课 题： 第13课时 几个著名的不等式之三：平均不等式 一、引入：
22 1、定理1：如果a,b?R，那么a?b?2ab（当且仅当a?b时取“=”）
222a?b?2ab?(a?b) 证明：
当a?b时，(a?b)2?0???2当a?b时，(a?b)2?0?a?b2?2ab
1．指出定理适用范围：a,b?R强调取“=”的条件a?b。
a?b?aba,b2、定理2：如果是正数，那么2（当且仅当a?b时取“=”）
22(a)?(b)?2ab ∴a?b?2ab 证明：∵
a?ba?b?ab?ab 即：2 当且仅当a?b时 2
注意：1．这个定理适用的范围：a?R；
2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3333、定理3：如果a,b,c?R，那么a?b?c?3abc（当且仅当a?b?c时取“=”）
??3333322a?b?c?3abc?(a?b)?c?3ab?3ab?3abc 证明：∵
?(a?b?c)[(a?b)2?(a?b)c?c2]?3ab(a?b?c) ?(a?b?c)[a2?2ab?b2?ac?bc?c2?3ab] ?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca)
?1(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]2
?333a,b,c?R∵ ∴上式≥0 从而a?b?c?3abc
指出：这里a,b,c?R ∵a?b?c?0就不能保证。
a?b?c3?abc?a,b,c?R3 推论：如果，那么。（当且仅当a?b?c时取“=”）
333333333(a)?(b)?(c)?3a?b?c 证明：
?a?b?c3?abc3?a?b?c?33abc ?
4、算术—几何平均不等式：
a1?a2???ann①．如果a1,a2,?,an?R,n?1且n?N 则：叫做这n个正数的算
??术平均数，a1a2?an叫做这n个正数的几何平均数；
na1?a2???an*?naa?an?N,a?R,1?i?n） 12nni②．基本不等式： ≥（
这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略） 语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
a?b?ab2③．的几何解释：
以a?b为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’?AB 则
CD2?CA?CB?ab，
a?b?CD?abCD?ab2从而，而半径。
D
AaOCbB
二、典型例题：
222例1、已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a?b?c?ab?bc?ca。 222222证：∵a?b?2ab b?c?2bc c?a?2ca
2222(a?b?c)?2ab?2bc?2ca∴a2?b2?c2?ab?bc?ca 以上三式相加：
2a,b,c(ab?a?b?1)(ab?ac?bc?c)?16abc。 例2、设为正数，求证：
a1?a2???ann?111n????a1a2an。例3、设a1，a2，a3，…，an为正数，证明：
?x,y?R例4、若，设
Q(x,y)?x2?y2x?yA(x,y)?22 G(x,y)?xy
H(x,y)?21??xy 求证：Q(x,y)?A(x,y)?G(x,y)?H(x,y)
加权平均；算术平均；几何平均；调和平均
x?y2x2?y2?2xyx2?y2?x2?y2x2?y()???442 证：∵2x2?y2x?y?22即：Q(x,y)?A(x,y)（俗称幂平均不等式） ∴
由平均不等式A(x,y)?G(x,y)
H(x,y)?2xy2xy??xy?G(x,y)x?y2xy即：G(x,y)?H(x,y)
综上所述：Q(x,y)?A(x,y)?G(x,y)?H(x,y)
五、作业：
121225(a?)?(b?)??a?b?1,a,b?Rab2 1、若 求证
11(a?)2?(b?)2?ab证：由幂平均不等式：
(1?(a?11?b?)2ab2
?a?ba?b2ba?)(3??)2(3?2)225abab???2222
选修4_5 不等式选讲
课 题： 第14课时 利用平均不等式求最大（小）值 一、引入：
1、重要的结论：已知x，y都是正数，则：
(1)、如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P； (2)、如果和x+y是定值S，那么当x＝y时，积二、典型例题：
例1、当x取什么值时，函数
y?4x2?9x2有最小值？最小值是多少？
12Sxy有最大值4。
x2?2x?6y?x?1例2、求函数（x?0）的最小值。
例3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为6400元的电脑。假定在电脑的使用过程中，每年的维修费用约为：第一年为200元，第二年400元，第三年600元，…，按等差数列递增。这台电脑使用多少年报废最合算？
例4、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方。假定它与桌面上A点的水平距离是a，那么电灯距离桌面的高度h等于多少时，A点处最亮？（亮度公式：
I?ksin?2r，这里k为常数，r是电灯到照射点的距离，?是照射到某点的光线与rh水平面所成的角）
分析：
aOA
3y?2x2?,(x?0)x例5、求函数的最大值，下列解法是否正确？为什么？
解一：
y?2x2?31112?2x2???332x2???3343y?34 xxxxxmin∴
33312232y?2x??22x??26x2x?x?xxx即2时 解二：当
23
ymin?26?12?23312?263242
答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在x使得
2x2?12?xx；解二错在26x不是定值（常数）
正确的解法是：
2y?2x2?3333393?2x2???332x2???33?336x2x2x2x2x22
33362x?ymin?336x?2x即22时当且仅当
x2?2x?2例6、若?4?x?1，求2x?2的最值。
x2?2x?21(x?1)2?11111???[(x?1)?]??[?(x?1)?]2x?12x?12?(x?1) 解：2x?21?0∵?4?x?1 ∴?(x?1)?0 ?(x?1)