高等数学(上)期末复习指导 09年12月
高等数学上册导学案 目 录
第一部分 常考题型与相关知识提要 1 第二部分 理工大学01—08级高等数学(上)期末试题集（8套题） 18 01—08级高等数学(上)期末试题试题参考解答 26
第三部分 高等数学(上)期末模拟练习题（5套题） 39
模拟试题参考解答 46
第四部分 09级高等数学（上）考前最后冲刺题（1套题） 57
第一部分 常考题型与相关知识提要
题型一 求极限的题型 相关知识点提要 须熟记下列极限: (1)基本的极限：
?0, q?1? 1）limqn??， 2）limna?1,(a?0)，limnn?1 1, q?1n??n??n???发散, q?1,q??1??0,n?m?anxn??a0?an 3） lim??,n?m.
x??bxm??bm0?bm???,n?m.(2) 重要极限
sin?(x)?1 2）lim[1??(x)]?(x)?e 1）lim?(x)?0?(x)?(x)?0(３) 常见的等价无穷小
?(x)sin?(x)tg?(x) e?(x)1arcsin?(x)arctg?(x).
1??(x),ln(1??(x))?(x),1?cos?(x)n?(x)22，
a?(x)?1?(x)lna， n1??(x)?1?(x) 其中(?(x)?0指对于任何极限过程) (４)x???时，无穷大量logax(a?1),x?(??0),ax(a?1)的级别依次从小到大排列.
求极限的方法:
方法1、运用四则运算法则
注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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运用四则运算法则求极限时要注意运算条件：
1）所有极限存在.2）分母极限不为０；3）有限成立.
im(f)x(f)x0，方法2、运用连续函数性质：如l则limf[g(x)]?f[limg(x)].
x?x0x?x0x?x0方法3、运用定理：有界量乘无穷小量仍是无穷小量
方法4、运用两边夹法则
g(x)?f(x)?h(x),且limg(x)?limh(x)?A,则limf(x)?A 方法5 利用左右极限
方法6、利用通分、约分、有理化、同除等初等方法消去未定型因素 方法7、利用重要极限
方法8、用等价无穷小替换
要注意使用条件：只能代换极限式的分子或分母中的因子，而不能代换“项”. 方法9、用罗比塔法则 要注意条件：（1）、必须是标准型未定式 （2）、必须极限存在 技巧：使用前先用下列方法化简
（1）、使用变量代换（2）、使用无穷小代换 （3）、先将能定形的极限算出
01-08年相关考题
较基本的极限： 1．limxsinx?01? （01、一（1）、3） x2x3?12．lim3= . （05、一（1）、3）
x??x?x?1sinax23．若lim、3） ?,则a= . （02、一（1）
x?02x3sinax34．lim、3） ?,则a? . （04、一（2）
x?0sin5x4?165．数列x??n,?????????????n??10??，则limxn?______（03、一（1）、3）
?n??n?106,???????????n??106?????????????6、在x0的某去心邻域内无界是limf(x)??的_______条件. （03、一（2）、3）
x?x0137.计算lim(?).（07.二.1.6
x?11?x1?x3n?3)8.lim(kn?1)(2?6.则k? .（08一 、1、3） 2n??n可用罗比塔法则或等价无穷小替换法计算的极限：
2ln(1?3x)（01、二(2)、5） 9求limx?0ln(3?x4)10求 limarctanx（03、二（1）、5）
x??1x2ln(1?)xex?e?x?211lim（03、二（2）、5） x?01?cosx1?型的极限
注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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12.lim(x??1?x2x、3） )= （05、一（2）
xx3x?3?13．极限lim?、3） __（06、一（2）???__________x??x??14．函数f(x)=lim(15.lim(x??n?xn、3） )? （04、一（3）
n??n?2x?2kx)?e2,则 k? x? . （08一 、2、3）
116. lim(1-sin2x)xx?0含有积分号的极限： 17．lim?x?0x0sintdtx2.（02、二（1）、5）
x18．求极限lim?0tarctantdtxx0x???2.（06、二（1）、6）
219．计算极限：limx?(arctant）x+122x??t2、6） dt（04、二（1）
20计算极限limx?0??edt?.（05、二（1）
、6）
0?x0te2tdt221.已知f(x)连续，求limxxf(t)dt.（08二、2 、7）
x?ax?a?a题型二 求导数的题型
相关知识点提要
求导数方法： 1）用定义
2）用四则运算法则求导法则、反函数与复合函数求导法则、隐函数与参数方程求导法则、对数求导法则、幂指函数求导法则及积分上限求导法则.
求导时要注意下列事项:
(1)当未知函数可导或分段函数的分界点当用定义求;
(2)f?[g(x)]表示f?(t)t?g(x);
(3) 幂指函数f(x)g(x)要取对数才能求导;
dyd()dydxd()2dt (4)参数方程求二阶导数时要分清求导对象:dy?dx?2dxdxdxdt(5)给定点导数应先求导再代值.
(6)对积分上限的求导公式中,被积函数中不得含有求导对象,否则要作代换使被积函数中不得含有求导对象后再用求导公式. 01-08年相关考题
求显函数的导数:
注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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1y?xarcsin(lnx),求y?.（01、二（2）、5） 2．y?e?sin21x，求y?.（05、二（2）、6）
3．y?f(ex)ef(x)，其中f(x)可导，求
dy.（02、二（2）、5 dx４.arctanx?arccotx? . （08一 、4、3） 求隐函数的导数:
5.求由方程ysinx?xcos(x?y)?0所确定的隐函数y?y(x)的导数y?. （01、二（3）、5） 6.设函数y?f(x)由方程xy?ex?y确定，求dy.（05、二（3）、6）
dx7.函数y?y(x)由方程x3?y3?3axy?0确定，求dy.（06、二（3）、6） 8设函数y?f(x)由方程xy?ex?ey?0确定，求dy.（07.二.3.6）
求参数方程的导数
?x?ln(1?t2dyd2y9?，求和2（04、二（3）、6）
dxdx?y?arctant?x?arctantdyd2y（06、二、2） y?y(x)10求由参数方程?确定的函数的导数,22dxdxy?ln(1?t)??t2x?11. 设?2求??y?1?t?dyd2y.（08二、1 、7） ,dxdx2积分上限求导 12.设?(x)??bxtsint2dt,则
x 2213．设F(x)??0tf(x-t)dt，求F??(x)（04、二（8）、6）
d?
? （02、一（3）、3） dx
14.设f(x)可导，f(0)?0，F(x)??x0tn?1f(xn?tn)dt,n为正整数，证明：
F(x)1?f?(0)（07.五4）
x?0x2n2n3xdy15设y??etdt，求.（07.二2，6）
lnxdxlim16.设y(x)由方程
求微分
17．y?lnf(x),f??(x)存在, 求
xy ?yt2edt?x2y?1所确定，则0y'? . （08一 、7、3）
y??（03、二（3）、5）
18.dx2? dx（01、一（2）、3） 19.设xy?e?e=0，求dy （04、二（2）、6）
20.设y?x，（x?0），求dy.（02、二（3）、5）
21设y?f(sinx)，f可导，则dy? （07、一3.3）
题型三 关于连续与可导概念的题型
注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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cosx 高等数学(上)期末复习指导 09年12月
相关知识点提要
可导?可微?连续
左右极限存在的间断点为第一类间断点, 左右极限相等的间断点为可去间断点. 左右极限存在但不相等的点为跳跃间断点，左右极限至少有一者不存在的间断点为第二类间断点
01-08年相关考题 函数的连续性:
?x?1,x?11.函数y??,当a= 时连续. （02、一（2）、5）
a?x,x?1??ex,x?02．f(x)??，若f(x)在(??,??)连续，则a= （05、一（3）、3）
a?x,x?0?3．x?1是函数f(x)=e4.使函数f(x)?1x-1的第 类间断点（04、一（4）、3）.
sin2x在x?0处连续，应补充定义 .（06、一（1）、3） 3x1x?0是f(x)?x?sin的可去间断点,则常数?的取值范围是_____5．（03、一（3））
x?x?1,??x?16.点x?1是函数y??的第一类间断点中的 间断点（07.一．2）
?3?x,??x?1（0，-2）7. 曲线y?x3上经过点的切线方程为 . （08一 、3、3）
函数的可导性:
?x2, x?18．设f(x)??为了使f(x)在x?1连续可导函数，a,b应取什么值？
ax?b,x?1?（05、三、8）
ax??e,???????????x??0??9、设f(x)??，在x?0处可导，求a,b.（03、三、5）
2??b(x?1),??x??0?????????????ln(a+x2),x>110．讨论a,b为何值时，函数f(x)??在x?1处可导.（03、一（4）、8）
?x?b,x?111.函数f(x)???x, x?0在点x?0处的导数为 （01、一（8）、3）（03、一（5））
?x, x?0?0x?0112、已知f(x)连续，?(x)??f(xt)dt,limf(x)?A.（A为常数），求（1）f(0),?(0);
x（2）?'(x);（3）讨论?'(x)在x?0处的连续性. （08五 、6）
h?013.f'(x0) 存在，则极限limf(x0?h)?f(x0?h)?________.（ 06、一（3）、3）
h14.?y?f(x??x)?f(x),dy?f′(x)?x,则?y与dy之间的关系是
题型四 求函数的单调区间、凸凹区间与拐点的题型
相关知识点提要
由f?(x)?0或f?(x)不存在得到分界点将f(x)的定义域分为若干小区间,在每个
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注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.