(17)(本题满分11分)
如图,曲线C的方程为y?f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4).设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分
(18)(本题满分12分)
已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)?0,f(1)?1. 证明: (1)存在??(0,1), 使得f(?)?1??.
(2)存在两个不同的点?,??(0,1),使得f?(?)f?(?)?1.
?30(x2?x)f???(x)dx.
(19)(本题满分12分)
设函数?(y)具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上,曲线积分的值恒为同一常数.
(1)证明:对右半平面x?0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有(2)求函数?(y)的表达式.
(20)(本题满分9分)
???(y)dx?2xydy2x2?y4222已知二次型f(x1,x2,x3)?(1?a)x1?(1?a)x2?2x3?2(1?a)x1x2的秩为2.
L(1)求a的值；
(2)求正交变换x?Qy,把f(x1,x2,x3)化成标准形.
???(y)dx?2xydy2x?y24C?0.
(3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解.
(21)(本题满分9分) (22)(本题满分9分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?123???已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零,矩阵B?246(k为常数),且AB?O,求线????36k??性方程组Ax?0的通解.
10?x?1,0?y?2x f(x,y)?
0其它求:(1)(X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y). (2)Z?2X?Y的概率密度fZ(z).
(23)(本题满分9分)
设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1的)简单随机样本,X为样本均值,记
Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.
求:(1)Yi的方差DYi,i?1,2,?,n. (2)Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).
2006年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)
(1)limxln(1?x)x?01?cosx?.
(2)微分方程y??y(1?x)x的通解是 .
(3)设?是锥面z?x2?y2(0?z?1)的下侧,则??xdydz?2ydzdx?3(z?1)dxdy? . ?(4)点(2,1,0)到平面3x?4y?5z?0的距离z= . (5)设矩阵A???21???12??,E为2阶单位矩阵,矩阵B满足BA?B?2E,则B= .
(6)设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则P?max{X,Y}?1?= .
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)设函数y?f(x)具有二阶导数,且f?(x)?0,f??(x)?0,?x为自变量x在x0处的增量,?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若?x?0,则
(A)0?dx??y (B)0??y?dy (C)?y?dy?0
(D)dy??y?0
?(8)设f(x,y)为连续函数,则
?410d??0f(rcos?,rsin?)rdr等于
2(A)
?20dx?1?x22xf(x,y)dy
(B)
?20dx?1?x20f(x,y)dy
22(C)
?2dy?1?y2 (C)
?21?y20yf(x,y)dx
0dy?0f(x,y)dx
?(9)若级数
?an收敛,则级数
n?1?(A)
?an收敛 (B)
n?1??(?1)nan收敛
n?1??(C)
?anan?1收敛
(D)
?an?an?1n?1n?12收敛 (10)设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数,且?1y(x,y)?0.已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件(x,y)?0下的一个极值点,下列选项正确的是 (A)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (B)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0 (C)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0
(D)若fx?(x0,y0)?0,则fy?(x0,y0)?0
(11)设α1,α2,?,αs,均为n维列向量,A是m?n矩阵,下列选项正确的是 (A)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (B)若α1,α2,?,αs,线性相关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关 (C)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性相关 (D)若α1,α2,?,αs,线性无关,则Aα1,Aα2,?,Aαs,线性无关.
(12)设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的-1倍加到第2列得C,记
?110?P???010??,则
??001??(A)C?P?1AP
(B)C?PAP?1
(C)C?PTAP
(D)C?PAPT
(13)设A,B为随机事件,且P(B)?0,P(A|B)?1,则必有 (A)P(A?B)?P(A) (B)P(A?B)?P(B)
(C)P(A?B)?P(A)
(D)P(A?B)?P(B)
(14)设随机变量X服从正态分布N(?221,?1),Y服从正态分布N(?2,?2),
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