高等数学(上)期末复习指导 09年12月
491234; 2．一, 0; 3．?2xsinx; 4．y?(x?); 5．; 322226．?cosx; 7．(1,2); 8．(1,2,2); 9．收敛; 10．y(?1)??5.
1．
二、试解下列各题（(每题6分,共42分)
f(x)?xf?(x)?1?lim1、[解]:x?0x?0x22x (2分)
1f?(x)?f(0)1?f??(0)?1 (4分) ?limx?02x?02sinxx2、[解]:-lim (2分) ?limx?01?x?1?xx?01?x?1?xlim?limx?0x1?x?1?x?1 (4分)
2xdy?[f(ex)]'ef(x)?f(ex)[ef(x)]? (2分) dx ?exf'(ex)ef(x)?f'(x)f(ex)ef(x) (4分)
3、[解]：
4、[解]：原式两边关于x求导得 y??2e2x?sec2y?y??0 （3分） y1?x2??将x?0,y?代入得y??2?ln， (2分)
441lny?arcsinx?（2?ln）dx (1分) x?0?4122 故 dy1?5、[解]:原式??12(x?4?x)dx?(2x4?x?4)dx （3分） ???1?8 (3分)
16、[解]：令x?t，原式=2?tarctantdt??010t2arctantd() (2分)
2t2112dt?[arctant]1?t. (2分) 02?0221?t11?111?1?.??(1?)dt ??[t?arctant]202421?t082?1??1 ????? (2分)
82842??????117、[解]：?te?2tdt??te?2t??e?2tdt （3分）
020201? （3分） 4注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
46
高等数学(上)期末复习指导 09年12月
xn三、[解]：设 s?x??? ?x?1?， s?0??0
n?1n?n?1??上式两边乘x得：
?xn?1 xs?x???n?1n?n?1??'两边求导：?xs?x??'??xn?1?xn????n?n?1?????n （2分） n?1?n?1?再求导：?xs?x???''??xn????n?1?n?x??12n?1??1?x?x????x ?x?1? ??1?xn?1?'两边积分：?xs?x???'1?01?xdx??ln?1?x?
?xdx
01?xx再积分：xs?x???x0x?ln?1?x?dx??xln?1?x?0?? ??xln?1?x??x?ln?1?x???1?x?ln?1?x??x （2分） ∴ 当x?0时 s?x??1?1?xln?1?x? xx?0时 s?x??0 ?x?1? （2分）
四、[解]:设求直线的方向向量为s,则s??1,0,2?且s??0,1,?3?， （2分）
i j k0 1 -3x?0y?2z?4??. （2分） ?231210111dt?五、[解]：令x?1?t, 有?f(x?1)dx??f(t)dt???01?tdt 0?1?11?et011et1t?ln(1?et)?|0??(1?)dt??d(1?t)???1?ln1?t|0?ln(e?1). t???101?t1?e故所求直线方程为六、[证明]：
1）设f(x)?e?ex， f'(x)?e?e， 当x?1时f'(x)?0， 即x?1时f(x)单增， （1分）
x 故当x?1时，f(x)?f(1)?0， 从而x?1，e?ex. （2分）
故s?1 0 2??2 i?3 j? k （3分）
xx2) 设F(x)?f(x)?tgx,x?[0,?4],由于
注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
47
高等数学(上)期末复习指导 09年12月
F（0）?f(0)?0,F（）?f()?1?0，
44故在[0,???4]内有x,使F（x)=0,即f(x)?tgx （2分）
（0，）反证:若有x1,x2?,使F （0，1）（x1)=0，（Fx2)=0,由罗尔定理知存在??
?4使F（?)=0,即f?(?)?sec2??0与f?(x)?sec2x矛盾!得证. (2分)
模拟练习题二参考解答
一、填空题:(每题3分,共30分) 1. 1; 2. 6.?2332; 3.xeSin(x?1); 4.y??22(x?); 5.? 2221; 7.e; 8.-18; 9. 收敛; 10.f(2)?1 2x二、试解下列各题（(每题5分,共15分)
?2(arctanx)21、[解]:原式?lim ?().
x???x2x2?1dy?(ax)'?(xa)'?(exlnx)'?axlna?axa?1?xx(lnx?1). dxyy3、[解]:方程两边求微分 f?(arctan)d(arctan)?ydx?xdy
xxy(f??x2?y2)yx2(xdy?ydx)dx f`(arctan).2?ydx?xdy，?dy?2222x(f??x?y)x(x?y)x2、[解]:
f?()?24故dyx?1?dx ?y?1f?()?24三、试解下列各题（(每题5分,共20分) 1、[解]:2、[解]:
??eo1xdx令x?t2?2tedt?2[te]o1tt1o?2?et?2e?2[et]10?2.
o1???221?cosxdx?2?01?cosxdx
?2?? =2?20?xxx2Sindx?42?02Sind()
2222?x22?42(?cos)?42(1?).
20211dxdx??bbdlnx?lim[?] ?lim3、[解]:?2?lim22222??b???b???b???ln2lnbx(lnx)x(lnx)(lnx)注：01、一（1）、3表示此题为01年第一
大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
48
高等数学(上)期末复习指导 09年12月
?1. ln24、[解]:原式x?tanttant?e?Sec3t?1sectSec2tdt
?11?x2??e?costsintdt??e?cost?c?e四、[解]: 设 s?x????c.
2n?12nx 两边积分： ?n!n?1
?s?x?dx???0n?1?x?x0?2n?12nx2n?1 xdx??n!n!n?1n?2x22?x2nx2?x?x??????? ?x?n!2!n!n?1????????222n????2xx2? ?x?1?x????????1??xex?1 ???2!n!????????????x两边求导：s?x??xe?12????'?ex2x2?1?1
2?即
2n?12nx2x?e2x2?1?1 ???,??? ?n!n?1???五、[解]:设平面的法代向量为n,则n?a,n?b
i j k1 1?i?j?3k 取n?a?b?2 1 ?1 0故所求的平面方程为：(x?1)?y?3(z?1)?0 即x?y?3z?4?0 六、[解]: 由题知将
4展或x的幂级数 2x?2x?3f?x??441111??????1?x3x2?2x?3?x?1??x?3?x?13?x1x1?3
∵
1?1?x?x2???xn?? ?1?x?1 1?x2nxx?x??x??1???????????? ?1??1 即 ?3?x?3 x33?3??3?1?31注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
49
高等数学(上)期末复习指导 09年12月
?41?xx2x32n?∴ 2 ??1?x?x???x????1?????23??3?33x?2x?33??????1?n?1?n?1??1??1?2 ????1???2?1?x???3?1?x????n?1?1?x??
?3??3??3??3??????1?n?1?n ???n?1?1?x，收敛区间??1,1?
n?0?3?xl12七、[解]:当0?x?时，??x???ktdt?kx
022lxxl1l??当?x?l时，??x???f?t?dt??2ktdt??lcdt?kl2?c?x??
00282??2l?12kx , 0?x??2?2故??x???
1ll??kl2?c??x?? , ?x?l?2?2??81八、[解]:f(x)在[0，1]上可微，据积分中值定理，在[0,]必存在一点?，使
211122?f(1)?? f(?)，令)?2x)d?x, 00xf(?0xf(x)dx?2?f(?)，又f(1?h(x)?xf(,x)则h(x)在[0,1] 上连续可导,h(?)?? f(?),h(1)?f(1),故由Rolle定理，在(?,1)上至少有一点c使h'(c)?0，即cf'(c)?f(c)?0，故
f(c)f'(c)?（0 c模拟练习题三参考解答 ?一、填空题:(每题3分,共30分) 1. 2; 2. e; 3. ?f'(x0); 4. y?x?1; 5. 在区间???,2?是凸的, ?在区间?2,???是凹的; 6. 0; 7. ; 8. 4; 9. x?3y?z?4?0; 210. ??1,1?. 二、试解下列各题（(每题6分,共42分) xcosxcosx1? . ?limx?0x?02x222dyt??t?t 2、[解]： dx11?td2y1?2t?(1?2t)(1?t) 2?1dx1?t1、[解]:原式=lim注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同. 50