2002年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)
???dxexln2x= _____________. (2)已知ey?6xy?x2?1?0,则y??(0)=_____________. (3)yy???y?2?0满足初始条件y(0)?1,y?(0)?12的特解是_____________. (4)已知实二次型f(x)?a(x2221,x2,x31?x2?x3)?4x1x2?4x1x3?4x2x3经正交变换可化为标准型f?6y21,则a=_____________.
(5)设随机变量X~N(?,?2),且二次方程y2?4y?X?0无实根的概率为0.5,则?=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)考虑二元函数f(x,y)的四条性质:
①f(x,y)在点(x0,y0)处连续, ②f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数连续, ③f(x,y)在点(x0,y0)处可微, ④f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数存在. 则有:
(A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?①
(D)③?①?④
(2)设unn?0,且limn??u?1,则级数?(?1)n?1(11)为 nu?nun?1(A)发散
(B)绝对收敛
(C)条件收敛
(D)收敛性不能判定.
(3)设函数f(x)在R?上有界且可导,则 (A)当xlim???f(x)?0时,必有xlim???f?(x)?0
(B)当lim???f?(x)存在时,必有xlim???f?x(x)?0
(C) 当xlim?0?f(x)?0时,必有xlim?0?f?(x)?0 (D) 当xlim?0?f?(x)存在时,必有xlim?0?f?(x)?0.
(4)设有三张不同平面,其方程为aix?biy?ciz?di(i?1,2,3)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为
(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为fX(x)和fY(y),分布函数分别为
FX(x)和FY(y),则
(A)fX(x)＋fY(y)必为密度函数 (B) fX(x)fY(y)必为密度函数
(C)FX(x)＋FY(y)必为某一随机变量的分布函数 (D) FX(x)FY(y)必为某一随机变量的分布函数.
三、(本题满分6分)
设函数f(x)在x?0的某邻域具有一阶连续导数,且f(0)f?(0)?0,当h?0时,若
af(h)?bf(2h)?f(0)?o(h),试求a,b的值.
四、(本题满分7分)
已知两曲线y?f(x)与y??arctanx0e?tdt在点(0,0)处的切线相同.求此切线的方程,并求极限
2
六、(本题满分8分)
设函数f(x)在R上具有一阶连续导数,L是上半平面(y>0)内的有向分段光滑曲线,起点为(a,b),终点为(c,d).
记I?2limnf(). n??n
1x22[1?yf(xy)]dx?[yf(xy)?1]dy, ?2
五、(本题满分7分) 计算二重积分
??emax{x2,y2}dxdy,其中D?{(x,y)|0?x?1,0?y?1}.
D
yy(1)证明曲线积分I与路径L无关.
(2)当ab?cd时,求I的值.
七、(本题满分7分) 八、(本题满分7分)
?x3n (1)验证函数y(x)??(???x???)满足微分方程y???y??y?ex.
n?0(3n)!x3n(2)求幂级数y(x)??的和函数.
(3n)!n?0?设有一小山,取它的底面所在的平面为xoy面,其底部所占的区域为D?{(x,y)|x2?y2?xy?75},小山的高度函数为h(x,y)?75?x2?y2?xy.
(1)设M(x0,y0)为区域D上一点,问h(x,y)在该点沿平面上何方向的方向导数最大?若此方向的方向导数为g(x0,y0),写出g(x0,y0)的表达式.
(2)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚下寻找一山坡最大的点作为攀登的起点.也就是说要在D的边界线上找出使(1)中g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置.
九、(本题满分6分)
已知四阶方阵A?(α1,α2,α3,α4), α1,α2,α3,α4均为四维列向量,其中α2,α3,α4线性无关,α1?2α2?α3.若β?α1?α2?α3?α4,求线性方程组Ax?β的通解.
十、(本题满分8分) 设A,B为同阶方阵,
(1)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等. (2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立. (3)当A,B为实对称矩阵时,证明(1)的逆命题成立.
十一、(本题满分7分)
设维随机变量X的概率密度为 十二、(本题满分7分) 设总体X的概率分布为 1xcos 0?x?x f(x)? 220 其它X 0 1 2 3 1?2? P 其中?(0????2 2?(1??) ?2 ?1)是未知参数,利用总体X的如下样本值 表示观察值大于3的次数,求Y2的数学期望. 2求?的矩估计和最大似然估计值.
3,1,3,0,3,1,2,3.
对X独立地重复观察4次,用Y