(19)(本题满分12分)
设z?z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数,求z?z(x,y)的极值点和极值.
(20)(本题满分9分) 设有齐次线性方程组
?(1?a)x1?x2???xn?0,?2x?(2?a)x???2x?0,?12n??????????nx1?nx2???(n?a)xn?0,试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.
(n?2),
(21)(本题满分9分) (22)(本题满分9分)
设A,B为随机事件,且P(A)??12?3???设矩阵A??14?3的特征方程有一个二重根,求a的值,并讨论A是否可相似对角化. ????1a5??
111,P(B|A)?,P(A|B)?,令 432?1,A发生,?1,B发生, Y?? X??0,0,A不发生;B不发生.??求:(1)二维随机变量(X,Y)的概率分布. (2)X和Y的相关系数?XY.
(23)(本题满分9分)
设总体X的分布函数为
1??1??,x?1,F(x,?)??x
x?1,??0,其中未知参数??1,X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,
求:(1)?的矩估计量. (2)?的最大似然估计量.
2005年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
曲线y?x2(1)2x?1的斜渐近线方程为 _____________.
(2)微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??19的解为____________. (3)设函数u(x,y,z)?1?x26?y212?z2?118,单位向量n?3{1,1,1},则?u?n(1,2,3)=.________.
(4)设?是由锥面z?x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域,?是?的整个边界的外
侧,则
??xdydz?ydzdx?zdxdy?____________.
?(5)设α1,α2,α3均为3维列向量,记矩阵
A?(α1,α2,α3),B?(α1?α2?α3,α1?2α2?4α3,α1?3α2?9α3),
如果A?1,那么B? .
(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数,记为Y, 则
P{Y?2}=____________.
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)设函数f(x)?limn1?x3nn??,则f(x)在(??,??)内
(A)处处可导 (B)恰有一个不可导点 (C)恰有两个不可导点
(D)至少有三个不可导点
(8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,\M?N\表示\M的充分必要条件是N\则必有 (A)F(x)是偶函数?f(x)是奇函数 (B)F(x)是奇函数?f(x)是偶函数 (C)F(x)是周期函数?f(x)是周期函数
(D)F(x)是单调函数?f(x)是单调函数
(9)设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)??x?yx?y?(t)dt, 其中函数?具有二阶导数,? 具有一阶导数,则
必有
2(A)?2u?x??2u2??y2
(B)?u?2u?x2??y2
(C)?2u?2u?x?y??y2
(D)?2u?2u?x?y??x2
(10)设有三元方程xy?zlny?exz?1,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方
程
(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z?z(x,y)
(B)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和z?z(x,y) (C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y?y(x,z)和z?z(x,y) (D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x?x(y,z)和y?y(x,z)
(11)设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为α1,α2,则α1,A(α1?α2)线性无关的充分必要条件是
(A)?1?0 (B)?2?0
(C)?1?0
(D)?2?0
(12)设A为n(n?2)阶可逆矩阵,交换A的第1行与第2行得矩阵B.A*,B*分别为A,B的伴随矩阵,则 (A)交换A*的第1列与第2列得B*
(B)交换A*的第1行与第2行得B*
(C)交换A*的第1列与第2列得?B*
(D)交换A*的第1行与第2行得?B*
(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立,则
(A)a?0.2,b?0.3
(B)a?0.4,b?0.1
(C)a?0.3,b?0.2 (D)a?0.1,b?0.4
(16)(本题满分12分) 求幂级数
(14)设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X为样本均值,S2为样本方差,则 (A)nX~N(0,1)
(B)nS2~?2(n) (D)
?(?1)n?1(1?n?1?1)x2n的收敛区间与和函数f(x).
n(2n?1)(n?1)X~t(n?1) (C)
S
(n?1)X12?Xi?2n~F(1,n?1)
2i
三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (15)(本题满分11分) 设D?{(x,y)x?y?重积分
222,x?0,y?0},[1?x2?y2]表示不超过1?x2?y2的最大整数. 计算二
??xy[1?xD2?y2]dxdy.