是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
例3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可
1能同时大于4
111 证：设(1 ? a)b >4, (1 ? b)c >4, (1 ? c)a >4, 1则三式相乘：ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <64 ①
1?(1?a)?a?10?(1?a)a???(1?b)b??24同理：4, ??又∵0 < a, b, c < 1 ∴
(1?c)c?14
21以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤64 与①矛盾∴原式
成立
例4、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0
证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c = ?a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0
同理可证：b > 0, c > 0 四、练习：
a?ma?.a?bb?mb 1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且，则
2、设0 < a, b, c < 2，求证：(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于1
1?x1?y3、若x, y > 0，且x + y >2，则x和y中至少有一个小于2。 1?x1?y提示：反设x≥2，y≥2 ∵x, y > 0，可得x + y ≤2 与x + y >2
矛盾。
选修4_5 不等式选讲
课 题： 第10课时 不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式 一、引入：
所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小），使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。
下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。 二、典型例题：
1111??????2.2222123nn例1、若是自然数，求证
证明：
?1111???,k?2,3,4,?,n.k2k(k?1)k?1k
11111111???????????222(n?1)?n n211?22?3 ?1231111111?(?)?(?)???(?)23n?1n =1122?1?2.n
=
1111??????22222n注意：实际上，我们在证明123的过程中，已经得到一个11111??????2?222n，n2更强的结论123这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本
思想。
11111???????3.11?21?2?31?2?3???n例2、求证：
111??k?1,证明：由1?2?3???k1?2?2???22（k是大于2的自然数） 11111??????1?2?3???n 得11?21?2?3111112n?3?1?3.?1?1??2?3???n?1?1?122222n?11?2
1?例3、若a, b, c, d?R+，求证：
1?abcd????2a?b?db?c?ac?d?bd?a?c
abcd???证：记m =a?b?db?c?ac?d?bd?a?c ∵a, b, c, d?R+
m?abcd????1a?b?c?da?b?c?ac?d?a?bd?a?b?c
∴
m?abcd????2a?ba?bc?dd?c ∴1 < m < 2 即原式成立。
例4、当 n > 2 时，求证：logn(n?1)logn(n?1)?1 证：∵n > 2 ∴logn(n?1)?0,logn(n?1)?0
?logn(n2?1)??logn(n?1)?logn(n?1)?logn(n?1)logn(n?1)??????22???? ∴
?lognn2?????1 ?2? ∴n > 2
222时,
logn(n?1)logn(n?1)?1
四、练习：
11111??????.2n2 1、设n为大于1的自然数，求证n?1n?2n?31352n?11(2?)(2?)(2?)?(2?)?.nnnnn! 2、设n为自然数，求证
五、作业：
A组
1、对于任何实数x，求证： （1）
x2?x?1?311?x?x2?1.4；4 （2）
2、设a?b，求证：
22422422a?3b?2b(a?b)a?6ab?b?4ab(a?b). （1）；（2）44333、证明不等式a?b?ab?ab.
3332222a,b,c(a?b?c)(a?b?c)?(a?b?c). 4、若都是正数，求证：2a2b2cb?ca?ca?b5、若a?b?c?0, 求证 abc?abc.
ab??2a,b6、如果同号，且均不为0. 求证：ba，并指出等号成立的条件. b?c?ac?a?ba?b?c???3.a,b,cabc7、设是互不相等的正数，求证：
8、已知三个正数a,b,c的和是1，求证这三个正数的倒数的和必不小于9.
9、若
0????2，则1?sin??cos??2.
11(1?)(1?)?9.?xy10、设x,y?R，且x?y?1,求证：
2x?312?2x?2?12x?111、已知x?0，求证：（1）；（2）x?2.
?b2a2??ba??11???????????8.??ab??ab??ab?12、设a,b是互不相等的正数，求证：?
13、已知a,b都是正数，求证：
22222222(1?a?b)(1?a?b)?9ab;(ab?a?b)(ab?a?b)?9ab. （1）（2）222222a?b?c?1,x?y?z?1,求证：ax?by?cz?1. 14、已知
2222a?b?1,x?y?1,求证：ax?by?1. 15、已知
2222a,b,c,dx?a?b,y?c?d16、已知都是正数，且有
求证：xy?(ac?bd)(ad?bc)
17、已知a1,a2,a3,?an都是正数，且a1?a2?a3???an?1，
n(1?a)(1?a)(1?a)?(1?a)?2123n求证：
222a,b,c,ab?bc?ca?a?b?c?2(ab?bc?ca). ?ABC18、设的三条边为求证
19、已知a,b,x,y都是正数，设a?b?1,u?ax?by,v?bx?ay. 求证：uv?xy.
1111??????2.3n20、设n是自然数，利用放缩法证明不等式n?1n?2n?3 111111??2?2???2?1?.n n21、若n是大于1的自然数，试证2n?123B组
xyzxx?y?zz??,??.a,b,c,x,y,zabcaa?b?cc 22、已知都是正数，且求证：asinx?ba?ba?b23、设a?b?0，试用反证法证明asinx?b不能介于a?b与a?b之间。