(22)(本题满分11分)
袋中有1个红色球,2个黑色球与3个白球,现有回放地从袋中取两次,每次取一球,以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数.
(1)求pX?1Z?0.
(2)求二维随机变量?X,Y?概率分布.
(23)(本题满分11 分)
??2xe??x,x?0设总体X的概率密度为f(x)??,其中参数?(??0)未知,X1,X2,…Xn是来自总体X?0,其他的简单随机样本.
(1)求参数?的矩估计量. (2)求参数?的最大似然估计量.
??
2010年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
?x2x(1)极限lim?x????(x?a)(x?b)??= (A)1
(B)e
(C)ea?b
(D)eb?a
(2)设函数z?z(x,y)由方程F(y,z)?0确定,其中F为可微函数,且F2??0,则x?z?xx?x?yz?y= (A)x
(B)z (C)?x
(D)?z
(3)设m,n为正整数,则反常积分?1mln2(1?x)0nxdx的收敛性
(A)仅与m取值有关 (B)仅与n取值有关
(C)与m,n取值都有关
(D)与m,n取值都无关
nn(4)limnx????i?1j?1(n?i)(n2?j2)= (A)
?110dx?x10(1?x)(1?y2)dy (B)
?10dx?x0(1?x)(1?y)dy
(C)?111110dx?0(1?x)(1?y)dy
(D)?10dx?0(1?x)(1?y2)dy (5)设A为m?n型矩阵,B为n?m型矩阵,若AB?E,则 (A)秩(A)?m,秩(B)?m (B)秩(A)?m,秩(B)?n
(C)秩(A)?n,秩(B)?m
(D)秩(A)?n,秩(B)?n
(6)设A为4阶对称矩阵,且A2?A?0,若A的秩为3,则A相似于 ??1???1?(A)?1???
(B)?1???
?1??0????1??0????1????1??(C)??1????
(D)??1?1??? ?0????1??0??0 x?0(7)设随机变量X的分布函数F(x)?
12 0?x?1,则P{X?1}= 1?e?x x?2(A)0 (B)1
(C)
12?e?1
(D)1?e?1
(8)设f1(x)为标准正态分布的概率密度,f2(x)为[?1,3]上均匀分布的概率密度,
f(x)?
af1(x)bf x?0 (a?0,b?0) 2(x)x?0为概率密度,则a,b应满足
(A)2a?3b?4 (B)3a?2b?4
(C)a?b?1 (D)a?b?2
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)
(9)设x?e?t,y??tln(1?u20)du,求d2ydx2= .
t?0(10)
??20xcosxdy= .
(11)已知曲线L的方程为y?1?x{x?[?1,1]},起点是(?1,0),终点是(1,0), 则曲线积分
?Lxydx?x2dy= .
(12)设??{(x,y,z)|x2?y2?z?1},则?的形心的竖坐标z= . (13)设α1?(1,2,?1,0)T,αT2?(1,1,0,2),α3?(2,1,1,?)T,若由α1,α2,α3形成的向量空间的维数是2,则
?= .
(14)设随机变量X概率分布为P{X?k}?(16)(本题满分10分)
C(k?0,1,2,?),则EX2= . k!求函数f(x)?
?x1(x2?t)e?tdt的单调区间与极值.
2
三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分10分)
求微分方程y???3y??2y?2xex的通解.
(17)(本题满分10分) (1)比较
(18)(本题满分10分)
10?10lnt[ln(1?t)]ndt与?tnlntdt(n?1,2,?)的大小,说明理由.
(2)记un?
?10lnt[ln(1?t)]ndt(n?1,2,?),求极限limun.
x??(?1)n?12n求幂级数?x的收敛域及和函数.
n?12n?1?
(19)(本题满分10分)
设P为椭球面S:x2?y2?z2?yz?1上的动点,若S在点P的切平面与xoy面垂直,求P点的轨迹C,并计算曲面积分I????(20)(本题满分11分)
(x?3)y?2z4?y?z?4yz22dS,其中?是椭球面S位于曲线C上方的部分.
11????a?????设A??0??10?,b??1?,已知线性方程组Ax?b存在两个不同的解.
?1?1?1??????(1)求?,a.
(2)求方程组Ax?b的通解.