高等数学(上)期末复习指导 09年12月
F(0)??1?0,F(1)?2??f(t)dt?1?1?f(?)?0，由零
01点定理知存在x0?(0,1),使F(x0)?0……. (2’) 又F'(x)?2?f(x)?0，F(x)在区间[0，1]上是严格单调增加的，从而零点唯一.
(2’).
2007级高等数学（上）期末试题答案
二、填空题：（每小题3分，共30分）
?1． ?1 ； 2． 跳跃 ； 3．f(sinx)cosxdx； 4． ?； 5．(0,??0)；
22z?x?yxcosx?sinx?C36．； 7． ； 8．； 9． 收敛 ；10．(0,??2)；
二、计算下列各题：（每小题6分，共48分）
1?x?x2?3?(x?2)?lim??1 1、[解]：原式=lim32x?1x?11?x1?x?x2、[解]：
33dy1?ex?(x3)??elnx()?3x2ex?1 dxxex?yex?y???dy?ydx 3、[解]：两边对x求导得y?xy??e?ey??0???y??ye?xe?xxy4、[解]：f?(x)?6x2?6x?6x(x?1)，f??(x)?12x?6?6(2x?1)
由f?(0)?0得驻点x?0,??1，f??(0)??6?0，f??(1)?6?0，所以 极大值：f(0)?0，极小值f(1)??1 5、[解]：法一：
11x2xdx?dx?secdx?tan?C ?1?cosx?2x?222cos21?cosx1cosx1dx?dx?dx??cotx??C ?1?cos2x?sin2x?sin2xsinx法二：原积分?6、[解]：原式=
414113xlnx??xdx?4ln2?
121x220222x3x20x3x227、[解]：原式=??(x?x)dx??(x?x)dx??(?)?(?)
?1032?1320?4629? 568、[解]:所求直线的方向向量s垂直于已知平面的法向量n1,??n2，所以：
注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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i??????j???????s?n1??n2?2?????????????????4i????j??????//?{?2,?4,1?}
0??????????????所求直线的方程为：
x?1y?2z?4?? ?241三、（9分）[解]:（1）y??3x2，k?12，则切线方程为：y?8?12(x?2)
x42即：y?12x?16?0； （2）S??xdx??4；
00423（3）Vy???2?8??2?80864?35 ydy?32???y3?055?23?xn1四、（9分）[解]: （1）e??，所以：e??；
n?0n!n?0n!x??n2?n?1?1?111（2）????????2??2e
n?0n!n?1(n?1)!n?2(n?2)!n?1(n?1)!k?0k!?101xn五、（4分）[证明]: 记x?t?u,?????F(x)???nf(u)du??f(u)du，
nxn0nn1nn?1f(x)nxnF(x)F?(x)11f(x)n lim2n?lim?lim?lim2n?1nx?0xx?02nx2n?1x?0x?02nx2nxxn?t1f(t)?f(0)1lim?f?(0) t?02nt?02n 2008级高等数学（上）期末试题答案
一、填空题(每题3分)
1.k?3；2.e-2；3.y?3x?2?0.；4.
x2?1??2xyxdx?ydy??x?0 6.a2；7.y'?2；8. x??2；9. ?；10.du?2 22yx?y2z?0??e?x?；5.2x?ln(x?x2?1)?c；
二、1解：
dy1??, 4分 dxtdy?12dydtt21??? 7分 dx2dxtt3dtx2.解：原式=lim(?f(t)dt?xf(x)) 5分
x?aa注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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?af(a) 7分
三、1. 解： y'?1?2?2x3 3分
得驻点x?1及x?0为不可导点 5分 y(0)?0(极大值) （y1）=-1（极小值） 7分 2. 解：令x?2sint
原式=4sin22tdt 2分
1?2t?sin4t?c 6分
2x1x ?2arcsin?sin4arcsin?c 7分
22211x2?2 3. 解：原式?[xarcsinx]0?01?x2dx 4分 1??322??[1?x]0???1 7分 12122?z4x4. 解：?e(4(x2?y2)3?6x(x2?y2)2) 4分
?x?=4?sin22tdt??(1?cos4t)2dt 5分
?2z?e4x(24y(x2?y2)2?24xy(x2?y2)) 7分 ?x?y?24ye4x(x2?y2)(x2?y2?x)ijk四、 1. 解：（1）直线L的方向向量s?010 2分
102?(2,0,?1) 4分
过点M(0,?1,1)且与直线L垂直的平面方程为：
2(x?0)?0(y?1)?1(z?1)?0?2x?z?1?0 5分
?y?2?0,?（2）联立?x?2z?7?0得垂足N(1,?2,3) 7分
?2x?z?1?0?所以，d?MN?1?1?4?6 9分
2.解：设x?y?z?a,(x,y,z?0)
111?? xyz F(x,y,z)?f(x,y,z)??(x?y?z?a) 4分
f(x,y,z)??F???x?2?0?x?2??Fy???y?0 7分 ??2?Fz???z?0???x?y?z?a注：01、一（1）、3表示此题为01年第一
大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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a 9分 3f(x)五、解：由已知及lim?A得f(0)?0,?(0)?0 2分
x?0x得x?y?z??(x)??f(xt)dt??010xf(u)du?'(x)?'xf(x)??xxxx202xf(u)du(x?0) 4分
(x?0) 5分
f(u)duA?0?(0)?lim?x?02A 故?(x)连续 6分
x?02 六、证明：设?(x)?xf(x) 1分
1则?(1)?f(1)??1f(?1)??(?1)?1?(0,) 3分
2 故在[?1,1]上由罗尔定理得至少有一点?使?'(?)?0??(?1,1)?(0,1)
即存在??(0,1)使得f(?)??f'(?)?0. 4分
又lim?'(x)?第三部分 高等数学(上)期末模拟练习题
模拟练习题一
一、填空题(每题3分,共30分)
sinax2?,则a= . x?02x3x2、f(x)?arcsin有第 类间断点x= . x1、若lim3、设?(x)?4、曲线??bx2tsint2dt,则
d?
? . dx
?x?sint?在t?处的法线方程为 . 4?y?cos2t3325、当a 时,点(1, 3)为y??x?ax的拐点.
26、设cosx是f(x)的一个原函数,则f'(x)= .
7、y?2x3?9x2?12x?3的凸区间是 . 8、直线
x?2y?3z?4??与平面2x?y?z?6?0的交点为 . 1129、幂级数
33210、函数f(x)?2x?3x在[-1,4]上的最小值为 . n?1?2??n?1tg?n?的收敛性是 .
二、试解下列各题（(每题6分,共42分)
1、设f(x)具有二阶导数,且f(0)?0,f?(0)?1,f??(0)?2，求limx?0f(x)?x. x2注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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2、求极限limx?0sinx
1?x?1?xdy dx?tg?y0确定y?y(x),求
3、设y?f(ex)ef(x)，其中f(x)可导，求4、设方程(arxc)?(slyi)n?ne2xdyx?0(0?y?1?2).
5、(x?4?x)dx
?11?0226、arctan???xdx
7、
?te0?2tdt
?xn三、[7分]求幂级数?的和函数.
??nn?1n?1四、[7分]一直线过点（0，2，4）且与两平面x?2z?1和y?3z?2平行，求该直线
方程.
?1,x?0x?2?1?e五、[7分]设 f(x)??, 求?f(x?1)dx.
0?1,x?0??1?x六、[7分]证明：
x1）x?1时e?ex；
2）设函数f(x)在[0,?]上可导,且0?f(x)?1(x?[0,]),在[0,]内
444???f?(x)?sec2x,证明在[0,]内有且仅有一个x,使f(x)?tgx.
4模拟练习题二
一、填空题(10×3分=30分)
lnsinax? (a?0,b?0).
x?0lntanbx1?x?,x?1?2、函数y??，当a= 时连续. 2??a?x,x?1xsin(t2?1)d?? . dt,则3、设?(x)??te0dx1、lim?注：01、一（1）、3表示此题为01年第一
大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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