高等数学(上)期末复习指导 09年12月
111V???(ax2+bx)2dx??(a2?ab?b2) （6分）
0523?555?(2a2?5a?20),令V??0?a??,V??()?0,所以V()最小.故 13544453a??,b?. （8分）
421六、证明：存在性：令G(x)?ba?xaf(t)dt-?f(t)dt，则G(a)???f(t)dt=-F(b)，
xabbG(b)??f(t)dt=F(b)，G(a)?G(b)??F2(b)?0，由零点存在定理，G(x)在
(a,b)内有存在零点; （3分）
唯一性：如若G(x)在(a,b)内必有两个零点?1,?2，由罗尔定理，存在??(?1,?2),使得G?(?)?2f(?)?2F?(?)?0,此与题设矛盾.因此G(x)在(a,b)内仅有一零
点. （3分）
2004级高等数学（上）期末试卷解答
一、填空题（每小题3分、共30分）
115x?21.; 2.; 3.e; 4. 二; 5.减少;
x4（-?，-1）（1，+?），（-1，+1），（?1,ln2）6.; 7. 0 ; 8.>1 9.30; 10.3x?7y?5z-4?0.
二、计算下列各题（每题6分，共48分）
2(arctanx）?2?21．原式=lim. ?()?x??x24x2+1ex?ydx. 2.ydx?xdy?edx?edy?0，所以dy?ye?x1d2y11?t21?t2dy1?t21??3 3.??； 2??22tdx2t2t4tdx2t21?t1?ex?exd(1-ex)xdx?x??x?ln1?e?c 4.原式=?xx?1?e1?e5.原式=???xdctgx??xctgx??ctgxdx??xctgx?lnsinx?c
xy6令x=2sint .dx=2costdt,当x?0,t?0;x?2,t=???2，
I=?024sint?4costdt=16?02sin2t(1?sin2t)dt
13?1?=16?02(sin2t?sin4t)dt=16(?)???.
24?22?22注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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高等数学(上)期末复习指导 09年12月
i7.取s?n1?n2?1?????j0?k???2??2i?3j?k,所求直线方程为
01?3xy?2z?4??. ?23112228.令u?x?t.du??2tdt.?dt??du,当t?0?u?x,当t=x?u=0,
2t011x21?F(x)??2t?f(u)(?)du??f(u)du,?F?(x)?f(x2)?2x?xf(x2).
x2t202x三、解：.(1)、y??ex,设p(x0,y0)为切点,切线方程为:y?ex0=e0(x?x0),切线过原点(0,0)得:x0?1,y0?e, ?切线方程为: y?e=e(x?1),即y?ex.
11e21exx1??x?(2)、面积A??edx??exdx=?e?????0?2. ????022x232????e?ex?e. ?????????00236四、解：由连续性f(1)?1?b=f(1+)?ln(1?a),?b?ln(1?a)-1，又
f(x)?f(1)x?b?1?bf?'(1)?lim?lim?1,
x?1?x?1?x?1x?12x22f(x)?f(1)ln(a+x)-(1+b)2'a?x f?(1)?lim?lim?lim?x?1+x?1?x?1?x?1x?11a?12''?1,?a?1,b?ln2?1. 由f?(1)?f?(1)?a?1五、证明：令F(x)?xf(x)，设x1,x2为f(x)的任意两个零点.即f(x1)?0,f(x2)?0,(3)、体积Vx??1(e)dx???(ex)dx=x212?1?1?则F(x) 在?x1,x2?上连续，在?x1,x2?内可导，且F(x1)?F(x2)?0,由Rolle定理可知至少存在一点??(x1,x2)使得F?(?)?0，即F?(?)??F?(?)?0，因此，在
f(x)的任意两个零点之间必须有方程f(x)?xf?(x)?0的实根.
2005级高等数学（上）期末试卷解答
一、填空题（每小题3分、共30分）
321．2; 2. e 3. 1 ; 4. y?2?2(x??), 5．x?2; 6.;
2224?7.0; 8. ;9. ?18; 10.a?1.
2二、计算下列各题（每题6分，共42分）
???1.解：原式?lim2x20etdtex2x22x?0xe?limx?02?etdx0x2xex2?limx?02ex22ex?2x2ex2=lim2?2.
x?01?2x2注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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高等数学(上)期末复习指导 09年12月
2.解：y??e?sin21x2?sin2x 111 1?(?2sin)?(cos)?(?2)?2sinexxxxxx?y13.解：两边对x求导得 y?xy??ey?ex?y (1?y?) ,解得y'?x?ye?x34.解：y'?2x?54?2(x?27)，令y??0 得驻点x??3,当x??3时
22xxy'?0，当
?3?x?0时y'?0，故x??3为极小点,极小值为y(?3)?27.
xx1dee5.解：===arctanex?c dxdx?ex?e?x?e2x?1?1?(ex)26.解：令
x?t,dx?2tdt
1t0???7.解：所求直线的方向向量s垂直于两已知平面的法向量n1,n2 ,故取
原式：=?2tedt=2(te0t10??1t=2e?2etedt)01=2.
???s?n1?n2?10所求直线方程为：
?i?j?k2=?2i?3j?1k
???01?3xy?2z?4 . ???231三．（8分）解：f(1)?1 ，f(1?0)?limax?b?a?b, 故当 a?b?1 时，f(x)
x?1? 在 x?1 处连续.又
2 f?'(0)?limx?1?limx?1?2
x?1?x?1x?1?1f?'(0)?lim?x?1ax?b?1ax?(1?a)?1?lim?a ?x?1x?1x?1故当a?2时，f?'(1)?f?'(1)?f'(1)存在,即当 a?2,b??1 时，f(x)在 x处连续可导.
四．（8分）解： ??limun?1n???un当
2?1
122(n?1)?12? limx?x n???12n?1x?1,即?1?x?1时原级数收敛，当x2?1,即x??1或x?1时原级数发散,故收敛半径R?1，当x??1原级数为收敛的交错级数，收敛域为[?1,1].
设
s(x)??(?1)n?1?n?1x2n?1 2n?1注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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高等数学(上)期末复习指导 09年12月
2n?1?? s?(x)?(?1)n?1(x)?=(?1)n?1x2n?2
??2n?1n?1n?1?1?x2?x4?x6故 s(x)?s?(x)dx=
?0x?11 ?221?(?x)1?x1?1?x2dx=arctanx. 01x五．(8分)解：求交点得(0,0),(1,1)
23??xx1. 21．A=(x?x)dx=????23?0??0635??xx2?. 242．V??(x?x)dx????x?3??50??015111六．(4分)证明：不妨设0?x1?x2，分别在区间[0,x1],[x1,x1?x2]上使用拉格朗
日中值定理存在?1?(0,x1),?2?(x1,x1?x2)使：
f(x1)f(x1)?f(0)??f'(?1) x1x1?0f(x1?x2)?f(x2)f(x1?x2)?f(x2)??f'(?2)
x1?x2?x2x2因为?1??2,又f\x)?0,故f'(x)单调减，所以f'(?1)?f'(?2),故
f(x1)f(x1?x2)?f(x2)??f(x1)?f(x1?x2)?f(x2) x1x1即 f(x1)?f(x2)?f(x1?x2).
2006级高等数学（上）期末试题答案及评分细则
一、填空题：（每小题3分，共30分）
1. 2/3; 2. e; 3. 2f'(x0); 4. y?ex; 5. (2, 6.
2)2; ex?4y?1z?3???; 7. 1; 8. 2; 9. ; 10. 发散. 2152xarctanxarctanx?........(4')?lim?......(2')
x???2x24二、计算下列各题：（每小题6分，共48分） 1、解:原式=limx???注：01、一（1）、3表示此题为01年第一
大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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高等数学(上)期末复习指导 09年12月
2t2dyd2y21?t??2t.......(4');.....2??2(1?t2)....(2')112、解: dx dx221?t1?t3、解:在方程两端求微分得:3x2dx?3y2dy?3a(ydx?xdy)?0......(4')， ay?x2dy?2dx......(2'). y?ax2'), 4、解:令y'?6(x2?2x?3)?6(x?1)(x?3)?0得x??1,x?3......(2'), y''?12(x?1),y''(?1)?0,y''(3)?0......(2'). 极大值y(?1)?17,极小值y(3)??47......(225、解:原式?xdsinx?xsinx?2xsinxdx.......(3') ???x2sinx??2xdcosx?x2sinx?2xcosx?2?cosxdx
?x2sinx?2xcosx?2sinx?c.......(3') e2d(1?lnx)e2.........(3')?21?lnx1?2(3?1).......(3') 6、解:原式=?11?lnxxx7.证明：令f(x)?e?ex,f'(x)?e?e?0(x?1) ……(4’) f(x)单调增加, 当x?1时, f(x)?f(1)?0成立 …..(2’)
x即当x?1时，不等式e?ex成立.
?x?2?t?8、解：直线的参数方程为?y?3?t ........(4')
?z?4?2t?代入平面方程解出 t??1......(2')， 所求交点为（1，2，2） (2’).
?? 三、解: liman?1n?lim?1,收敛半径R?1,收敛区间为(-1,1) (3’)；
n??an??n?1n???1n?11 x??1时,原级数为?,发散, x?1时,原级数为?(?1)收敛,故
n!n?1n?1n?1n?1n?1收敛域为??1,1?….. (2’)；由级数?(?1)x两端积分得: ?1?xn?1x1xn ?(?1)??dx?ln(1?x)为所求的和函数 (3’).
0n1?xn?11211四、解:(1) A??xdx??dx??ln2......(4')；
01x212125?2......(4'). (2) Vx??x?dx???()dx?01x6?n?1五、证明：令F(x)?2x??x0f(t)dt?1，则F(x)在区间[0，1]上连续，
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注：01、一（1）、3表示此题为01年第一
大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.