高等数学(上)期末复习指导 09年12月
６.?(x?a2?x2)dx(a?0为常数）? .
-aa7.设y(x)由方程8. 设向量
?yt2edt?x2y?1所确定，则y'0? . a?(3,5,x),b?(2,1,4),且2a?b与z轴垂直，则x? .
9.经过点(0,3,0)且与平面y?0垂直的直线方程是 .
10*. 设u?lnx2?y2，则du? . 二、计算下列各题（每题7分，共14分）
2?tdyd2yx?x?1. 设?2求,2. 2.已知f(x)连续，求limx?ax?adxdx?y?1?t??af(t)dt.
x三、计算下列各题（每题7分，共28分）
1.求函数y?2x?33x2的极值. 2.?x24?x2dx. 3.
12arcsinxdx. 4*.设z0??z?2z. ?uv,u?e,v?x?y.求,?x?x?y232x22四、计算下列各题（每题9分，共18分）
??y?2?0,1．（1）求过点M(0,?1,1)且与直线L:?垂直的平面方程， x?2z?7?0??（2）求点M到直线L的距离. *2.将已知正数a分解为三个正数之和，并使它们的倒数之和为最小. 五、（6分）已知f(x)连续，?(x)?求（1）
'?01f(xt)dt,limx?0f(x)?A.（A为常数） x'f(0),?(0);（2）?(x);（3）讨论?(x)在x?0处的连续性.
? 六、（4分）设f(x)在??0,1?上可微，且f(1)?2?12xf0(x)dx. 证明：存在??(0,1)，使
得f(?)??f'(?)?0.
试题参考解答
2001级高等数学（上）期末试卷解答
一、填空题（每小题3分、共24分） 1.0; 2.2x; 3. 2a?1x?1yz?2nnn??x； 5.； f(x)dx; 4.
4?2?1n?1?06.2S；7.略； 8.不存在.
二. 计算下列各题(每小题5分,共25分)
ln(1?3x2)01、[解]：lim??0.
x?0ln(3?x4)ln31112、[解]：y??arcsin(lnx)?x? . ??arcsin(lnx)?22x1?lnx1?lnx3、[解]：y?sinx?ycosx?cos(x?y)?xsin(x?y)(1?y?)?0
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注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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y??cos(x?y)?xsin(x?y)?ycosx.
xsin(x?y)?sinxx2?3dx?x?2arctanx?c. 4、[解]：?2x?15、 [解]：令x?t，?sinxdx?2?tsintdt??2?tdcost??2(tcost??costdt)
??2(tcost?sint)??2(xcosx?sinx)?c.
三.计算下列各题(每小题5分,共25分) 1、[解]：
?1?132(1?x)dx?2?2?xdx?1.
01?x3dx?1)e?2?13d(e?x???2?x??ln(e?1)?ln?32、[解]：?. x21?ee?1e?1?1113、[解]：故收敛. ,?333n?1n?1n2n?12n?1111(n?1)2?1?2,?R?(?,). 4、[解]：??lim，收敛区间为nn??2222n2?15、[解]AB?{?1,?2,2},AC?{?2,1,?2},3AB?2AC?{1,?8,10}，AB?AC??4
四、解：令S(x)?x?(?1)n?1?n?1?x2n?11， ,S?(x)??(?1)n?1x2n?2?22n?11?xn?1?S(x)??1dx?arctanx，收敛区间为（-1，1）. 21?x0五、解：平面?1:x?2y?4z?7?0,法向量n1??1,?2,4?，
平面?2:3x?5y?2z?1?0,法向量n2??3,5,?2?
i ..取所求平面的法向量 n?s?n1?n2?1jk?24???24,14,11?
35?2z?3)?0....由点法式方程可得所求平面方程为 ?24(x?2)?14(y?0)?11(,即24x?14y?11z?81?0.
六、解：曲线y?lnx,y?lnb及x?0(b?0)所围图形为无界区域，其面积为
S??(lnb?lnx)dx?blnb?xlnx??b?b.
00bbx)n?lx1?0,?七、解：f(x)?xlnx的定义域为x?0，令f?(时，f?(x)?lnx?1?0,当x?得驻点x?11，当x? ee1时，f?(x)?lnx?1?0,故f(x)?xlnx在其定e注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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义域上的最小值为f(x)?111ln??，无最大值. eee2002级高等数学（上）期末试卷解答
一、填空题（每小题3分、共24分）
49122 ；2．1；3．?xsinx；4．y?(x?)；5．；6．?cosx；7．0；322228．12；9．≤1；10．f(?1)??5
1．
二、试解下列各题(每小题5分,共15分)
1．解：原式?lim2．解：
sinx1?.
x?02x2dy?[f(ex)]'ef(x)?f(ex)[ef(x)]? dxxxf(x) ?ef'(e)e?f'(x)f(ex)ef(x).
3．解：取对数 lny?cosxlnx，两边关于x求导得
1dycosx??sinxlnx? .， ydxxcosxcosx)dx. 故 dy?x(?sinxlnx?x三、求积分(每小题5分,共20分)
xx1、解：原式?sin(e)de??cos(ex)?c.
?1d(arcsinx)???c. ?(arcsinx)2arcsinx3、解：令x?sint,dx?costdt,
2、解：原式=
1?x2costdt??ctgt?c??原式???c.
sin2tcostx1x2x211dx14、解：原式??0arctanxd()?[arctanx]??x2. 2002221?x11?111?1)dx??[x?arctanx] ?.??(1?2002421?x82?1??1 ?????.
828422217132四、解：1）A??(x?)dx?[x?lnx]??ln2.
11x332）Vx???211x51257(x?2)dx??[?]??.
x5x11004五、解：设求直线的方向向量为s,由于s??1,0,2?且s??0,1,?3?，则
注：01、一（1）、3表示此题为01年第一
大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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i j kx?0y?2z?4??. s?1 0 2??2 i?3 j? k,故直线方程为
?2310 1 -3Un?1(n?1)2六、解:用比值法 lim?lim?0?1,故原级数收敛.
n??Un??(n?1)n2n1七、解：1）一般项为an?.
2n?1a12n?12）??limn?1?lim?1，收敛半径R??1,当x?1时，幂
n??an??2(n?1)?1?n?1?1级数为?发散,x??1时，幂级数为?发散,故收敛域为（-1，1）.
n?12n?1n?12n?1八、证明：设f(x)?ex?ex，f'(x)?ex?e，故当x?1时f'(x)?0，即x?1时f(x)
x单增，故当x?1时，f(x)?f(1)?0，从而x?1，e?ex.
2003级高等数学（上）期末试卷解答
?一、填空题（每小题3分、共30分）
61、10 ； 2、必要； 3、a?0； 4、?2 ； 5、?y?dy??(?x)
6、f?(x0)?0 ； 7、k?0； 8、二、计算题（共8题，每题5分） 1、因为arctanx??T0?(t)dt； 9、6； 10、a//b.
?2arctanx?0 （5分） 故原式=limx??xex?e?x2、原式=lim （2分）
x?0sinxex?e?x?2 （5分） = limx?0cosxf?(x)?3、y? （2分）
f(x)f(x)f??(x)?f?2(x) y??? （5分）
f2(x)x4、原式 = ?exdx （2分）
2,ln(1?11)~ （2分） xx1x2= e?c （5分） 225、原式 = ?xsecxdx??xdx （2分）
x2?c （5分） = xtanx?lncosx?2注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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6、因为
?1?11sinx?1?x2dx?0 （2分） 1?xdx?2?1?xdxx?sint2?2cos2tdt?00?21?2?2?1 （4分）
227、直线过点(?1,0,0) （2分）
故原式?0???? （5分）
i?????j?????k?其方向向量 s?1???????????????{1,?1,?2} （4分）
1????????????1 （5分） 28、解法一：由于动点平行于平面x?2y?2z?0，故可设所求的
故所求的对称式方程为 x?1??y??动点轨迹方程为
x?2y?2z?D?0 （2分） 又x?2y?2z?0过点(0,0,0)，故有 （3分）
D?1?D??3?动点轨迹方程为 221?2?2x?2y?2z?3?0 （5分） 解法二：动点(x,y,z)到平面x?2y?2z?0，即 x?2y?2z?1 （3分） 221?2?2故动点轨迹方程为 x?2y?2z?3?0 （5分） 三、解：lim?f(x)?lim?f(x)?b?1 （2分）
x?0x?0?2x??e,?????x?0?? （4分） f??(0)?f??(0)?a??2，f(x)??2??(x?1),???x?0????1?1f(x)dx??e?2xdx??(x?1)2dx （6分）
?100111?e2? （8分） 26四、解：F(x)??x02tf(t)dt?x?f(t)dt （2分）
0x0xF?(x)?xf(x)??f(t)dt （4分）
F??(x)?xf?(x) （6分）
x?0?F??(x)?0?F(x)凹，x?0?F??(x)?0?F(x)凸，故(0,0)是y?F(x)的拐点. (8分)
11ab22五、解：??(ax+bx)dx???b?(1?a) （4分）
30323注：01、一（1）、3表示此题为01年第一
大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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