高等数学(上)期末复习指导 09年12月
(a) L1//L2?m1n1p1 ??m2n2p2(b) L1?L2?m1m2?n1n2?p1p2?0 (c) L1与L2之间的夹角??arccos3）空间曲面方程 (1) 旋转曲面的方程
将yoz面上的曲线f(y,z)?0绕y轴（或z轴）旋转一周所生成的旋转曲面方程为fy,?m1m2?n1n2?p1p2m?n?p212121m?n?p222222. ?x2?z2?0（或f?x2?z2,z?0）
??? (2) 二次曲面的方程
（1）球面 ?x?x0???y?y0???z?z0??R2 其中?x0,y0,z0?为球心，
222R为半径.
x2y2z2（2）椭球面 2?2?2?1 ?a,b,c?0?
abc（3）园柱面 x2?y2?R2 （4）抛物柱面 x2?2py?0
（5）椭园抛物面 z?px?qy ?p,q?0?
22（6）锥面 z2?（px2?y2）?p?0? 4 空间曲线方程
?F?x,y,z??0(1) 一般式方程 ?
??Gx,y,z?0??x?x?t??(2) 参数式方程 ?y?y?t?
?z?z?t??(3) 空间曲线在三坐标面上的投影方程 设空间曲线?：??F?x,y,z??0， 从该方程组中消去z，得到一个母线平行于
???Gx,y,z?0z轴的柱面方程H?x,y??0，将H?x,y??0与z = 0联立，即得?在xoy平
注：01、一（1）、3表示此题为01年第一
大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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高等数学(上)期末复习指导 09年12月
面上的投影方程 ??H?x,y??0
?z?001-08年相关考题
1.过点M1(3,?2,1)和M2(?1,0,2)的直线方程是 （ 01、一（5）、3） 2.过点(3,0,-1)且与向量a?3i?7j?5k垂直的平面方程为 （ 04、一（10）、3）
????x?2y?3z?4??的参数方程并求此直线与平面2x?y?z?6?0的112交点. （ 01、二（8）、6）
x?3yz?1??4.过点（4，-1，3）且平行于直线的直线方程是_（ 06、一（9）、3） 2153.写出直线
?x?2y?4z?7?0垂直的平面方程. （ 01、五、7）
?3x?5y?2z?1?06.一直线过点（0，2，4）且与两平面x?2z?1和y?3z?2平行，求直线方程. （ 02、
5.求过点P(2,0,-3)且与直线L:?五、9）
7.求过点(0,2,4)且与两平面x?2z?1,y?3z?2平行的直线方程. （ 04、二（7）、6） 8.求??x?y?1?0的对称式方程. （ 03、二（7）、5）
?x?y?z?1?09.求到x?2y?2z?0的距离为1的动点轨迹. （ 03、二（8）、5）
10、求过点P(1,??2,??4)且与两平面2x?y?3，y?4z?2平行的直线方程.
（07、二、8、6）
11经过点(0,3,0)且与平面y?0垂直的直线方程是 . （08一 、9、3） 12、xoz面上的曲线：z?x绕z轴旋转一周所得旋转曲面的方程为 （07、一、8、3）
??y?2?0,13．（1）求过点M(0,?1,1)且与直线L:?垂直的平面方程. x?2z?7?0??（2）求点M到直线L的距离. （08四、1 、9）
题型十二 证明题题型
相关知识点提要
1）证明不定式的方法：若x?x0时，f?(x)?0,且f(x0)?0,则f(x)?0，若
2?0 x?x0时，f?(x)?0,且f(x0)?0,则f(x) 2）方程根的存在性与唯一性的证明方法：由零点存在定理或罗尔定理先证明根
的存在性，再由单调性证明根的唯一性. 01-08年相关考题
证明不等式的题型
x1.证明：当x?1时e?ex（ 02、八、4）
2.证明：当x?1时，不等式e?ex成立. （ 06、二（7）、3）
3.设f??(x)?0,f(0)?0，证明：对于任意x1?0,x2?0有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2) （ 05、六、4）
方程根的存在性与唯一性的证明
x注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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高等数学(上)期末复习指导 09年12月
4.设f(x)在区间I上可导，证明在f(x)的任意两个零点之间必有方程f(x)?xf?(x)?0的实根. （ 04、五、5） 5.设F(x)??xa试证：方程?f(t)dt??f(t)dt 在 (x)?0，f(t)dt????F(b)?0???且F′axxxb(a,b)内有且只有一根.（6分）（ 03、六、6）
6.设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)?1，证明2x??f(t)dt?1 在区间（0，1）
0内仅有唯一实根.（06、五、4）
第二部分 昆明理工大学01—08级高等数学(上)期末试题集
2001级高等数学（上）期末试卷
一、填空题（每小题3分、共24分）
1? ;
x?0x2、dx2? dx;
1、limxsin3、设f(x)在[?a,a]连续并且为偶函数,则4、
?a?af(x)dx? ;
? ;
x5、过点M1(3,?2,1)和M2(?1,0,2)的直线方程是 ; n?dx6、已知级数?un?S,则级数?(un?un?1)的和是 ;
*??n?1n?17*、.曲线y?x2?lnx在x?1点处的曲率是 ; ?x, x?08、函数f(x)??在点x?0处的导数为 ;
??x, x?0二、计算下列各题(每小题5分,共25分)
ln(1?3x2)1、lim 2、y?xarcsin(lnx)求y?.
x?0ln(3?x4)3、求由方程ysinx?xcos(x?y)?0所确定的隐函数y?y(x)的导数y?.
x2?3dx 5、?sinxdx 4、?2x?1三、计算下列各题(每小题5分,共25分)
1、
?1?1(1?x)dx 2、?32?dx 1?ex?3、判别级数?n?12nxn的敛散性 4、求幂级数?2的收敛区间 3n?1n?1n?115、设点A,B,C的坐标分别为A(2,3,-1),B(1,1,1)及C(0,4,-3)求
AB,AC,3AB?2AC 及
AB?AC.
注：01、一（1）、3表示此题为01年第一
大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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高等数学(上)期末复习指导 09年12月
x2n?1四、(7分)求幂级数?(?1)的收敛区间,并求和函数.
2n?1n?1?x?2y?4z?7?0五、(7分)求过点P(2,0,-3)且与直线L:?垂直的平面方程.
3x?5y?2z?1?0?六、(6分)求由曲线y?lnx,y?lnb及x?0(b?0)所围图形的面积. 七、(6分)讨论f(x)?xlnx在其定义域上的最大值与最小值.
?n?12002级高等数学（上）期末试题
一、填空题（3分×10=30分）
sinax2?,则a= . x??2x3?x?1,x?12、函数y??,当a= 时连续.
a?x,x?1?d?b2? . 3、设?(x)??xtsintdt,则dx
?x?sint?4、曲线?在t?处的法线方程为 . 4?y?cos2t3325、当a 时,点(1, 3)为y??x?ax的拐点.
26、设cosx是f(x)的一个原函数,则f'(x)= .
1、若lim7、
?1?212arcsinx1?x?2dx? .
8、设a?i?3j?5k,b?i?2j?k，则a?b? .
9、级数?*1当p 时发散. pn?1(n?1)3210、f(x)?2x?3x在[1-4]上的最小值为 . 二、试解下列各题（5分×3=15分）
?1、limx?0x0sintdtx2.
f(x)2、设y?f(e)ecosxx，其中f(x)可导，求
dy. dx3、设y?x，（x?0），求dy. 三、求积分（5分×4=20分）
xx1、esin(e)dx 2、
??(arcsinx)?10dx21?x2 3、
?xdx21?x2 4、
xarctanxdx
注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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高等数学(上)期末复习指导 09年12月
四*、[9分]设平面图由y?x2,y?1及x=2所围成，求： x1）平面图形的面积A（要求作草图）; 2）平面图形绕x轴旋转的体积Vx.
五、[9分]一直线过点（0，2，4）且与两平面x?2z?1和y?3z?2平行，求直线方
程.
n2六、[5分]判断级数?的收敛性.
n?1n!x3x5x7七、[8分]设幂级数x??????
357?1）、写出它的一般项;2）、求收敛半径及收敛域.
x八、[4分]证明：当x?1时e?ex
2003级高等数学（上）期末试卷
一、填空题：（共10题，每题3分）
?1,?????????????n??106???1、数列xn??n，则limxn?___________________________.
n???106,???????????n??106?????????????2、f(x)在x0的某去心邻域内无界是limf(x)??的___________________条件.
x?x03、x?0是f(x)?x?sin____________________.
1的可去间断点,则常数?的取值范围是x4、f(x)可导, limf(1)?f(1?x)??1, 则曲线y?f(x)在点[1,f(1)]处的切线
x?02x斜率是____________________.
(x)?x,则?y与dy之间的关系是5、?y?f(x??x)?f(x),dy?f′________________________.
6、可导函数f(x)在点x0处取得极值的必要条件是___________________________. 7、使公式?kf(x)dx?k?f(x)dx成立的常数k应满足的条件是 . 8、设物体以速度v(t)做直线运动, 则[0,T]上物体经过的路程是
___________________.
9、投影Prjba?2,b?3, 则a?b?______________________.
10、a?b与a?b平行的充要条件是________________________.
二.计算题（共8题，每题5分）
arctanxex?e?x?21、求 lim 2、求 lim
x??x?011?cosxx2ln(1?)x3、y?lnf(x),f??(x)存在, 求
y?? 4、求?e20
x2?lnxdx
注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.