2008年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
2(1)设函数f(x)??x0ln(2?t)dt则f?(x)的零点个数
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
(2)函数f(x,y)?arctanxy在点(0,1)处的梯度等于 (A)i (B)-i
(C)j
(D)?j
(3)在下列微分方程中,以y?C1ex?C2cos2x?C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是 (A)y????y???4y??4y?0 (B)y????y???4y??4y?0 (C)y????y???4y??4y?0
(D)y????y???4y??4y?0
(4)设函数f(x)在(??,??)内单调有界,?xn?为数列,下列命题正确的是 (A)若?xn?收敛,则?f(xn)?收敛 (B)若?xn?单调,则?f(xn)?收敛 (C)若?f(xn)?收敛,则?xn?收敛
(D)若?f(xn)?单调,则?xn?收敛
(5)设A为n阶非零矩阵,E为n阶单位矩阵. 若A3?0,则
(A)E?A不可逆,E?A不可逆
(B)E?A不可逆,E?A可逆 (C)E?A可逆,E?A可逆 (D)E?A可逆,E?A不可逆
?(6)设A为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程(x,y,z)A?x??y???1??z??在正交变换下的标准方程的图形如图,则A的正特征值个数为
(A)0 (B)1 (C)2
(D)3
(7)设随机变量X,Y独立同分布且X分布函数为F?x?,则Z?max?X,Y?分布函数为 (A)F2?x?
(B) F?x?F?y?
(C) 1??2?1?F?x???
(D) ??1?F?x?????1?F?y???
(8)设随机变量X~N?0,1?,Y~N?1,4?且相关系数?XY?1,则 (A)P?Y??2X?1??1 (B)P?Y?2X?1??1 (C)P?Y??2X?1??1
(D)P?Y?2X?1??1
二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.) (9)微分方程xy??y?0满足条件y?1??1的解是y??????????????????. (10)曲线sin?xy??ln?y?x??x在点?0,1?处的切线方程为?????????????????.
??(11)已知幂级数
?a?x?2nn?在x?0处收敛,在x??4处发散,则幂级数
n?0?a?nnx?3?的收敛域为
n?0?????????????????.
(12)设曲面?是z?4?x2?y2的上侧,则??xydydz?xdzdx?x2dxdy??????????????????.
?(13)设A为2阶矩阵,α1,α2为线性无关的2维列向量,Aα1?0,Aα2?2α1?α2,则A的非零特征值为
?????????????????.
(14)设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则P?X?EX2???????????????????.
三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
(15)(本题满分10分)
(17)(本题满分10分)
sinx?sin?sinx??sinx???求极限lim. x?0x4
(16)(本题满分10分)
计算曲线积分
?x2?y2?2z2?0已知曲线C:?,求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.
?x?y?3z?5
?sin2xdx?2?xL2?1?ydy,其中L是曲线y?sinx上从点?0,0?到点??,0?的一段.
(18)(本题满分10分) 设f?x?是连续函数, (1)利用定义证明函数F?x??(19)(本题满分10分)
f?x??1?x2(0?x??),用余弦级数展开,并求????1?n2n?1的和.
?f?t?dt可导,且F??x??f?x?.
0xn?1(2)当f?x?是以2为周期的周期函数时,证明函数G?x??2期函数.
?x0f(t)dt?x?f(t)dt也是以2为周期的周
02
(20)(本题满分11分) (21)(本题满分11分)
A?ααT?ββT,αT为α的转置,βT为β的转置.证明:
(1)r(A)?2.
(2)若α,β线性相关,则r(A)?2.
?2a1??2?a2a??设矩阵A??,现矩阵A???1???2a2a??n?nX??x1,?,xn?,B??1,0,?,0?,
T满足方程AX?B,其中
(1)求证A??n?1?a.
n(2)a为何值,方程组有唯一解,求x1. (3)a为何值,方程组有无穷多解,求通解.
(22)(本题满分11分)
设随机变量X与Y相互独立,X的概率分布为P?X?i??(23)(本题满分11分)
1?i??1,0,1?,Y的概率密度为3设X1,X2,?,Xn是总体为N(?,?2)的简单随机样本.
?10?y?1,记Z?X?Y, fY?y???0其它??1?(1)求P?Z?X?0?.
121n1n222T?X?S 记X??Xi,S?,(X?X)?inn?1i?1ni?1 (1)证明T是?2的无偏估计量.
?2(2)求Z的概率密度.
?(2)当??0,??1时 ,求DT.