不等式选讲1
课 题： 第01课时 不等式的基本性质
一、引入：
不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用。
本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。
生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么?
bb?m分析：起初的糖水浓度为a，加入m克糖 后的糖水浓度为a?m，只要证b?mba?m>a即可。怎么证呢?
二、不等式的基本性质：
1、实数的运算性质与大小顺序的关系：
数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：
a?b?a?b?0
a?b?a?b?0 a?b?a?b?0
得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。
2、不等式的基本性质：
①、如果a>b，那么bb。(对称性) ②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>c。 ③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>b?a+c>b+c。
推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d ?a+c>b+d． ④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac nn⑤、如果a>b >0，那么a?b (n?N，且n>1) nn⑥、如果a>b >0，那么a?b (n?N，且n>1)。 三、典型例题： 例1、已知a>b，c cc?例2已知a>b>0，c<0，求证：ab。 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第02课时 含有绝对值的不等式的解法 一、引入： 在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。 关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。下面分别就这两类问题展开探讨。 1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。主要的依据是绝对值的意义. 请同学们回忆一下绝对值的意义。 在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。即 ?x，如果x?0?x??0，如果x?0??x，如果x?0?。 2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。 第一种类型。 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式x?a的解集是 {x|?a?x?a}，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区 间（－a，a），如图所示。 ?a 图1-1 a 如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。 第二种类型。 设a为正数。根据绝对值的意义，不等式x?a的解集是 {x|x?a或x??a} 它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间 (??,?a),(a,?)的并集。如图1-2所示。 –a a 图1-2 同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。 二、典型例题： 例1、解不等式3x?1?x?2。 例2、解不等式3x?1?2?x。 方法1：分域讨论 ★方法2：依题意，3x?1?2?x或3x?1?x?2，（为什么可以这么解？） 例3、解不等式2x?1?3x?2?5。 例4、解不等式x?2?x?1?5。 解 本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。原不等式即数轴上的点x到1，2的距离的和大于等于5。因为1，2的距离为1，所以x在2的右边，与2的距离大于等于2（＝（5－1）?2)；或者x在1的左边，与1的距离大于等于2。这就是说，x?4或x??1. 例5、不等式 x?1?x?3>a，对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。 四、练习：解不等式 1、 22x?1?1. 2、41?3x?1?0 3、 3?2x?x?4. 4、 x?1?2?x. 5、 x2?2x?4?1 6、 x2?1?x?2. 7、 x?x?2?4 8、 x?1?x?3?6. x?x?4?2.9、 x?x?1?2 10、 选修4_5 不等式选讲 课 题： 第02课时 含有绝对值的不等式的证明 一、引入： 证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：