（3）是否存在这样的正数q，使等比数列｛bn｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分） 21．（本小题满分16分）
已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f(x)?bx2?cx?d，
）=0的根，反之，gg(x)?ax3?bx2?cx?d，方程f（x）=0有实根，且f（x）=0的实数根都是g（f（x）（f（x））=0的实数根都是f（x）=0的根。
（1）求d的值；（3分）
（2）若a=0，求c的取值范围；（6分）
（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范围。（7分）
2007年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数 学
参考答案
一、选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，共计50分。
1．D 2．A 3．A 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A 9．C 10．B 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题5分，共计30分。
1265511． 12．75 13．32 14． 15．
54 16．100sin?t60
三、解答题
17．本小题主要考查概率的基本概念、互斥事件有一个发生及相互独立事件同时发生概率的计算方法，考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。
2解：（1）5次预报中恰有2次准确的概率为P5?2??C5??1?0.8?5?2?10?0.8?0.2?0.05.
23（2）5次预报中至少有2次准确的概率为 1?P5?0??P5?1??1?C5??1?0.8?65?0?C5?0.8??1?0.8?115?1
?1?0.00032?0.0064?0.99.（3）“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为
18．本小题主要考查平面的基本性质、或以平行、线面垂直、二面角等基础知识和基本运算，考查空间想象力、逻辑推理能力和运算能力，满分12分。
26
解法一：
（1）如图：在DD1上取点N，使DN=1，连结EN，则AE=DN=1，CF=ND1=2 因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE、CFD1N都为平行四边形。 从而ENAD，FD1∥CN。
又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE。 （2）如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BCM=∠CFB，BM=BC2tan∠CFB=BG2∠CFB=BC2BC?23?32?1.
CF因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM 又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1 （3）如图，连结EH
因为MH⊥BF，EM⊥BF，所以BF⊥平面EMH，得EH⊥BF 于是∠EHM是所求的二面角的平面角，即∠EHM=0 因为∠MBH=∠CFB，所以
MH=BM2sin∠MBH=BM2sin∠CFB
BCBC?CFtan??EMMH?1322?BM?1?33?222?313,
解法二：
（1）建立如图所示的坐标系，则BE??3,0,1?,BF??0,3,2?,BD1??3,3,3?
所以BD1?BE?BF
BE、BF共面 故BD1、 27
又它们有公共点B，
所以E、B、F、D1四点共面。
（2）如图，设M（0，0，z）则CM?0,?,z
3?2?而BF??0,3,2?，由题设得
23GMBF?3?z2?0，得z=1
因为M（0，0，1），E（3，0，1），有ME=（3，0，0）
又BB1??0,0,3?，BC??0,3,0?，所以MEBB1?0,MEBC?0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC 故ME⊥BB1，平面BCC1B1
（3）设向量BP??x,y,3?⊥截面EBFD1，于是BP?BE,BP?BF 而BE??3,0,1?,BF??0,3,2?，得BPBE，解得x=-1，y=-2，所以BP???1,?2,3?.
?x3?3?0B,PBFy?3?6?0又BA??3,0,0?⊥平面BCC1B1，所以BP和BA的夹角等于θ或л-θ（θ为锐角） 于是
BPBABPBA114cos??? 故tan??13
19．本小题主要考查抛物线的基本性质、直线与抛物线位置关系、向量的数量积、导数的应用、简易逻辑等基础知识和基本运算，考查分析问题、探索问题的能力，满分14分。 解：
（1）设直线AB的方程为y=kx+c，将该方程代入y=x2得x2－kx－c=0 令A（a，a2），B（b，b2），则ab=﹣c
因为OAOB?ab?ab?c?c?2，解得c=2， 或c=﹣1（舍去） 故c=2
222（2）由题意知Q??a?b,?c?，直线AQ的斜率为
??2? 28
kAQ?a?ca?a?b22?a?aba?b22?2a
又r=x2的导数为r′=2x，所以点A处切线的斜率为2a 因此，AQ为该抛物线的切线 （3）（2）的逆命题成立，证明如下： 设Q（x0，﹣c）
若AQ为该抛物线的切线，则kAQ=2a 又直线AQ的斜率为kAQ?a?ca?x02?a?aba?x02，所以
a?aba?x0?2a
得2ax0=a2+ab，因a≠0，有x0?20．
a?b2
解：设{an}的公差为d，由a1?b1,a2?b2?a1，知d?0,q?1，d?a1?q?1?（a1?0） （1）因为bk?am，所以a1qk?1?a1??m?1?a1?q?1?，
qk?1?1??m?1??q?1??2?m??m?1?q，
所以Sk?1?a1?1?qk?1?1?q2?a1?m?1??m?1?q?q??m?1?a1
（2）b3?a1q,ai?a1??i?1?a1?q?1?，由b3?ai，
所以q2?1??i?1??q?1?,q2??i?1?q??i?2??0,解得，q?1或q?i?2，但q?1，所以q?i?2，因为i是正整数，所以i?2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项为
bn?a1qn?1?n?N??，
?设数列{an}中的某一项amm?N=a1??m?1?a1?q?1?
??现在只要证明存在正整数m，使得bn?am，即在方程a1q可，qn?1n?1?a1??m?1?a1?q?1? 中m有正整数解即
qn?1?1?1??m?1??q?1?,m?1??1?q?q2?q?1qn?2，
所以：
m?2?q?q2?i?3时，因为qn?2，若i?1，则q??1，那么b2n?1?b1?ab?b?1,n22a，当
n?3的情况，因为b3?ai，所以i?3，因此q是正整数，所以m是正整数，因此数a1?b1,a2?b，只要考虑2列{bn}中任意一项为
bn?a1qn?1?n?N??与数列{an}的第2?q?q2?qn?2项相等，从而结论成立。
?（3）设数列{bn}中有三项bm,bn,bpm?n?p,m,n,p?N成等差数列，则有
?? 29
?2a1qn?1?a1qm?1?a1qp?1,设n?m?x,p?n?y,x,y?N，所以2???1y，令x?1,y?2，则?qxq5?1舍去负值?，即存在?2q3?2q?1?0,?q?1??q2?q?1??0，因为q?1，所以q2?q?1?0，所以q?q? 21．解
5?1?使得{bn}中有三项bm,bm?1,bm?3?m?N?成等差数列。 2（1）设x0是f?x??0的根，那么f?x0??0，则x0是g(f(x))?0的根，则g??f?x0????0,即g?0??0，所以d?0。
（2）因为a?0，所以f?x??bx2?cx,g?x??bx2?cx，则g(f(x))?f?x???bf?x??c??
2=bx?cx???bx22?bcx?c?=0的根也是f?x??x?bx?c??0的根。
（a）若b?0，则c?0，此时f?x??0的根为0，而g(f(x))?0的根也是0，所以c?0， （b）若b?0，当c?0时，f?x??0的根为0，而g(f(x))?0的根也是0，当c?0时，
ccf?x??0的根为0和?，而bf?x??c?0的根不可能为0和?，所以bf?x??c?0必无实数根，所以
bb2???bc??4b2c?0,所以c2?4c?0,0?c?4，从而0?c?4
所以当b?0时，c?0；当b?0时，0?c?4。
（3）a?1,f(1)?0，所以b?c?0，即f?x??0的根为0和1， 所以?cx?cx?2?2?c??cx2?cx??c=0必无实数根，
22c1?cc?2（a）当c?0时，t=?cx?cx=?c?x????，即函数h?t??t?ct?c在t?，h?t??0恒成立，
42?44?216c2c2c2?c??c?2??c?0,所以0?c?又h?t??t?ct?c??t???c?，所以h?t?min?h???0，即；
31644?4??2?c1?cc?2（b）当c?0时，t=?cx?cx=?c?x????，即函数h?t??t?ct?c在t?，h?t??0恒成立，
42?44?22c2?c??c?2又h?t??t?ct?c??t???c?，所以h?t?min?h???0，
4?2??2?c2c2
?0，而c?0，所以c??0，所以c不可能小于0， c?44
（c）c?0,则b?0,这时f?x??0的根为一切实数，而g??f?x????0，所以c?0,符合要求。 所以0?c?216 3008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．
30