上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为 b?a,m是正数，所以bm?am
两边同时加上ab得b(a?m)?a(b?m)两边同时除以正数b(b?m)得
（1）。
读一读：如果用P?Q或Q?P表示命题P可以推出命题Q（命题Q可以由命题P推出），那么采用分析法的证法一就是 （1）?(2)?(3)?(4). 而采用综合法的证法二就是 (4)?(3)?(2)?(1).
如果命题P可以推出命题Q，命题Q也可以推出命题P，即同时有
P?Q,Q?P，那么我们就说命题P与命题Q等价，并记为P?Q.在例2中，由
于b,m,b?m都是正数，实际上
(1)?(2)?(3)?(4).
例4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截
?L?L???面的周长为L，则周长为L的圆的半径为2?，截面积为?2??；周长为L的正方?L??L??L?L????????形为4，截面积为?4?。所以本题只需证明?2???4?。
?L????证明：设截面的周长为L，则截面是圆的水管的截面面积为?2??，截面是?L??L??L?????????正方形的水管的截面面积为?4?。只需证明：?2???4?。
22222222?L2L2?216。 为了证明上式成立，只需证明4?411?2?4。因此，只需证明4??。 L两边同乘以正数，得：
?L??L???????上式显然成立，所以?2???4? 。
22这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大。
222例5、证明：a?b?c?ab?bc?ca。
22证法一 因为 a?b?2ab （2） 22 b?c?2bc （3） 22 c?a?2ca （4）
2222(a?b?c)?2(ab?bc?ca) （5） 所以三式相加得
两边同时除以2即得（1）。
证法二 因为
a2?b2?c2?(ab?bc?ca)?111(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?0,222
所以（1）成立。
22222(a?b)(c?d)?(ac?bd). （1） 例6、证明：
22222(a?b)(c?d)?(ac?bd)?0 （2） ?证明 （1）
222222222222?ac?bc?ad?bd?(ac?2abcd?bd)?0 （3）
? b2c2?a2d2?2abcd?0 （4）
2? (bc?ad)?0 （5）
（5）显然成立。因此（1）成立。
333例7、已知a,b,c都是正数，求证a?b?c?3abc.并指出等号在什么时候成立？
分析：本题可以考虑利用因式分解公式
333222a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca)着手。
333a?b?c?3abc 证明：
222(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca) =
1(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]. =2
222a,b,c(a?b)?(b?c)?(c?a)?0， a?b?c?0. 由于都是正数，所以而
333可知a?b?c?3abc?0
333 即a?b?c?3abc（等号在a?b?c时成立）
333333a,b,ca?b?c?3abc探究：如果将不等式中的分别用a,b,c来代替，并在
两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式：
(1?a?b)(1?b?c)(1?c?a)?27，其中a,b,c是互不相等的正数，且abc?1. 三、小结：
解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。 四、练习：
1、已知x?0,求证：
x?1?2.x
114??.2、已知x?0,y?0,x?y,求证xyx?y
3、已知a?b?0,求证a?b?a?b. 4、已知a?0,b?0.求证：
?1?1223333(a?b)(a?b)?4.(a?b)(a?b)(a?b)?8ab. （1）（2）
5、已知a,b,c,d都是正数。求证：
a?b?c?da?b?c?d4?ab?cd;?abcd.24（1） （2）
6、已知a,b,c都是互不相等的正数，求证(a?b?c)(ab?bc?ca)?9abc.
选修4_5 不等式选讲
课 题： 第09课时 不等式的证明方法之三：反证法 一、引入：
前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。
反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。
利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。 二、典型例题：
nn例1、已知a?b?0，求证：a?b（n?N且n?1） 33例1、设a?b?2，求证a?b?2.
证明：假设a?b?2，则有a?2?b，从而
a3?8?12b?6b2?b3,3322a?b?6b?12b?8?6(b?1)?2.
233336(b?1)?2?2， 因为所以a?b?2，这与题设条件a?b?2矛盾，所以，
原不
等式a?b?2成立。
2f(x)?x?px?q，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一个不小例2、设二次函数
1于2.
1证明：假设f(1),f(2),f(3)都小于2，则
f(1)?2f(2)?f(3)?2. （1） 另一方面，由绝对值不等式的性质，有
f(1)?2f(2)?f(3)?f(1)?2f(2)?f(3)?(1?p?q)?2(4?2p?q)?(9?3p?q)?2 （2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。 注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常