?t?0?解：初始条件和边界条件为：?x?0??2???????0（1）; ???0 (2)?2??0 (3);
??x?x?0??x?x?l??3???3??0 (4) ??x?x?l?t?0??0????x (5); ??0 (6) ?l??t?t?0 棒作横振动的总位移位为：
?(t,x)??Acosh?x把（1）、（2）代入（7）得 则 ?(t,x)??A(cosh?x????Bsinh?x??C???co?sxD?sinx??c?ot （s(7） ???)A??C,B??D
?????cosx??B)??(si?nxh????? o（sxin??)?tcs8(） ??)把（5）、（6）代入（8）得?A(cos?xh???c?xosB?)????0??(xsin?hx???l? s i n??A(coshx????A(coshcosx?B)??(sin?xh?????sxi?n??? 即??n? ?)?(即sin s)in0?0??????x?cosx)?B(sinhx?sinx)?0x? ?(t,x)?0xco?s(?tn? )????ll2-16 长为l的棒两端自由，求棒作横振动的频率方程。 解：棒作横振动的位移方程为：
?(t,x)?[Achwwwwx?Bshx?Ccosx?Dsinx]cos(wt??) vvvv??2??3??0,3?0???x2x?0?xx?0由边界条件得：?2，?A?C,B?D 3??????0,3?02??xx?l??xx?lwww?A(chl?cosl)?B(shl?sin?vvv?www?A(shl?sinl)?B(chl?cosvvv?chwl)?0vwl)?0v
wwwwl?coslshl?sinlvvvv=0 ?chwlcoswl?1 要使方程有解，则
wwwwvvshl?sinlchl?coslvvvv2-17 长为l的棒两端钳定，求棒作横振动的振动频率方程. 解：由(2-2-57)式得棒的横振动一般表达式为
?(t,x)??Acosh???????x?Bsinhx?Ccosx?Dsinx?cos(wt??) ????????x???x?0x?0???|x?0?0?其中???ck. 由棒两端钳定的边界条件得???|?0x?l??由(1)?A=－C B=－D 由(2)?A?sinh(1)
?0x?l(2)?????????l?sinl??B?coshl?cosl??0 ???????????????A?coshl?cosl??B?sinhl?sinl??0
????????这是一个二元一次方程组，若A，B为非零解，则它们的系数行列式应等于零，即
????l?sinlcoshl?cosl?????0 ????coshl?coslsinhl?sinl????sinh由此可化得cosh简正频率fn????l?cosl?1，这是一频率方程，可用图解法求解。设?n?l表示方程的一系列根，此时
???ck2?. n22?l2-19 已知铝能承受最大张应力为P，密度为?，如果现在用这种材料制成厚度为h的膜，试求膜能承受的最大张力为多少？如果将其绷在半径为r的框架上，试问这种膜振动的基频最高能达到多少？
解：膜能承受的最大的张力T?Ph， 当半径为r时，膜的基频达最大，大小为f1?2.405T2.405Ph2.405P ??2?r?2?r?h2?r?2-21 求解周界固定的矩形膜作自由振动时的简正频率以及简正振动方式，如果膜的边长为1：2，试计算最小四个泛频与基频的比值。
?2??2?1?2?j?t解：膜的振动方程为：2? （*）设： ??(x,y;t)??(x,y)ea222?x?yc?t??a(x,y)??a(x,y)?2代入方程（*）得：???2?a(x,y) 22?x?yc2-23 设有一圆环形膜，其在外周r?a与内周r?b处固定，试证明该圆环膜自由振动的频率方程为
J0(?y)N0(y)?J0(y)N0(?y)?0其中?y?ka，y?kb。
证明：圆环形膜的振动方程为：?(t,r)?R(r)ej?t
r?a其中R(r)?AJ0(kr)?BJ0(kr)。由外周r?a与内周r?b处固定得边界条件?代入方程得 AJ0(ka)?BN0(ka)?0，AJ0(kb)?BN0(kb)?0， 整理得 J0(ka)N0(kb)?N0(ka)J0(kb)?0。
?0，?r?b?0，
从而可得该圆环膜自由振动的频率方程为:J0(?y)N0(y)?J0(y)N0(?y)?0 其中?y?ka，y?kb。
习题3
3-1 如图3-4-2所示的隔振系统，试画出其阻抗型类比线路图，并运用线路图来讨论此系统的隔振性能。
图 3-4-2
解：阻抗型类比线路图如（c）图所示。 下面分析一下系统的隔振性能，
利用克希霍夫电路定律，在Mm路径中有v?
F1?F
j?Mm在Mm后面的分支点有v?FF??j?CmF?RmF 11j?CmRm合并两式即得
F1?F?j?CmF?RmF经整理得
j?Mm3-3 试画出如图(a)所示的弹簧并联相接的力学系统的导纳型类比线路图，并从线路图求出系统的等效弹性系统。
图 习题3-3
解：导纳型类比线路图如（b）图所示。