11117??????.22224 n24、若n是自然数，求证123链接：放缩法与贝努利不等式
在用放缩法证明不等式时，有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。就是说，如果在和式a?b?c?d?e里d和e都是正数，可以舍掉d和e，从而得到一个明显成立的不等式a?b?c?d?e?a?b?c.
例如，对于任何x?0和任何正整数n，由牛顿二项式定理可得
(1?x)n?1?nx?n(n?1)2n(n?1)(n?2)2x?x???xn.1?21?2?3
n(1?x)?1?nx. 舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式：
在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当n是正整数的时候成立，而且当n是任何大于1的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式。
在今后的学习中，可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设x??1，则在
????1或??0时，(1?x)?1??x，在0???1时，(1?x)?1??x.
阅读材料：贝努利家族小史
在数学发展史上，17-18世纪出现了一个著名的数学世家——贝努利（Bernoulli）家族（瑞士），这个家族中的三代人中共出现了8位数学家，它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。其中，又以第一代的雅各布?贝努利（Jacob Bernoulli，1654.12-1705.8）、约翰?贝努利（Johann Bernoulli，1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼尔?贝努利（Danial Bernoulli，1700.2-1782.3，约翰?贝努利的儿子）最为著名。
在数学的多个分支中，以“贝努利”命名的定义、定理、公式数不胜数。除了我们前面提到的“贝努利不等式”之外，将来会有机会学习到微积分中的“贝努利方程”、“贝努利级数判别法”，解析几何中的“贝努利双纽线”，概率论中
的“贝努利定理”（即“大数定律”的早期形式）、“贝努利数”、“贝努利多项式”等等。特别是，丹尼尔?贝努利创造性地将数学方法应用到物理学的研究中，取得了卓著的成就，被推崇为数学物理方法的奠基人。
贝努利家族之所以取得如此大的数学成就，至少有以下几个方面的主要原因：
（1）对数学的真挚热爱。考察贝努利家族的8位数学家，可以发现一个共同的特点：都是从父辈不同意他们研究数学，而要求他们经商、从医或做律师开始，到最终走上从事数学的生涯。这一过程中，个人对数学的极大热情和兴趣起到了决定性的作用。当然，家族的数学传统和学习精神的影响也是不容忽视的重要因素。
（2）广泛的学术交流。贝努利家族的成员们，都注重与当时的数学家和科学家进行广泛的学术交流和争辩，以此互相促进和提高。如雅各布?贝努利、约翰?贝努利与他们那个时代的大数学家、微积分的创始人莱布尼茨之间，丹尼尔?贝努利与当时欧洲数学界的中心人物——欧拉的频繁通信交流成为数学史上的美谈。
（3）继承基础上的大胆创新。在继承已有数学研究成果的基础上大胆开拓、创新，是贝努利家族成员从事研究的又一个共同特点。贝努利家族的主要成员正处于数学思想方法的两次大转变时期：一是从常量数学到变量数学的转折；二是从确定性数学到可能性数学的转折。他们不仅善于接纳新思想、新方法，更是进行了大胆地改进、突破，取得了许多开创性的成就。 亲爱的同学们，你能从贝努利家族的成功中得到哪些启示呢？
选修4_5 不等式选讲
课 题： 第11课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式 一、引入：
除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。
1、什么是柯西不等式：
定理1：（柯西不等式的代数形式）设a,b,c,d均为实数，则
(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2，
其中等号当且仅当ad?bc时成立。
证明：几何意义：设?，?为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A（a,b），B（c,d），那么它们的数量积为????ac?bd，
2222|?|?|?|?|???|，|?|?a?b|?|?c?d而，，所以柯西不等式的几何意义就是：
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。
2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设?，?为平面上的两个向量，则
|?|?|?|?|???|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）
时成立。
3、定理3：（三角形不等式）设x1,y1,x2,y2,x3,y3为任意实数，则：
(x1?x2)2?(y1?y2)2?(x2?x3)2?(y2?y3)2?(x1?x3)2?(y1?y3)2
思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？
4、定理4：（柯西不等式的推广形式）：设n为大于1的自然数，ai,bi（i?1，
bnb1b2????ai?bi?(?aibi)?ann）i?1i?1i?12，…，为任意实数，则：，其中等号当且仅当a1a2n2n2n2时成立（当ai?0时，约定bi?0，i?1，2，…，n）。
222f(x)?(ax?b)?(ax?b)???(ax?b)1122nn证明：构造二次函数：
nnn 即构造了一个二次函数：
f(x)?(?ai)x?2(?aibi)x??bi22i?1i?1i?12
由于对任意实数x，f(x)?0恒成立，则其??0，
??4(?aibi)?4(?ai)(?bi)?0222i?1i?1i?1nnn即：，即：
(?aibi)?(?ai)(?bi)222i?1i?1i?1nnn，
等号当且仅当a1x?b1?a2x?b2???anx?bn?0，
bb1b2????nan时成立即等号当且仅当a1a2（当ai?0时，约定bi?0，i?1，2，…，
n）。
如果ai（1?i?n）全为0，结论显然成立。 柯西不等式有两个很好的变式：
2(?ai)2ai??bai?R,bi?0(i?1,2,?,n),i?1i?bin变式1 设 ，等号成立当且仅当
bi??ai(1?i?n)
2ai(?ai)??i?1bi?aibin变式2 设ai，bi同号且不为0（i=1，2，…，n），则：
成立当且仅当b1?b2???bn。
二、典型例题：
2222x?y?1，求证：|ax?by|?1。 a?b?1例1、已知，
，等号
a2?b2?c2?d2?(a?c)2?(b?d)2a,b,c,d?R例2、设，求证：。
例3、设?,?,?为平面上的向量，则|???|?|???|?|???|。
111???9a,b,ca?b?c?1abc例4、已知均为正数，且，求证：。
1nai?(?ai)2?ni?1例5：已知a1，a2，…，an为实数，求证：i?1。
2n12Saaannn推论：在个实数1，2，…，的和为定值为S时，它们的平方和不小于，
12Sa?a???an时，平方和取最小值n当且仅当12。
四、练习：
1、设x1，x2，…，xn >0, 则i?11?xin?nxi??i?1nxin?1
nxi?1xi?2?xixj???x?R1?x1?i?j?ni 2、设i（i=1，2，…，n）且i?1 求证: i?1．
3、设a为实常数,试求函数f(x)?sinx(a?cosx) (x∈R)的最大值．
(0,)f(x)?a?sinx?bcosx 4、求函数在2上的最大值,其中a，b为正常数．
?五、作业：
2222a?b?1m?n?2,证明：?2?am?bn?2。 1、已知：，
提示：本题可用三角换元、柯西不等式等方法来证明。
12a222x?y?zx,y,z?Rx?y?z2a2、若 ，且=，= (a?0)，求证：x,y,z 都是2a不大于3的非负实数。
12a222z?a?x?yx?y?z2证明：由 代入=
2x2?2(a?y)x?(a?y)2?12a?02
可得