2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)当x?0时,f?x??x?sinax与g?x??x2ln?1?bx?等价无穷小,则
(A)a?1,b??16
(B)a?1,b?16
(C)a??1,b??16
(D)a??1,b?16 (2)如图,正方形
??x,y?x?1,y?1?被其对角线划分为四个区域
Dk?k?1,2,3,4?,Ik???ycosxdxdy,则maxD1?k?4?Ik??
k
(A)I1 (B)I2 (C)I3
(D)I4
(3)设函数y?f?x?在区间??1,3?上的图形为
f(x) O -2 0 -1 1 2 3 x
则函数F?x???x0f?t?dt的图形为
f(x) f(x) 1 1 -2 0 1 2 3 x
-2 0 1 2 3 x
(A)
-1
(B)
-1
f(x) f(x) 1 1 -1 0 1 2 3 x
-2 0 1 2 3 x
(C)
(D)
-1
(4)设有两个数列?an?,?bn?,若nlim??an?0,则
(A)当
?????bn收敛时,
n收敛. (B)当
n?1?anbn?1?bn发散时,
anbn发散.
n?1?n?1????? (C)当
b22n收敛时,
a2b2nn收敛. (D)当
nn发散.
n?1?n?1?bn发散时,
n?1?abn?1(5)设α1,α2,α3是3维向量空间R3的一组基,则由基α11,2α12,3α3到基α1?α2,α2?α3,α3?α1的过渡矩阵为
?101??120(A)??220??
(B)???03?023??
?3????103????11??24?1?6??1?11??222?(C)?11???1?
(D)?11?1???246? ?4? ??11??441??2?146?????11??666???(6)设A,B均为2阶矩阵,A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,若A?2,B?3,则分块矩阵??OA?BO?的伴
??随矩阵为
*(A)??O3B?
(B)??2A*O? ??O2B*??3A*O?
??O3A*(C)??
(D)??O2A*??2B*O?
??3B*O? ?(7)设随机变量X的分布函数为F?x??0.3??x??0.7???x?1??2??,其中??x?为标准正态分布函数,则EX?
(A)0
(B)0.3
(C)0.7
(D)1
(8)设随机变量X与Y相互独立,且X服从标准正态分布N?0,1?,Y的概率分布为
P?Y?0??P?Y?1??12,记FZ?z?为随机变量Z?XY的分布函数,则函数FZ?z?的间断点个数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9)设函数f?u,v?具有二阶连续偏导数,z?f?x,xy?,则
?2z?x?y? . (10)若二阶常系数线性齐次微分方程y???ay??by?0的通解为y??Cx1?C2x?e,则非齐次方程
y???ay??by?x满足条件y?0??2,y??0??0的解为y? .
(11)已知曲线L:y?x2?0?x?2?,则?Lxds? . (12)设????x,y,z?x2?y2?z2?1?,则???z2dxdydz? .
?(13)若3维列向量α,β满足αTβ?2,其中αT为α的转置,则矩阵βαT的非零特征值为 . (14)设X1,X2,?,Xm为来自二项分布总体B?n,p?的简单随机样本,X和S2分别为样本均值和样本方
差.若X?kS2为np2的无偏估计量,则k? .
三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分9分)
求二元函数f(x,y)?x2?2?y2??ylny的极值.
(16)(本题满分9分) 设an为曲线y?x与y?x的值.
n(17)(本题满分11分)
n?1?n?1,2,.....?所围成区域的面积,记S1??an,S2??a2n?1,求S1与S2n?1n?1??x2y2x2y2??1绕x轴旋转而成,圆锥面S2是过点?4,0?且与椭圆??1相切的直线椭球面S1是椭圆4343绕x轴旋转而成.
(1)求S1及S2的方程. (2)求S1与S2之间的立体体积.
(18)(本题满分11分)
(1)证明拉格朗日中值定理:若函数f?x?在?a,b?上连续,在(a,b)可导,则存在???a,b?,使得
(19)(本题满分10分) 计算曲面积分I?
?????bf?b??f?a??a. ??ff??x??A,则f???0?存在,且(2)证明:若函数f?x?在x?0处连续,在?0,?????0?内可导,且lim?x?0????xdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z322?,其中
?是曲面2x2?2y2?z2?4的外侧.
f???0??A.
(20)(本题满分11分) (21)(本题满分11分)
设二次型f?x1,x2,x3??ax1?ax2??a?1?x3?2x1x3?2x2x3.
222?1?1?1???1?????1?,ξ1??1? 设A???11?0?4?2???2?????(1)求满足Aξ2?ξ1的ξ2.A2ξ3?ξ1的所有向量ξ2,ξ3. (2)对(1)中的任意向量ξ2,ξ3证明ξ1,ξ2,ξ3无关.
(1)求二次型f的矩阵的所有特征值;
22(2)若二次型f的规范形为y1,求a的值. ?y2