2007年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(本题共10小题,每小题4分,满分40分,在每小题给的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后括号内)
(1)当x?0?时,与x等价的无穷小量是 (A)1?ex
(B)ln1?x1?x
(C)1?x?1
(D)1?cosx
(2)曲线y?1x?ln(1?ex),渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2
(D)3
(3)如图,连续函数y?f(x)在区间[?3,?2],[2,3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[?2,0],[0,2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周,设F(x)??xf(t)dt
0.则下列结论正确的是
(A)F(3)??3F(?2) (B)F(3)?54 4F(2) (C)F(3)?34F(2)
(D)F(3)??54F(?2)
(4)设函数f(x)在x?0处连续,下列命题错误的是
(A)若limf(x)x?0x存在,则f(0)?0
(B)若limf(x)?f(?x)x?0x 存在,则f(0)?0
(C)若limf(x)x?0x 存在,则f?(0)?0
(D)若limf(x)?f(?x)x?0x 存在,则f?(0)?0
(5)设函数f(x)在(0, +?)上具有二阶导数,且f\x)?0, 令un?f(n)?1,2,?,n,则下列结论正确的是
(A)若u1?u2,则{un}必收敛
(B)若u1?u2,则{un}必发散
(C)若u1?u2,则{un}必收敛
(D)若u1?u2,则{un}必发散
(6)设曲线L:f(x,y)?1(f(x,y)具有一阶连续偏导数),过第2象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N,?为L上从点M到N的一段弧,则下列小于零的是
(A)??(x,y)dx
(B)??f(x,y)dy
(C)
??f(x,y)ds
(D)
??f'x(x,y)dx?f'y(x,y)dy
(7)设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线形相关的是
(A)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (B)α1?α2,α2?α3,α3?α1 (C)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1
(D)α1?2α2,α2?2α3,α3?2α1
?2?1?1??100?(8)设矩阵A????12?1??,B???010??,则A与B
???1?12????000??(A)合同,且相似
(B)合同,但不相似
(C)不合同,但相似
(D)既不合同,也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p?0?p?1?,则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为
(A)3p(1?p)2
(B)6p(1?p)2
(C)3p2(1?p)2
(D)6p2(1?p)2
(10)设随即变量(X,Y)服从二维正态分布,且X与Y不相关,fX(x),fY(y)分别表示X,Y的概率密度,则在Y?y的条件下,X的条件概率密度fX|Y(x|y)为
(A)fX(x)
(B)fY(y)
(C)fX(x)fY(y) (D)
fX(x)f Y(y)
二、填空题(11－16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上) (11)
?2111x3exdx=_______. (12)设f(u,v)为二元可微函数,z?f(xy,yx),则
?z?x=______. (13)二阶常系数非齐次线性方程y''?4y'?3y?2e2x的通解为y=____________. (14)设曲面
(18)(本题满分10分)
?:|x|?|y|?|z|?1,则????(x?|y|)ds=_____________.
y2(0?z?1)的上侧. 计算曲面积分I???xzdydz?2zydzdx?3xydxdy,其中 ?为曲面z?1?x?4?2?0?0(15)设矩阵A???0??0100001000??0?3,则A的秩为________. 1??0?1的概率为________. 2(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两个数之差的绝对值小于
三、解答题(17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
(17)(本题满分11分)
求函数 f(x,y)?x2?2y2?x2y2在区域D?{(x,y)|x2?y2?4,y?0}上的最大值和最小值.
(19)(本题满分11分)
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)?g(a),f(b)?g(b),证明:存在??(a,b),使得 f??(?)?g??(?).
(20)(本题满分10分) 设幂级数
?axnn?0?n 在(??,??)内收敛,其和函数y(x)满足
y???2xy??4y?0,y(0)?0,y?(0)?1.
(1)证明:an?2?2an,n?1,2,?. n?1(2)求y(x)的表达式.
(21)(本题满分11分)
设线性方程组
与方程
有公共解,求a的值及所有公共解.
??x1?x2?x3?0?x1?2x2?ax3?0, ??x1?4x2?a2x3?0x1?2x2?x3?a?1,
(22)(本题满分11分)
设3阶实对称矩阵A的特征向量值?1?1,?2?2,?3??2.α1?(1,?1,1)T是A的属于特征值?1的一个特
征向量,记B?A5?4A3?E,其中E为3阶单位矩阵.
(1)验证α1是矩阵B的特征向量,并求B的全部特征值与特征向量. (2)求矩阵B.
(23)(本题满分11分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)???2?x?y,0?x?1,0?y?1?0,其他 (1)求P{X?2Y}.
(2)求Z?X?Y的概率密度.
(24)(本题满分11分) 设总体X的概率密度为
??12?,0?x???f(x;?)???12(1??),??x?1
???0,其他?X1,X2?,Xn是来自总体x的简单随机样本,X是样本均值
(1)求参数?的矩估计量??.
(2)判断4X2是否为?2的无偏估计量,并说明理由.