A B 60° D
【答案】解：（1）6
306米
C
（2）在Rt△ABD中，AB?ADsin?ADB?6sin60??33?3?1.73?5.19(米)所以旗杆AB的高度为5.19米． 48. （2011湖北荆州，21，8分）（本题满分8分）某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝，其半圆形桥洞的横截面如图所示.已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i＝1：3.7，桥下水深OP＝5米，水面宽度CD＝24米.设半圆的圆心为O，直径AB在直角顶点M、N的连线上，求从M点上坡、过桥、下坡到N点的
0最短路径长.（参考数据：??3，3?1.7，tan15?12?3）
【答案】 解：连结OD、OE、OF，由垂径定理知：PD＝ 1 2 CD＝12（m）? 在Rt△OPD中，OD?∴OE＝OD＝13m
， PD2?OP2?52?122?13（m）
0∵tan∠EMO=i= 1： 3.7 ， tan15?∴∠EMO＝15°
由切线性质知∠OEM＝90° ∴∠EOM=75°? 同理得∠NOF＝75° ∴∠EOF＝180°-75°×2＝30°? 在Rt△OEM中，tan15°＝
12?3≈ 1：3.7
OE EM∴EM＝3.7×13＝48.1（m）
又EF的弧长＝30π×13÷180 ＝6.5（m） ∴48.1×2+6.5＝102.7（m）
即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为102.7米. 49. 50.
2011中考模拟分类汇编：直角三角形与勾股定理 一、选择题
1、(2011浙江杭州模拟14)如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在斜边AB上的点E处. 已知AB=83, ∠B=30°, 则DE的长是( ).
A. 6 B. 4 C. 43 D. 23 答案：B
2.（2011湖北崇阳县城关中学模拟）直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A. 5 B. C. 7 D. 答案：A
3．（2011年杭州市上城区一模）梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3 ， 且S1 +S3 =4S2，则CD=（ ）
A. 2.5AB B. 3AB C. 3.5AB D. 4AB 答案：B
4．（2011年浙江省杭州市模2）直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（ ）
A. 5 B. C. 7 D. （第3答案：A
二、填空题 1、（2011年北京四中三模）如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，所有
C 的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为5cm，则正方形A、B、C、D的
面积和是 ． D B A 答案：25cm2
2．（2010－2011学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题）如图是两个全
等的三角形纸片，其三边长之比为3：4：5，按图中方法分别将其对折，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为SA，SB，已知SA+SB=13，则纸片的面积是 . SS答案：36 3、(2011浙江杭州模拟15)如图，将含30°角的直角三角尺ABC绕点B顺时针旋转150°后得到△EBD，连结CD.若AB=4cm. 则△BCD的面积为 ．
答案：3cm
4．(2011年宁夏银川)将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积_________cm2． 答案：
2第2题图
49 2A 30° F 45° 5.(2011浙江省杭州市8模)如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示C B 意图，它是由四全
等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6E 的直角边分别向外D 延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是__________； 第4题 B A
A B
C C (第5题图)
图1
答案:76 图2 6、（2011年浙江杭州二模）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是 米. 答案：8
C
A
7、（2011年浙江杭州八模）如图，小明在A时测得某树的影长为3B 米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的D P
第6题图
光线互相垂直，则树的高度为_____米. 答案：6
B C A
B C A
第8题图 8、（2011年浙江杭州八模）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，图1
若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风
图2
车的外围周长是__________； 答案：76
9. (浙江省杭州市党山镇中2011年中考数学模拟试卷)如图，将边折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交AC于点
D，AD＝1，则重叠部分的面积为 . ADNFM长为3?3的等边△ABCM、N，DF?AB，垂足为
393+ 答案：44B组 ECB1．（ 2011年杭州三月月考）将一副三角板按如图1位置摆放,使得两块三角板的直角边AC和MD重合.已知AB=AC=8 cm,将△MED绕点A(M)逆时针旋转60°后(图2),两个三角形重叠（阴影）部分的面积是 ▲ 2cm E答案：48?163
2．（2011年重庆江津区七校联考一模）一元二次方程的两根恰好是一直角三角形的两边长，则该直角三角形的面积
B图1CDDA(M)B图2ECx2?7x?12?0为 。
A(M)37 答案： 6或2(第1题)
3、（2011年浠水模拟2）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个 直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_______________； B A A B C
C 答案： 76
图1
4. （2011年杭州市模拟）侧棱长为15cm的直三棱柱的三个侧面面积分别为252cm、255cm和253cm，则
该棱柱上底面的面积为 cm． 答案：
2222图2
256 18
5. （2011年海宁市盐官片一模）已知a,b,c是直角三角形的三条边，且a?b?c，斜边上的高为h，则下列说法中正确的是 。（只填序号）
224222①ab?h?(a?b?1)h；②b?ch?bc；
42222b2③由a,b,c可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是.
2答案：②③
6．（2011北京四中一模）在数学活动课上名师带领学生去测量河两岸A， B两处之间的距离，先从A处出发与AB成90°方向，向前走了10米到C处，在C处测得∠ACB＝60°(如图所示)，那么A，B之间的距离约为 米（计算结果精确到0.1米) 答案：17
7. （2011深圳市中考模拟五）等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于 ． 答案: 15°或75°
三、解答题
1、(2011浙江杭州模拟14)
如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与折线A-C-B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．
（1）当t?0.5时，求线段QM的长；
（2）点M在线段AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请直接写出t的值（不需解题步骤）；若不可以，请说明理由．
（3）若△PCQ的面积为y，请求y关于出t 的函数关系式及自变量的取值范围；
答案：
解：（1）由Rt △AQM∽Rt△CAD． ?????????????????2分
∴ QMAM?AD． 即QM
CD0.5 ? 42，∴ QM?1． ????????????? 1分 （2）t?1或53或4． ?????????????????3分
（3）当0＜t＜2时，点P在线段CD上，设直线l交CD于点E
由（1）可得
QMAM?ADCD． 即QM=2t．∴QE=4-2t．?????????2分 ∴S1△PQC =2PC·QE=?t2?2t ??????????????????1分
即y??t2?2t
当t＞2时，过点C作CF⊥AB交AB于点F，交PQ于点H.
PA?DA?DP?4?(t?2)?6?t． 由题意得，BF?AB?AF?4．
∴ CF?BF． ∴?CBF?45?． ∴ QM?MB?6?t． ∴QM?PA． ∴ 四边形AMQP为矩形．
∴ PQ∥AB．CH⊥PQ，HF=AP=6- t ∴ CH=AD=HF= t-2 ??????????????????????1分
∴S△PQC =112PQ·CH=2t2?t ???????????????1分 即y=
12t2?t 综上所述 y??t2?2t(0?t?2)或y=12t2?t ( 2 2、(2011浙江杭州模拟16) 数形结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形： 助于数的精确性来阐明形的某些属性，即 “以数解形” 观性来阐明数之间的某种关系，即 “以形助数”。 ；或者借助形的 如浙教版九上课本第 109页作业题第2题：如图1 ，已知在△ABC中，ACB=900，CD⊥AB，D为垂足。易证得两个结论：(1)AC·BC = AB·CD (2)AC2 = （1）请你用数形结合的“以数解形”思想来解：如图2，已知在△（AC>BC），∠ACB=900 ，CD⊥AB，D为垂足， CM平分∠ACB,且BC、AC是 或者借 几何直∠ AD·AB ABC中 方程 x-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长。 （2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解： 设a、b、c、d都是正数，满足a：b=c：d,且a最大。求证：a+d>b+c（提示：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c，构造图1） 答案： 2 解：（1）显然，方程x-14x+48=0的两根为6和8， ·············································· 1分 又AC>BC ∴AC=8，BC=6 由勾股定理AB=10 2 △ACD∽△ABC，得AC= AD·AB ∴AD=6.4 -------------------------------2分 ∵CM平分∠ACB ∴AM：MB=AC：CB 2 40--------------------------------- 1分 724∴MD=AD-AM=-----------------------------1分 35解得，AM= （2）解：不访设AB=a,CD=d,AC=b,BC=c 由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC 2AB·CD=2AC·BC -------------------------1分 222 又勾股定理，得AB=AC+BC 222 ∴AB+2AB·CD =AC+BC+2AC·BC(等式性质) 22 ∴AB+2AB·CD =（AC+BC）----------------------1分 222 ∴AB+2AB·CD+CD >（AC+BC）--------------------2分 22 ∴(AB+CD) >（AC+BC） 又AB、CD、AC、BC均大于零 ∴AB+CD>AC+BC即a+d>b+c--------------------1分 3. （2011年北京四中中考全真模拟17）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米. 一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行多少米？ 1、探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和 （或差）的有关问题，这种方法称为面积法。请你运用面积法求解下列问题：在等腰三 角形ABC中，AB=AC,BD为腰AC上的高。 (1)若BD=h，M时直线BC上的任意一点，M到AB、AC的距离分别为h1，h2。 ① 若M在线段BC上，请你结合图形①证明：h1+h2= h； 图① ② 当点M在BC的延长线上时，h1，h2，h之间的关系为 . （请直接写出结论，不必证明） 3（2）如图②，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y = x + 6 ；l2 ：y = -3x+6 4若l2上的一点M到l1的距离是3，请你利用以上结论求解点M的坐标。 （1）证明：连结AM ①∵S?ABC?S?ABM?S?ACM, EM⊥AB , MF⊥AC, BD⊥AC ∴ y E O F x 111AC.h = AB.h1 + AC.h2 222D y E 又∵AB = AC ∴h = h1 + h2 ??????????????????2分 ②h1 - h2 = h ??????????????????3分 （2）由题意可知，DE = DF =10, ∴△EDF是等腰三角形。???????????????4分