高等数学(上)期末复习指导 09年12月
小区间上用f?(x)的符号即可判别f(x)的单调性,从而得到函数的单调区间;
由f??(x)?0或f??(x)不存在得到分界点将f(x)的定义域分为若干小区间,在每个小区间上用f??(x)的符号即可判别f(x)的凸凹性,从而得到函数的凸凹区间; 凸凹区间的分界点即为拐点. 01-07年相关考题
单调区间的考题 1．函数y?2x3?3x2?12x?1在(?2,1)内单调 . （ 04、一（5）、3） 2．函数f?x??2x?8?x?0?的单调增加区间为 . （ 05、一（5）、3）
x凸凹区间与拐点的考题: 3.当a 时,点(1, 3)为y??33x?ax2的拐点. （ 02、一（5）、3） 24．曲线y?ln(1?x2)在区间 上是凸的，在 上是凹的，拐点是 .（ 04、一（6）、3） 5.曲线y?xe?x的拐点是______（ 06、一（5）、3）
6．曲线2x3?9x2?12x?3的拐点为 （ 05、一（6）、3） 7.设F(x)??x0(2t?x)f(t)dt,???f′(x)?0，试问点(0,0)是否是曲线y?F(x)的拐 点，为什么？（ 03、四、8） 8.曲线y?3x的拐点坐标是 （07、一、5、3） 题型五 求极值与最值的题型
相关知识点提要
1)对一元函数由f?(x)?0或f?(x)不存在得到”可疑点”,再用判别法一或判别法二(对驻点) 即可判别点是否为极值点;
2) 对一元函数由f?(x)?0或f?(x)不存在得到”可疑点”,将其值与端点处的值比较即可得到闭区间上的最值. 01-08年相关考题
1.可导函数f(x)在点x0处取得极值的必要条件是__________.（ 03、一（6）、3） 2.y?2x?6x?18x?7的极值. （ 06、二（4）、6） 3.f(x)?2x?3x在[1-4]上的最小值为 . （ 02、一（10）、3） 4.讨论f(x)?xlnx在其定义域上的最大值与最小值. （ 01、七、6）
545．求函数y?x2??x?0?在何处取得最小值（ 05、二（4）、6）
x6．求f(x)?2x3?3x2的极值.（07、二、6）
7.求函数y?2x?33x2的极值. （08三、1 、7）
题型六 求（不）定积分的计算的题型
相关知识点提要
1)主要方法:直接积分法与换元法(特别式三角代换和根式代换)和分部积分法. 2)记住16个积分公式及下列补充公式:
1x?a1x11, ?arctg?c ?ln?cdxdx22??x2?a2aax?a2ax?a3232注：01、一（1）、3表示此题为01年第一
大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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?1a2?x2dx?arcsinx122?c ,dx?ln(x?x?a)?c ?ax2?a2??lncosx?c , ?ctgxdx?lnsinx?c ? ?secxdx?lnsecx?tgx?c,?cscxdx?lncscx?ctgx?c
tgxdx3)掌握下列常见凑微分的式子:
1d(ax2?bx?c) 2dx111?dlnx, 2dx??d (ax?b)mdx?d(ax?b)m?1 xxxa(m?1)1eax?bdx?deax?b sinxdx??dcosx cosdx?dsinx
aadx?d(ax?b) (ax?b)dx? sinxcosx?1dsin2x 1dx?darcsinx??darccosx
21?x2dxdx?2dxdx?darctgx??darcctgx2 1?x x
dxx?dln(x?x2?a2) dx?dx2?a2
x2?a2x2?a2sec2xdx?dtgx
4) 掌握奇偶函数的积分方法
??0 若f(x)为奇函数??aa? f(x)dx?2???a?0f(x)dx 若f(x)为偶函数??a?2?f1(x)dx 若f(x)为非奇非偶函数??0其中f(x)?f1(x)?f2(x) f1(x)为偶函数，f2(x)为奇函数
?5) 掌握形如
?2sin0ndx的积分方法 ?n?1In?2 n?（1）In?2cosnxdx?2sinndx???00（2）
nsinxdx?2sinxdx?2In2?0?0??n(?cosnxdx?2?sinnxdx)） 00??(3)
?2?0???4?2sinnxdx?4In,n为偶数nsinxdx??0
?0,n为奇数?6)掌握分段函数的积分法:逐段积分后再相加.
注：01、一（1）、3表示此题为01年第一
大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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01-08年相关考题
可以直接计算或用凑微分方法求解的积分
x2?3dxdx（ 01、二（4）1.求?、3） 2.求?2、5） ? （ 01、一（4）
nx?1xx2?lnxdx3dx（ 02、二（4）3.求e、5） 5.求?2 （ 01、三（2）、5） x1?edxxx6．求?esin(e)dx （02、三（1）、5） 7．求?（02、三（2）、5）
22(arcsinx)1?xe21dxdx （ 04、二（4）8.计算定积分?.（ 06、二（6）、6） 9.求?、6） x11-ex1?lnxdx110．计算（ 05、二（5）、6）11．计算、5） ?x21?x2（ 02、三（3）?ex?e?xdx1dx（07、二、5、6） 12．计算不定积分?1?cosx?可以用换元法求解的积分
113．
?e0x22、6） 14. I??0x4?xdx（ 04、二（6）、6） dx （ 05、二（6）
215.sinxdx（ 01、二（5）、5） 16．计算17.?x24?x2dx. （08三、2 、7）
可以用分部积分法求解的积分:
??41lnxdx.（07、二、6、6）
x1dx（ 04、二（5）、6） 19． 、5） 0xarctanxdx（ 02、三（4）2?sinx2220. ?xtanxdx（ 02、二（5）、5） 21. ?xcosxdx（ 06、二（5）、6）
18. ?22.
?12arcsinxdx. （080三、3 、7）
a奇偶函数的积分
23.设f(x)在[?a,a]连续并且为偶函数,则
??a、3） f(x)dx? （ 01、一（3）
a24．设函数f(x)在[?a,a]上连续，g(x)?f(x)?f(?x)，则??ag(x)dx?（04、一（7））
x3sin2x25．?4、3） dx?_________.（ 05、一（7）2x?2x?1?532xsinx?126.用奇偶性计算定积分?、3） dx?_______________.（ 06、一（6）2?11?x1527.
?1?212arcsinx1?x211dx? . （ 02、一（7）、3）28.??1(1?x)dx （ 01、三（1）、5）
29.求
a??1（6）、5）30． ?x(x?1)dx（07.二、7、6） (1?sinx)1?x2dx（02、二、
?1231.?(x?a2?x2)dx(a?0为常数）? . （08一 、6、3）
-a注：01、一（1）、3表示此题为01年第一
大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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与积分概念有关的积分
32.使公式kf(x)dx?kf(x)dx成立的常数k应满足的条件是 . （ 03、一（7）、3）
33.设cosx是f(x)的一个原函数,则f'(x)= （ 02、一（6）、3） 34.设物体以速度v(t)做直线运动, 则[0,T]上物体经过的路程是__（ 03、一（8）、3）
ax1??e,???????????x??0??35.设f(x)??，在x?0处可导，求?f(x)dx.（03、三）、3）
2?1??b(x?1),??x??0??????????????36．定积分
?204?x2dx? （07、一、4、3）
37．设sinx是f(x)的一个原函数，则xf?(x)dx? （07、一、6、3） 38. 已知f(x)的一个原函数为ln(x?x2?1)，则xf'(x)dx? . （08一 、5、3）
??题型七 求广义积分的题型
相关知识点提要
与正常积分的计算方法类似,但要注意到中间有瑕点时要在瑕点处分开计算. 01-08年相关考题 1．
??1、3） ?1?x2dx= . （ 05、一（8）0dxx(lnx)ka2．当k 时，反常积分?0收敛. （ 04、一（8）、3）
3.计算反常积分
???0、3） xe?xdx=__________________.（ 06、一（7）题型八 级数敛散性的判别的题型
相关知识点提要
常数项级数敛散性的判别方法是利用下列常见的级数的敛散性及判别程序进行判别.
常见的级数的敛散性：
?a?等比级数 ?aqn?1??1?qn?1?发散??q?1q?1
p-级数 ??1?收敛??pnn?1?发散?p?1p?1?p?0?
调和级数
1111?1???????是发散的. ?23nn?1n
级数收敛的判敛程序：
注：01、一（1）、3表示此题为01年第一
大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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?un?1?n任 是 limun?0n???un?1?n用正 发散 ?un?1?n用莱氏 收敛 ?un?1?n
意项级数 项级数判别法 准则 条件收敛 否 收敛 发散
?un?1?n发散
?un?1?n绝对收敛
?un?1?n发散
其中：1）、正项级数
?un?1?n的判敛程序：
是 ??1
比较法 比值法 limun?0极限形式及等根值法 n?? 价无穷小判别 法 ??1 ??1 否 比较法 一般形式 ?un?1?n发散 ?un?1?n收敛 ?un?1?n发散 ?其中特别要优先使用等价无穷小判别法：如xnyn,xn?0,yn?0,则?xn的敛散性与
n?1?yn?1?n的敛散性一样.
2）、交错级数判敛法
莱氏准则： 若交错级数满足条件limun?0，un?un?1(n = 1,2,…),则级数收敛，
n??且和S?u1，余项rn的绝对值rn?un?1. 01-08年相关考题： 1、判别级数
??n?1?1n?13的敛散性（ 01、三（3）、5）
2、级数
1当p 时发散.（ 02、一（9）、3） ?p(n?1)n?13n?1、3） ?????????的敛散性为______________（ 06、一（10）
2n?3、级数2?n24、判断级数?的收敛性. （ 02、六、5）
n?1n!注：01、一（1）、3表示此题为01年第一 大题第1题的考题，分值为3分，以后类同.
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