十 、(本题满分8分)
已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1: ax?2by?3c?0, l2: bx?2cy?3a?0, l3: cx?2ay?3b?0.
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a?b?c?0.
十一 、(本题满分10分)
已知甲、乙两箱中装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品. 从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:
(1)乙箱中次品件数的数学期望.
(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
十二 、(本题满分8分) 设总体X的概率密度为
f(x)? 2e?2(x??0)
x?? x?0??min(X,X,?,X). 其中??0是未知参数. 从总体X中抽取简单随机样本X1,X2,?,Xn,记?12n(1)求总体X的分布函数F(x). (2)求统计量??的分布函数F??(x).
(3)如果用??作为?的估计量,讨论它是否具有无偏性.
2004年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上) (1)曲线y?lnx上与直线x?y?1垂直的切线方程为__________ . (2)已知f?(ex)?xe?x,且f(1)?0,则f(x)=__________ . (3)设L为正向圆周x2?y2?2在第一象限中的部分,则曲线积分
?Lxdy?2ydx的值为__________.
2(4)欧拉方程x2dydx2?4xdydx?2y?0(x?0)的通解为__________ .
?2(5)设矩阵A??10??120?,矩阵B满足ABA*?2BA*?E,其中A*为A的伴随矩阵,E是单位矩阵,则
???001??B=__________ .
(6)设随机变量X服从参数为?的指数分布,则P{X?DX}= __________ .
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)把x?0?时的无穷小量???xx2x0cost2dt,???0tantdt,???0sint3dt,使排在后面的是前一个
的高阶无穷小,则正确的排列次序是
(A)?,?,? (B)?,?,?
(C)?,?,?
(D)?,?,?
(8)设函数f(x)连续,且f?(0)?0,则存在??0,使得
(A)f(x)在(0,?)内单调增加
(B)f(x)在(??,0)内单调减少
(C)对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0)
(D)对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0)
?(9)设
?an为正项级数,下列结论中正确的是
n?1?(A)若limn??nan=0,则级数
?an收敛
n?1?(B)若存在非零常数?,使得limn??nan??,则级数
?an发散
n?1?(C)若级数
?a2n收敛,则limn?1n??nan?0
?(D)若级数
?an发散, 则存在非零常数?,使得limn?n??nan??
1(10)设f(x)为连续函数,F(t)??tt1dy?yf(x)dx,则F?(2)等于
(A)2f(2)
(B)f(2) (C)?f(2)
(D) 0
(11)设A是3阶方阵,将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ?CQ为
?010??(A)??100?
(B)?010??? ?101? ?101?????001????(C)?010??100?
(D)?011???
?100?
?011???001????(12)设A,B为满足AB?O的任意两个非零矩阵,则必有 (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关
(B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关
(C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关
(D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关
(13)设随机变量X服从正态分布N(0,1),对给定的?(0???1),数u?满足P{X?u?}??,若
P{X?x}??,则x等于
的可逆矩阵(A)u?
2
(B)u1??2
(C)u1??
2(D) u1??
(16)(本题满分11分)
某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.
现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与
21n(14)设随机变量X1,X2,?,Xn(n?1)独立同分布,且其方差为??0. 令Y??Xi,则
ni?1(A)Cov(X1,Y)?(C)D(X1?Y)?飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106). 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?
(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)
?2n
(B)Cov(X1,Y)??2 (D)D(X1?Y)?n?22? n
n?12? n
三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分12分)
222设e?a?b?e,证明lnb?lna?4(b?a). 2e
(17)(本题满分12分) 计算曲面积分I?
(18)(本题满分11分)
332??2xdydz?2ydzdx?3(z??1)dxdy,其中?是曲面z?1?x2?y2(z?0)的上侧.
设有方程x?nx?1?0,其中n为正整数.证明此方程存在惟一正实根xn,并证明当??1时,级数收敛.
n?x?nn?1?