（备战中考）中考数学深度复习讲义 （教案+中考真题+模拟试题+单元测试）
解直角三角形及其应用
?考点聚焦
1．掌握并灵活应用各种关系解直角三角形，这是本节重点．
2．了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，?怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点． ?备考兵法
正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，?工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键． 注意：（1）准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角． （2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形．
（3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，?从而转化为解直角三角形的问题． ?识记巩固
1．直角三角形的边角关系：
在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．
22
（1）三边之间的关系：a+b=_____；
（2）两锐角之间的关系：∠A+∠B=______； （3）直角三角形斜边上的中线等于_______；
（4）在直角三角形中，30°角所对的边等于_______． 2．解直角三角形的四种类型：
已知条件 解法
c=______, tanA=______, 两条直角边a、b
∠B=_______. b=______, sinA=_____, 一条直角边a和斜边c
∠B=______. c=_______, b=_______, 一条直角边a和锐角A
∠B=_______ a=_______, b=_______, 斜边c和锐角A
∠B=_______
3．坡面的_________的比叫坡度i（?也叫坡比）?，?坡度越大，?坡面越陡；?坡面与______的夹角，用a表示，tana=i=
h． l 4．视线在水平线上方的角叫做_______；视线在水平线下方的角叫________．
5．方向角：正北或正南方向与目标方向线所成的_______的角叫方向角，?常用“北偏东（西）××度”或“南偏东（西）××度”来描述． 识记巩固参考答案:
2
1．（1）c （2）90° （3）斜边的一半 （4）斜边的一半
2．a2?b2 aaa 90°-∠A c2?a2 90°-∠A c2?a2 bcsinA90°-∠A c·sinA c2?a2 90°-∠A
3．垂直高度h和水平宽度L 水平面 4．仰角 ?俯角 5．小于90° ?典例精析
例1 （2011山东威海，23，10分）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长．
【答案】 解：过点B作BM⊥FD于点M． 在△ACB中，∠ACB=90°, ∠A=60°,AC=10, ∴∠ABC=30°, BC=AC tan60°=103, ∵AB∥CF，∴∠BCM=30°． ∴BM?BC?sin30??103?1?53 23CM?BC?cos30??103??15
2在△EFD中，∠F=90°, ∠E=45°, ∴∠EDF=45°, ∴MD?BM?53．
∴CD?CM?MD?15?53．
例2 （2011山东烟台，21,8分）综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）.
（参考数据：sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin 72°≈0.95，cos 72°≈0.31，tan72°≈3.08）
A E F B α C M N β R D
【答案】解：过点F作FG∥EM交CD于G. 则MG＝EF＝20米. ∠FGN＝∠α＝36°.
∴∠GFN＝∠β－∠FGN＝72°－36°＝36°. ∴∠FGN＝∠GFN，
∴FN＝GN＝50－20＝30（米）. 在Rt△FNR中， FR＝FN×sinβ＝30×sin72°＝30×0.95≈29（米）.
一、选择题
1. （2011湖北武汉市，10，3分）如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距离O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为
A．12秒． B．16秒． C．20秒． D．24秒．
【答案】B
2. （2011湖南衡阳，9，3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（ ）
A．10m B．103m C．15m D．53m 【答案】A
3. （2011山东东营，8，3分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：3（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）
A．53米
B．10米
C．15米
D．103米
【答案】A
4. （2010湖北孝感，10，3分）如图，某航天飞船在地球表面P点的正上方A处，从A处观测到地球上的最远点Q，若∠QAP=α，地球半径为R，则航天飞船距离地球表面的最近距离AP，以及P、Q两点间的地面距离分别是（ ）
90????R?R??RR?R，A. ， B.
sin?sin?180180?90????R D. R?R，?90????R R?R，C.
sin?cos?180180【答案】B
5. （2011宁波市，9，3分）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长l为
hhh B． C． D． h·sina sinatanacosa
【答案】A
6. （2011台湾台北，34）图(十六)表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3
点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分。如图(十七)，若此钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，则钟面显示3点50分时，A点距桌面的高度为多少公分
A．
A．22－33 B．16＋? C．18 D．19
【答案】D
7. （2011山东潍坊，10，3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面
的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（ ）
同学 甲 乙 丙 丁 放出风筝线长 140m 100m 95m 90m 线与地面夹角 30° 45° 45° 60° A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【答案】D
8. （2011四川绵阳10，3）周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米。假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则 可计算出塔高约为(结果精确到0.01，参考数据：2=1.414，3=1.73)
A.36.21 米 B.37. 71 米 C.40. 98 米 D.42.48 米 【答案】D 二、填空题
1. （2011山东济宁，15，3分）如图，是一张宽m的矩形台球桌ABCD，一球从点M（点M在长边CD上）出发沿
虚线MN射向边BC，然后反弹到边AB上的P点. 如果MC?n，?CMN??.那么P点与B点的距离为 .
A B
· N· D 【答案】
?M C
(第15题)
m?n?tan?
tan?2. （2011浙江衢州，13,4分）在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B、C两地相距 m.
北30°BC60°A【答案】200 （第13
3. （2011甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1∶3，坝外斜坡的坡度i=1∶1，则两个坡角的和为 。 【答案】75
4. （2011广东株洲，11，3分）如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水
到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），AB=80米，则孔明从A到B上升的高度BC是 米．
【答案】40
5. （2011浙江义乌，15，4分）右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其 中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC=135°，BC的长约是52m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 ▲ m．
C D
135° A B h
【答案】5
6. (2011广东茂名，13，3分）如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC＝ 米．
【答案】100
7. （2011湖北襄阳，14，3分）在207国道襄阳段改造工程中，需沿AC方向开山修路（如图3所示），为了加快施工
速度，需要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝1000m，∠D＝50°.为了使开挖点E在直线AC上，那么DE＝ m.（供选用的三角函数值：sin50°＝0.7660，cos50°＝0.6428，tan50°＝1.192）
AB140°CE图3
【答案】642.8
8. （2011内蒙古乌兰察布，16，4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8?和10?，大灯A与地面离地面的距离为1m则该车大灯照亮地面的宽度BC是 m .（不考虑其它因素）
50°D
第16题图